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第三章 反比例函数 综合素质评价
一、选择题(每题3分，共30分)
1．下列式子：①y＝x2；②y＝；③xy＝k(k≠0)；④y＝x－1；⑤y＝－x，其中y是x的反比例函数的有(　　)
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
2．已知双曲线y＝经过点(1，－2)，则下列说法错误的是(　　)
A．点(－1，2)在该双曲线上 B．该双曲线的表达式为y＝－
C．该双曲线位于第二、四象限 D．当x<0时，y随x的增大而减小
3．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A，C分别在x轴、y轴的正半轴上，顶点B在函数y＝(x＞0)的图象上，点P是矩形OABC内的一点，连接PO，PA，PB，PC，则图中阴影部分的面积是(　　)
A．3 B．4 C．5 D．6
(第3题)
　　(第5题)　(第7题)
4．若点A(x1，－2)，B(x2，1)，C(x3，4)都在反比例函数y＝的图象上，则x1，x2，x3的大小关系是(　　)
A．x15．如图，一次函数y＝ax＋b的图象与反比例函数y＝的图象交于点A(2，3)，B(m，－2)，则不等式ax＋b>的解集是(　　)
A．－3＜x＜0或x＞2 B．x＜－3或0＜x＜2
C．－2＜x＜0或x＞2 D．－3＜x＜0或x＞3
6．函数y＝与y＝－ax2－a(a≠0)在同一直角坐标系中的大致图象可能是(　　)
7.某种玻璃原材料需在0℃环境下保存，取出后匀速加热至600℃高温后，停止加热，玻璃原材料的温度会逐渐降低至室温(30℃)，加热和降温过程中可以对玻璃原材料进行加工，且加工的温度要求不低于480℃.玻璃原材料的温度y(℃)与时间x(min)的函数图象如图所示，降温阶段y与x成反比例函数关系，根据图象信息，以下判断正确的是(　　)
A．玻璃原材料的加热速度为120℃/min
B．玻璃原材料的降温阶段，y与x之间的函数关系式为y＝
C．能够对玻璃原材料进行加工的时长为1.8 min
D．玻璃原材料从600℃降低至室温30℃需要的时间为80 min
8.如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y＝(k＞0，x＞0)的图象上有A，B两点，它们的横坐标分别为2和4，△ABO的面积为6，则k的值为(　　)
A．4 B．8 C．10 D．12
(第8题)　(第9题)　(第10题)
9．如图，D为矩形OABC(边OA，OC分别在x轴、y轴的正半轴上)对角线OB上的点，且OD＝BD，经过点D的反比例函数y＝的图象分别与AB，BC相交于点E，F，连接OE，OF，EF，若△OBF的面积是24，则△OEF的面积为(　　)
A．25 B．26 C. D.
10．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝kx(k>0)与双曲线y＝交于A，B两点，AC⊥x轴于点C，连接BC交y轴于点D，结合图象判断下列结论：①点A与点B关于原点对称；②D是BC的中点；③在y＝的图象上任取点P(x1，y1)和点Q(x2，y2)，如果y1>y2，那么x1>x2；④S△BOD＝.其中正确结论的个数是(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题(每题3分，共18分)
11．若反比例函数y＝(2k－1)x3k2－2k－1的图象位于第二、四象限，则k的值是________．
12．已知反比例函数y1＝，y2＝－，当1≤x≤3时，函数y1的最大值是a，函数y2的最大值是b，则ab＝________.
13.在温度不变的条件下，通过一次又一次地对汽缸顶部的活塞加压，加压后气体对汽缸壁所产生的压强p(kPa)与汽缸内气体的体积V(mL)成反比例关系，p关于V的函数图象如图所示．若压强由75 kPa加压到100 kPa，则气体体积压缩了________mL.
(第13题)(第14题)　　(第16题)
14．如图，矩形OABC的顶点B和正方形ADEF的顶点E都在反比例函数y＝(k≠0)的图象上，点B的坐标为(2，4)，则点E的坐标为____________．
15.若点M(x，y)的坐标满足x2＝t－5y，y2＝t－5x，其中x≠y，t为常数，则称点M为“好点”．若双曲线y＝上存在“好点”，则k的取值范围是________．
16．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A(x1，y1)，B(x2，y2)在双曲线y＝上，且0＜x1＜x2，分别过点A，B作x轴的平行线，与双曲线y＝(k＞3)分别交于点C，D.若△AOB的面积为，则的值为________．
三、解答题(共72分)
17．(8分)已知y＝y1＋y2，y1与x成正比例，y2与2x－3成反比例．并且当x＝2时，y＝5；当x＝时，y＝－.求y与x之间的函数表达式．
18．(8分)如图，A，B两点在函数y＝(x＞0)的图象上．
(1)求m的值及直线AB的表达式；
(2)如果一个点的横、纵坐标均为整数，那么我们称这个点是格点．请直接写出图中阴影部分(不包括边界)所含格点的个数．
19．(10分)如图，点A在第一象限，AC⊥x轴，垂足为C，OA＝2，tan A＝，反比例函数y＝的图象经过OA的中点B，与AC交于点D.
(1)求k的值；
(2)求△OBD的面积．
20．(10分)如图，以原点O为顶点作正方形OABC，已知点C(0，3)，点A在x轴的正半轴上，直线y＝x－1与边AB，OA分别交于点D，M.反比例函数y＝(k≠0，x>0)的图象经过点D，与BC交于点N，连接MN.
(1)求反比例函数的表达式；
(2)若点P是直线DM上的动点，当CP＝MN时，求点P的坐标．
21．(12分)如图，直线y1＝－x＋4，y2＝x＋b都与双曲线y＝(x>0)交于点A(1，n)，这两条直线分别与x轴交于B，C两点．
(1)求双曲线的函数表达式；
(2)根据图象，直接写出不等式x＋b>的解集；
(3)若点P在x轴上，且直线AP把△ABC的面积分成3?4两部分，求此时点P的坐标．
22．(12分)如图①，有一块边角料ABCDE，其中AB，BC，DE，EA是线段，曲线CD可以看成反比例函数图象的一部分．测量发现：∠A＝∠E＝90°，AE＝5，AB＝DE＝1，点C到AB，AE所在直线的距离分别为2，4.
(1)小宁把A，B，C，D，E这5个点先描到平面直角坐标系上，记点A的坐标为(－1，0)，点B的坐标为(－1，1)．请你在图②中补全平面直角坐标系并画出图形ABCDE；
(2)在(1)的前提下求直线BC、曲线CD的函数表达式；
(3)小宁想利用这块边角料截取一个矩形MNQP，其中M，N在AE上(点M在点N的左侧)，点P在线段BC上，点Q在曲线CD上．若矩形MNQP的面积是，则PM＝________．
23．(12分)根据以下素材，探索完成问题．
素材一：如图，果农计划利用已有的一堵长为36 m的墙围成一个面积为600 m2的矩形种植基地ABCD，边AD的长不超过墙的长度．设AB＝x m，AD＝y m.
素材二：现有80 m长的塑料薄膜可用于覆盖在篱笆的外围．(其中薄膜宽度与篱笆高度相同，薄膜与篱笆的间隙忽略不计)
(1)求y关于x的函数表达式；
(2)若塑料薄膜用了74 m，求AB的长；
(3)若x，y都是整数，请设计一个塑料薄膜用料最省的围建方案．
答案
一、1.B　2.D　3.A　4.C　5.A　6.B　7.C
8．B 【点拨】方法1：如图，过点A，B分别作x轴的垂线，垂足分别为M，N.∵A，B两点在反比例函数图象上，且A，B两点的横坐标分别为2和4，∴A点坐标为，B点坐标为，∴S△AOM＝OM·AM＝k.同理，S△BON＝ON·BN＝k.∵S△ABO＝6，∴6＋S△OBN＝S△AOM＋S四边形AMNB，∴S四边形AMNB＝6，∴×(4－2)＝6，∴k＝8.
方法2：如图，过点A，B分别作x轴的垂线，垂足分别为M，N，延长AB交x轴于点C，由A，B两点的横坐标分别为2，4，可知AB＝BC，OM＝MN＝NC.∵S△ABO＝6，∴S△AOC＝12，S△AOM＝×12＝4，∴k＝8.
9．D 【点拨】设点A的坐标为(a，0)，点C的坐标为(0，b)，则点B的坐标为(a，b)，∵OD＝BD，∴易得点D的坐标为，又∵点D在反比例函数y＝的图象上，∴k＝a×b＝ab.又∵点E，F在反比例函数的图象上，∴点F的坐标为，点E的坐标为，∴BF＝a－a＝a，BE＝b－b＝b，∴S△OFB＝BF×OC＝×ab＝24，解得ab＝54，∴S△OEF＝S矩形OABC－S△OCF－S△OEA－S△BEF＝ab－×ab－×ab－×a×b＝ab＝.
10．C 【点拨】∵直线y＝kx(k>0)与双曲线y＝交于A，B两点，∴点A与点B关于原点对称，故①正确．∵点A与点B关于原点对称，∴OA＝OB.∵DO⊥x轴，AC⊥x轴，∴OD∥AC，∴BO?AO＝BD?CD＝1?1，即BD＝CD，∴D是BC的中点，故②正确．∵2>0，∴在每一象限内，y随x的增大而减小，当P，Q在同一象限内时，如果y1>y2，那么x1y2，那么x1>x2，故③错误．∵AC⊥x轴，∴S△AOC＝k＝1，∵点A与点B关于原点对称，∴S△AOC＝S△BOC＝1，∵D是BC的中点，∴S△BOD＝S△COD＝S△BOC＝，故④正确．∴正确结论有3个．
二、11.0　12.　13.20　14.(4，2)
15.≤k＜ 【点拨】∵双曲线y＝上存在“好点”，∴①－②，得(x＋)＝5，∴(x＋－5)＝0.∵x≠y，即x≠，∴x＋－5＝0.整理得k＝5x－x2＝－(x2－5x)＝－＋.∵≤x≤4，且x≠y，∴≤k＜.
16. 【点拨】如图，过点A作AE⊥y轴，交y轴于点E，过点B作BF⊥x轴于点F，延长FB交AC于点G，
则四边形OEGF为矩形，易知y1＝，y2＝，G(x2，y1)，∴S△AOB＝S矩形OEGF－S△OEA－S△OFB－S△ABG＝x2y1－x1y1－x2y2－(x2－x1)(y1－y2)＝x2y1－x1y2＝＝，∴－＝，设＝m，则－m＝，∴2m2＋3m－2＝0.∴m＝或m＝－2.∵0＜x1＜x2，∴m＝－2不符合题意．经检验，m＝是原方程的解，∴＝.∵点C，D在双曲线y＝(k>3)上，∴易得C，D，∴AC＝－x1＝x1，BD＝－x2＝x2.∴＝＝.
三、17.【解】由题意可设y1＝k1x(k1≠0)，y2＝(k2≠0)，
则y＝y1＋y2＝k1x＋，
由题意，得解得
∴y与x之间的函数表达式为y＝x＋.
18．【解】(1)由题图可知，函数y＝(x＞0)的图象经过点A(1，6)，可得m＝6.设直线AB的表达式为y＝kx＋b.
∴解得∴直线AB的表达式为y＝－x＋7.
(2)阴影部分(不包括边界)所含格点有(2，4)，(3，3)，(4，2)，共3个．
19．【解】(1)在Rt△ACO中，∠ACO＝90°，tan A＝＝，
∴AC＝2OC.∵OC2＋AC2＝OA2，∴OC2＋(2OC)2＝(2)2，
∴OC＝2，∴AC＝4，∴A(2，4)．∵OA的中点是B，∴B(1，2)．
∵点B在反比例函数y＝的图象上，∴2＝，解得k＝2.
(2)由(1)知y＝，当x＝2时，y＝1，∴D(2，1)，∴AD＝4－1＝3，
∴S△OBD＝S△OAD－S△BAD＝×3×2－×3×(2－1)＝.
20．【解】(1)∵C(0，3)，∴OC＝3.
∵四边形OABC是正方形，∴OA＝OC＝3.
∵点D在直线y＝x－1上，∴易得D(3，2)．
∵点D在y＝(k≠0，x>0)的图象上，∴k＝3×2＝6，
∴反比例函数的表达式为y＝(x>0)．
(2)设P(a，a－1)．对于y＝，当y＝3时，x＝2，∴N(2，3)．
易得M(1，0)，∴MN2＝(2－1)2＋32＝10.
∵CP＝MN，∴CP2＝MN2，
∴a2＋(a－1－3)2＝10，整理，得a2－4a＋3＝0，解得a1＝1，a2＝3.∴P的坐标是(1，0)或(3，2)．
21．【解】(1)将点A(1，n)的坐标代入y1＝－x＋4，得n＝－1＋4＝3，∴A(1，3)．将点A(1，3)的坐标代入y＝，得3＝，解得k＝3.
∴双曲线的函数表达式为y＝.
(2)结合题图可知，不等式x＋b>的解集为x>1.
(3)对于y1＝－x＋4，令y1＝0，得0＝－x＋4，解得x＝4，∴B(4，0)．
将点A(1，3)的坐标代入y2＝x＋b，
得3＝×1＋b，解得b＝，∴y2＝x＋.
令y2＝0，得0＝x＋，解得x＝－3，∴C(－3，0)．
设P(m，0)，则PC＝m＋3，PB＝4－m，∴＝＝.
当＝时，＝，解得m＝0，∴P(0，0)；
当＝时，＝，解得m＝1，∴P(1，0)．
综上所述，点P的坐标为(0，0)或(1，0)．
22．【解】(1)如图①所示．
(2)设直线BC的函数表达式为y＝mx＋n.
∴解得
∴直线BC的函数表达式为y＝x＋.
设曲线CD的函数表达式为y＝(k>0)，易知1≤x≤4.
把C(1，4)的坐标代入得k＝1×4＝4，则曲线CD的函数表达式为y＝(1≤x≤4)．
(3) 【点拨】如图②，设点M的横坐标为m，则点P的坐标为(m，m＋)，
∴PM＝m＋.∵四边形MNQP是矩形，∴QN＝MP＝m＋，PQ＝MN.∴点Q的坐标为(，m＋)．∴MN＝PQ＝－m.∵矩形MNQP的面积为，∴MN·PM＝.∴(－m)·(m＋)＝，整理得9m2＋15m－14＝0，解得m＝或m＝－(舍去)．∴PM＝m＋＝.
23．【解】(1)由题意，得xy＝600，∴y＝(x≥16)．
故y关于x的函数表达式为y＝.
(2)由题意，得2x＋y＝74，即2x＋＝74，解得x1＝12，x2＝25，
经检验，x1＝12，x2＝25是原方程的解．
当x＝12时，BC＝74－12×2＝50(m)＞36 m，舍去；
当x＝25时，BC＝74－25×2＝24(m)＜36 m，故AB的长为25 m.
(3)∵2x＋y≤80，即2x＋≤80，且x，y都是整数，x≥16，
∴x可以为20，24，25，30.∴共有四种围建方案．
方案一：AB＝20 m，BC＝30 m，此时塑料薄膜用料为70 m；
方案二：AB＝24 m，BC＝25 m，此时塑料薄膜用料为73 m；
方案三：AB＝25 m，BC＝24 m，此时塑料薄膜用料为74 m；
方案四：AB＝30 m，BC＝20 m，此时塑料薄膜用料为80 m.
∵70 m＜73 m＜74 m＜80 m，
∴塑料薄膜用料最省的围建方案为AB＝20 m，BC＝30 m.

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