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第一章 直角三角形的边角关系 综合素质评价
一、选择题(每题3分，共30分)
1．在△ABC中，∠C＝90°，若sin A＝，则cos B的值为(　　)
A. B. C. D.
2．若tan A＝2，则∠A的度数估计在下列范围中的(　　)
A．0°＜∠A＜30° B．30°＜∠A＜45°
C．45°＜∠A＜60° D．60°＜∠A＜90°
3.如图，在由边长相等的小正方形组成的网格中，点A，B ，C ，D，E都在网格的格点上，则∠ADC的正弦值为(　　)
A. B. C. D.
(第3题)　　　　(第4题)
4．如图，∠ACB＝45°，∠PRQ＝125°，AC＝PR＝5，△ABC底边BC上的高为h1，△PQR底边QR上的高为h2，则有(　　)
A．h1＝h2 B．h1

h2 D．以上都有可能
5．某校组织一次定向越野拉练活动．如图，点A为出发点，途中设置两个检查点分别为点B和点C，行进路线为A→B→C→A.点B在点A的南偏东25°方向3 km处，点C在点A的北偏东80°方向，∠ABC＝45°，则检查点B和C之间的距离为(　　)
A．(6＋6) km B．(3＋3)km C．(3＋) km D．4.5 km
(第5题)　(第6题)　(第7题)
6．如图，一架飞机在点A处测得水平地面上一个标志物P的俯角为α，水平飞行m千米后到达点B处，又测得标志物P的俯角为β，那么此时飞机离地面的高度为(　　)
A.千米 B.千米
C.千米 D.千米
7.如图，利用四个全等的直角三角形拼成的“赵爽弦图”中，小正方形的面积是1，大正方形的面积是25，直角三角形中较大的锐角为β，则tan β的值为(　　)
A. B. C. D.
8.如图，在平面直角坐标系中，点A，B分别在x轴负半轴和y轴正半轴上，点C在OB上，OC：OB＝1：3，连接AC，过点O作OP∥AB交AC的延长线于点P.若点P的坐标为(1，1)，则tan∠ACO的值是(　　)
A. B．3 C. D．2
(第8题)
　　(第9题)(第10题)
9．如图，将菱形纸片ABCD沿过点C的直线折叠，使点D落在射线CA上的点E处，折痕CP交AD于点P.若∠ABC＝30°，AP＝4，则PE＝(　　)
A.－ B．2－2 C.＋ D．2＋2
10．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝5，过点A作直线l∥BC，点E是直线l上一动点，连接EC，过点E作EF⊥CE，连接BF，CF，若tan∠ECF＝，当BF最短时，AE的长度为(　　)
A. B．4 C．2 D．2
二、填空题(每题3分，共18分)
11.在△ABC中，若＋(tan B－1)2＝0，则∠C＝________.
12．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，过点D作AB的垂线交AC于点E，AC＝16，cos A＝，则AE的长度为________．
(第12题) 　　(第13题)
13．如图①，在△ABC中，AB＝AC＝4，射线AN∥BC，D为AN上一点，过点D作DE∥AB，交射线BC于点E.研究发现线段CE的长y与线段AD的长x之间的关系可用图②的图象表示，已知点M(8，2)，则∠B的正切值为________．
14.一段路基的横断面是直角梯形，如图①所示，已知原来坡面的坡角α的正弦值为0.6，现不改变土石方量，全部利用原有土石方进行坡面改造，使坡度变小，达到如图②所示的技术要求．改造后坡面的坡度是________．
(第14题)
(第15题) (第16题)
15．如图，某建筑物的顶部有一块标识牌CD，小明在斜坡上的B处测得标识牌顶部C的仰角为45°，沿斜坡走下来在地面上的A处测得标识牌底部D的仰角为60°，已知斜坡AB的坡角为30°，AB＝AE＝10 m，则标识牌CD的高度是____________．
16．已知三条平行线，相邻两条平行线间的距离相等，我们把三个顶点分别在这样的三条平行线上的三角形称为格线三角形．如图，已知等腰直角三角形ABC为格线三角形，且∠BAC＝90°，那么直线BC与直线c所夹锐角α的正切值为________．
三、解答题(共72分)
17．(8分)计算：
(1)cos 45°－tan 30°sin 60°＋cos 230°；
(2)(sin 30°)－1×(sin 60°－cos 45°)－.
18．(8分)根据下列条件解直角三角形．
(1)在Rt△ABC中，∠C＝90°，b＝5，c＝10；
(2)在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，S△ABC＝20.
19．(10分)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝3，点D在边AC上，且AD＝2CD，DE⊥AB于点E，连接CE.
(1)求BE的长；
(2)求tan∠ECB的值．
20．(10分)山东夏津黄河故道的古桑树群因其在防沙治沙、生物多样性保护、生物资源利用和农业景观维持等方面具有多功能价值，被联合国粮农组织收录为“全球重要农业文化遗产”，如今以古桑树群为核心不断滋养和丰富着夏津的文化成果和农业发展．五一期间，刘老师带领数学兴趣小组的同学们对其中一棵桑树的高度进行了相关测量．如图，他们先在地面上的A处测得这棵桑树树顶C点的仰角为34°，然后向这棵桑树所在地前进6米后到达B处，测得桑树树顶C点的仰角为45°，已知测角仪的高度为1米，请你根据相关数据计算出桑树的高度．(结果精确到1米．参考数据：sin 34°≈0.56，cos 34°≈0.83，tan 34°≈0.67)
21．(12分)如图，某公园中的四个景点铺设了游览步道(步道可以骑行)，组成一个四边形ABCD，为了方便，在景点C的正东方向设置了休息区M，其中休息区M在景点A的南偏西30°方向1 600米处，景点A在景点B的北偏东75°方向，景点B和休息区M相距1 000米(∠ABM<90°)，景点D分别在休息区M、景点A的正东方向和正南方向．
(1)求步道AB的长度(结果保留根号)；
(2)小明和小莹骑共享单车到景点A游玩，他们同时从休息区M出发，小明沿M－B－A路线，速度为每分钟300米；小莹沿M－D－A路线，速度为每分钟200米．请通过计算说明，小明和小莹谁先到达景点A.(参考数据：≈1.4，≈1.7)
22．(12分)【知识再现】如图①，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c.
∵sin A＝，sin B＝，∴c＝，c＝，∴＝.
【拓展探究】如图②，在锐角三角形ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c.请探究，，之间的关系，并写出探究过程．
【解决问题】如图③，为测量点A到河对岸点B的距离，选取与点A在河岸同一侧的点C，测得AC＝120 m，∠A＝75°，∠C＝60°.请用【拓展探究】中的结论，求点A到点B的距离．
23．(12分)如图，在△ABC中，∠BCA＝90°，AC＝8，sin B＝，D是斜边AB的中点，E是边AC的中点，连接CD，点P为线段CD上一点，连接PE，作点C关于直线EP的对称点F，连接EF，PF，设DP的长为x(x＞0)．
(1)AB的长为________；
(2)求PF的长(用含x的代数式表示)；
(3)当点F落在直线CD上时，求x的值；
(4)当直线PF与△ABC的边BC或AC垂直时，直接写出x的值．
答案
一、1.A　2.D　3.D　4.B　5.C　6.A　7.A
8．B 【点拨】方法1：∵P(1，1)，∴易知∠POC＝45°.∵OP∥AB，∴∠ABO＝∠POC＝45°.∵∠AOB＝90°，∴∠BAO＝∠ABO＝45°.∴AO＝BO.∵OC?OB＝1?3，∴OA＝3OC.∴tan∠ACO＝＝3.方法2：∵OP∥AB，∴＝.∵OC?OB＝1?3，∴＝，∴＝.过点P作PQ⊥x轴于点Q，易知CO∥PQ，∴OQ?AO＝CP?AC＝1?2，∠ACO＝∠APQ.∵P(1，1)，∴PQ＝OQ＝1，∴AO＝2OQ＝2，∴AQ＝3，∴tan∠APQ＝＝3，∴tan∠ACO＝tan∠APQ＝3.
9．D
10．B 【点拨】如图①，在点A的右侧取一点G，使得AG＝AC＝2，连接CG，GF，过点F作FH⊥l于点H.∵直线l∥BC，∠ACB＝90°，∴∠CAG＝90°.∵EF⊥CE，tan∠ECF＝，∴＝.∴＝＝.又∵∠CEF＝∠CAG＝90°，∴△CEF∽△CAG.∴＝，∠ECF＝∠ACG.∴＝，∠GCF＝∠ACE.∴△GCF∽△ACE.∴∠CGF＝∠CAE＝90°.∴∠AGC＋∠HGF＝90°.∵∠ACG＋∠AGC＝90°，∴∠HGF＝∠ACG.∵tan∠ACG＝＝，∴∠ACG和∠HGF都是定值．∴点F在射线GF上运动．
∴当BF⊥GF时，BF最短，如图②所示，延长HF，CB相交于点N.∵∠ACB＝∠CAH＝∠AHN＝90°，∴四边形ACNH是矩形．∴HN＝AC＝4，AH＝CN，∠CNH＝90°.∵BF⊥GF，∠CGF＝90°，∴BF∥CG.∴∠FBN＝∠GCN.∵AH∥CN，∴∠CGA＝∠GCN.∴∠FBN＝∠CGA.又∵∠FNB＝∠CAG＝90°，∴△FNB∽△CAG.∴＝.∵AG＝AC，∴FN＝2BN.设BN＝x，则FN＝2x，CN＝5＋x.∴FH＝4－2x，AH＝x＋5.易知AG＝2，∴GH＝x＋5－2＝x＋3.∵tan∠ACG＝tan∠HGF，∴＝，即＝，解得x＝1.∴BN＝1，FN＝2，FH＝2，GH＝4.∴GF＝＝＝2，CG＝＝＝2.∵△GCF∽△ACE，∴＝，即＝，解得AE＝4.∴当BF最短时，AE的长度为4.
二、11.105°　12.
13. 【点拨】∵DE∥AB，AN∥BC，∴四边形ABED是平行四边形．∴BE＝AD.根据题图②，得M点在图象拐点的右侧，即点E在点C的右侧，∴AD＝x＝8，EC＝y＝2.∴BE＝AD＝8，∴BC＝BE－EC＝6.过点A作BC的垂线，垂足为M，∵AB＝AC，AM⊥BC，∴BM＝BC＝3.∴在Rt△ABM中，AM＝＝，∴tan B＝＝.
14．1：4 【点拨】如图①，过点B作BE⊥DC于E，∴易得DE＝AB＝20 m．在Rt△BCE中，∵sin α＝＝0.6，BE＝AD＝30 m，∴BC＝＝50 m，∴EC＝＝40 m，∴DC＝DE＋EC＝60 m；如图②，过点B1，作B1E1⊥D1C1于E1，由题意知梯形ABCD的面积＝梯形A1B1C1D1的面积，即×(20＋60)×30＝×20×(20＋20＋E1C1)，解得E1C1＝80 m，∴改造后的坡度i＝B1E1：E1C1＝20：80＝1：4.
　
15．(15－5)m 【点拨】过点B作BM⊥EA交EA的延长线于点M，过点B作BN⊥CE于点N，易知四边形BMEN为矩形，∴BN＝ME，EN＝BM.在Rt△ABM中，AM＝AB·cos∠BAM＝5 m，BM＝AB·sin∠BAM＝5 m．在Rt△ADE中，DE＝AE·tan∠DAE＝10 m．在Rt△BCN中，BN＝ME＝AE＋AM＝(10＋5)m，∠CBN＝45°，∴CN＝BN·tan∠CBN＝(10＋5)m.∵EN＝BM＝5 m，∴CD＝CN＋EN－DE＝10＋5＋5－10＝(15－5)m.
16. 【点拨】如图，过点B作BE⊥a于点E，延长EB交直线c于点F，过点C作CD⊥a于点D，则∠CDA＝∠AEB＝90°.设平行线a，b间的距离为d，易知CD＝2d，BE＝BF＝d.∵∠CAB＝90°，∠CDA＝90°，∴∠DCA＋∠DAC＝90°，∠EAB＋∠DAC＝90°，∴∠DCA＝∠EAB.
∵AC＝AB，∴△CDA≌△AEB(AAS)．
∴AE＝CD＝2d，AD＝BE＝d.
∴易得CF＝DE＝AE＋AD＝2d＋d＝3d.∴tan α＝＝＝.
三、17.【解】(1)原式＝－××＋＝－＋＝.
(2)原式＝×－＝2×(－)＋1－＝－＋1－＝1－.
18．【解】(1)根据勾股定理可得a＝＝＝5，
∵sin A＝＝，∴∠A＝60°，∴∠B＝180°－∠C－∠A＝30°.
(2)∵∠C＝90°，∠A＝30°，∴∠B＝180°－∠C－∠A＝60°，
∴tan B＝tan 60°＝＝，∴b＝a.
∵S△ABC＝ab＝a·a＝20，∴a＝2，
∴b＝a＝2，∴c＝＝4.
19．【解】(1)∵AC＝3，AD＝2CD，∴AD＝2.∵∠ACB＝90°，AC＝BC＝3，∴AB＝3，∠A＝45°＝∠B.∵DE⊥AB，∴AE＝cos 45°·AD＝×2＝.∴BE＝AB－AE＝2.
(2)过点E作EF⊥BC，垂足为F，如图．
在Rt△BEF中，∵∠B＝45°，∴∠FEB＝∠B＝45°.∴EF＝BF＝sin 45°·BE＝×2＝2.∴CF＝BC－BF＝1.∴tan∠ECB＝＝＝2.
20．【解】连接EF并延长交CD于点M，由题易得，EM⊥CD，AB＝EF＝6米，BF＝DM＝AE＝1米，
设CM＝x米，∵∠CFM＝45°，∴FM＝CM＝x米．
∵EF＝6米，∴EM＝(x＋6)米．
∴tan∠CEM＝tan 34°＝＝≈0.67，
∴x≈12.2，即CM≈12.2米，∴CD＝CM＋MD≈13米．
答：桑树的高度约为13米．
21．【解】(1)由题意得，∠DAM＝30°，∠BAD＝75°，∠D＝90°，AM＝1 600米，BM＝1 000米，∴∠BAM＝75°－30°＝45°.
过点M作MH⊥AB于H，则∠AHM＝∠BHM＝90°，
∴∠AMH＝180°－90°－45°＝45°＝∠BAM，
∴AH＝MH＝AM·sin 45°＝800米，∴BH＝＝600米，∴AB＝AH＋BH＝1 400米．
答：步道AB的长度为1 400米．
(2)∵AM＝1 600米，∠DAM＝30°，∠D＝90°，∴DM＝AM＝800米，AD＝AM·cos 30°＝800米，∴路线M－D－A的路程为MD＋AD＝(800＋800)米，∴小莹到达景点A所用的时间为(800＋800)÷200≈10.8(分钟)．
∵路线M－B－A的路程为MB＋AB＝2 400米，∴小明到达景点A所用的时间为2 400÷300≈11.2(分钟)．∵10.8分钟<11.2分钟，∴小莹先到达景点A.
22．【解】【拓展探究】作CD⊥AB于点D，AE⊥BC于点E.
在Rt△ABE中，sin B＝＝，同理，sin B＝＝，sin∠BAC＝＝，sin∠BCA＝＝.∴AE＝csin B，CD＝asin B，CD＝bsin∠BAC，AE＝bsin∠BCA, ∴csin B＝bsin∠BCA，asin B＝bsin∠BAC.∴＝，＝.∴＝＝.
【解决问题】在△ABC中，∠B＝180°－∠A－∠C＝45°.
∵＝，AC＝120 m，∴＝，解得AB＝60 m．∴点A到点B的距离为60 m.
23．【解】(1)10
(2)∵D是Rt△ABC的斜边AB的中点，AB＝10，∴CD＝AB＝5.
∵DP的长为x，∴CP＝5－x.
∵点C关于直线EP的对称点为点F，∴PF＝PC＝5－x.
(3)如图①，当点F落在直线CD上时，易得PC⊥PE，
∵E是边AC的中点，AC＝8，∴CE＝AC＝4.
∵D为Rt△ABC的斜边AB的中点，∴CD＝AD，∴∠A＝∠ECP，
∴cos A＝cos∠ECP＝＝＝，∴＝，∴x＝.
　　
(4)x的值为1或3. 【点拨】如图②，若PF⊥AC，延长FP交CA于点G.∵点C关于直线EP的对称点为点F，∴∠F＝∠PCE＝∠A，PC＝PF，CE＝EF＝4，∴cos F＝cos A＝.易得BC＝6，∴sin∠PCG＝sin A＝，∴＝，∴PG＝(5－x)＝3－x，∴FG＝FP＋PG＝5－x＋3－x＝8－x.∵cos F＝＝，∴＝，∴x＝3；如图③，若PF⊥BC，延长FP交BC于点M，延长FE交BC的延长线于点N，则MF∥AC，∴∠CEN＝∠F＝∠ACD＝∠A＝∠MPC.∴sin∠MPC＝sin A＝＝，∴＝，∴CM＝3－x.∵CE＝4，cos∠CEN＝＝cos A＝，∴EN＝5，∴CN＝3，NF＝5＋4＝9，∴MN＝CM＋CN＝6－x.∵sin A＝sin F＝＝，∴＝，∴x＝1.综上所述，x的值为1或3.

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