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期中 综合素质评价
一、选择题(每题3分，共30分)
1．把△ABC的三边长都扩大为原来的3倍，则锐角A的正弦值(　　)
A．不变 B．缩小为原来的
C．扩大为原来的3倍 D．不能确定
2．在△ABC中，∠A，∠B均为锐角，且|tan B－|＋(2sin A－)2＝0，则△ABC的形状是(　　)
A．钝角三角形 B．等边三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
3．关于二次函数y＝3x2的图象，下列说法错误的是(　　)
A．点(－1，3)在二次函数y＝3x2的图象上
B．它的开口向上，且关于y轴对称
C．它的顶点是抛物线的最高点
D．它与y＝－3x2的图象关于x轴对称
4.在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝－mx＋n2与二次函数y＝x2＋m的图象可能是(　　)
5．抛物线y＝(x－a)2＋a－1的顶点一定不在(　　)
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
6.若抛物线 y＝x2 ＋bx＋c与 x轴的两个交点间的距离为2，则称此抛物线为定弦抛物线. 已知某定弦抛物线的对称轴为直线x＝1，将此抛物线向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的新抛物线的表达式为(　　)
A．y＝x2－1 B．y＝(x＋1)2－4　
C．y＝(x－1)2－4 D．y＝(x－1)2－1
7.按下列方法可求出tan 75°的值，如图，在Rt△ABC中，AC＝k，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，在CB的延长线上截取线段BD，使BD＝AB，连接AD，依据此图可求得tan 75°的值为(　　)
A．2－ B．2＋ C．1＋ D.－1
8．如图，斜坡AP的坡比为1：2.4，在坡顶A处的同一水平面上有一座古塔BC，在坡底P处测得该塔顶B的仰角∠BPQ为45°，在坡顶A处测得该塔顶B的仰角∠BAC为76°，坡顶A到塔底C处的距离为7米，则斜坡AP的长度约为(点P，A，B，C，Q在同一平面内，参考数据：sin 76°≈0.97，cos 76°≈0.24，tan 76°≈4.01)(　　)
A．24米 B．26米 C．28米 D．39米
(第8题)
　　　(第9题)　　　(第10题)
9．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，则下列结论正确的是(　　)
A．abc<0 　　　　　　 B．a－b＝0
C．3a－c＝0 　　　　　　 D．am2＋bm≤a－b(m为任意实数)
10．如图，已知菱形ABCD的边长为4，E是BC的中点，连接AE，AF平分∠EAD交CD于点F，过点F作FG∥AD交AE于点G，若cos B＝，则FG的长是(　　)
A．3 B. C. D.
二、填空题(每题3分，共18分)
11．若函数y＝x2－2x＋b的图象与坐标轴有三个交点，则b的取值范围是________．
12．某商场从安全和便利的角度出发，为提升顾客的购物体验，准备将自动扶梯由原来的阶梯式改造成斜坡式，如图，已知商场的层高AD为6 m，原坡角∠ABD＝30°，改造后的斜坡式自动扶梯的坡角∠ACB＝16°，请你计算改造后的自动扶梯增加的占地长度BC＝________(结果精确到0.1 m，参考数据：≈1.73，sin 16°≈0.28，cos 16°≈0.96，tan 16°≈0.29)．
(第12题)　　(第13题)
13．如图，在△ABC中，∠ABC＝30°，tan C＝，BC＝6，则AB的长为________．
14．二次函数y＝ax2－2ax＋b，当－2≤x≤3时，－2≤y≤6，则a－b的值为____________．
15．如图，一艘渔船正以60海里/时的速度向正东方向航行，在A处测得岛礁P在东北方向，继续航行1.5小时后到达B处，此时测得岛礁P在北偏东30°方向，同时测得位于岛礁P正东方向的避风港M在北偏东60°方向．为了在台风到来之前
用最短时间到达避风港M处，渔船立刻加速以75海里/时的速度继续航行________小时即可到达．(结果保留根号)
16.在平行四边形ABCD中，∠ABC是锐角，将CD沿直线l翻折至AB所在直线，对应点分别为C′，D′，若AC′∶AB∶BC＝1∶3∶7，则cos∠ABC＝________．
三、解答题(共72分)
17．(8分)计算：
(1)2cos 30°－tan 60°＋tan 45°－sin 60°；
(2)－sin 60°·cos 30°.
18．(10分)如图，A，B分别为y＝x2图象上的两点，且AB⊥y轴，AB＝6.
(1)求出点A，B的坐标；
(2)若点C在y＝x2的图象上，且∠ACB＝90°，求出点C的坐标．
19.(12分)如图①，学校礼堂的折叠座椅由椅背、座椅组成．图②是一个折叠座椅的示意图．已知椅背OA长60 cm，OA和展开后的座椅OB的夹角∠AOB＝α，没有人入座时，座椅与前排(前排看成与地面垂直)的距离DE＝40 cm，当有人入座时，OB水平，座椅前端点B距离前排20 cm，已知∠B＝58°，B，D，A三点共线．(参考数据：sin 58°≈0.85，cos 58°≈0.53，tan 58°≈1.60)
(1)求座椅OB的长(运算结果保留一位小数)；
(2)求α的值．
20．(12分)抛物线y＝x2的图象如图所示．
(1)当该抛物线向右平移m(m>0)个单位长度后，经过点A(0，3)，试求m的值；
(2)在图中画出平移后的图象；
(3)设两条抛物线相交于点B，点A关于新抛物线对称轴的对称点为点C，试在新抛物线的对称轴上找出一点P，使BP＋CP的值最小，并求出此时点P的坐标．
21．(14分)图①是某种可调节支撑架，BC为水平固定杆，竖直固定杆AB⊥BC，活动杆AD可绕点A旋转，CD为液压可伸缩支撑杆，已知AB＝10 cm，BC＝20 cm，AD＝50 cm.
(1)如图②，当活动杆AD处于水平状态时，求可伸缩支撑杆CD的长度(结果保留根号)；
(2)如图③，当活动杆AD绕点A由水平状态按逆时针方向旋转角度α到AD′，且tan α＝(α为锐角)时，求此时可伸缩支撑杆CD的长度(结果保留根号)．
22．(16分)在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx＋3(a≠0)经过A(－1，0)，B(3，0)两点，与y轴交于点C，点P是抛物线上一动点，且在直线BC的上方．
(1)求抛物线的表达式；
(2)如图①，过点P作PD⊥x轴，交直线BC于点E，若PE＝2ED，求点P的坐标；
(3)如图②，连接AC，PC，AP，AP与BC交于点G，过点P作PF∥AC交BC于点F.记△ACG，△PCG，△PGF的面积分别为S1，S2，S3.当＋取得最大值时，求sin∠BCP的值．
答案
一、1.A　2.B　3.C　4.D　5.B　6.B　7.B
8．D 【点拨】延长BC交PQ于点D，过点A作AH⊥PQ于点H.由题易知BC⊥AC，CD＝AH，DH＝AC.在Rt△BDP中，∵∠BPD＝45°，∴PD＝BD.在Rt△ABC中，tan 76°＝，AC＝7米，∴BC＝7tan 76°≈28.07(米)．∵斜坡AP的坡比为1?2.4，∴＝＝.设AH＝5k米，则PH＝12k米，由勾股定理，得AP＝13k米．易知PH＋HD＝BC＋CD，∴12k＋7≈28.07＋5k，解得k≈3.01，∴AP＝13k≈39米．
9．D 【点拨】∵抛物线开口向下，∴a<0.∵抛物线与y轴交于正半轴，∴c>0.∵抛物线与x轴的交点是(－3，0)和(1，0)，∴对称轴为直线x＝－1，∴－＝－1，∴b＝2a<0，∴abc>0，故选项A错误；∵b＝2a，∴2a－b＝0，故选项B错误；∵a<0，c>0，∴3a－c<0，故选项C错误；∵抛物线的对称轴为直线x＝－1，且开口向下，∴当x＝－1时，函数值最大，为y＝a－b＋c.∵当x＝m时，y＝am2＋bm＋c，∴am2＋bm＋c≤a－b＋c，∴am2＋bm≤a－b，故选项D正确．故选D.
10．B 【点拨】如图，过点A作AH⊥BC于点H，延长FG交AB于点P.由题意，得AB＝BC＝4，∵E是BC的中点，∴BE＝2.又∵cos B＝，∴BH＝1，即H是BE的中点，∴AB＝AE＝4.又∵AF是∠DAE的平分线，FG∥AD，∴易知∠FAG＝∠AFG，∴AG＝FG.又∵PF∥AD，AP∥DF，∴PF＝AD＝4.设FG＝x，则AG＝x，EG＝PG＝4－x.∵易知PF∥BC，∴∠AGP＝∠AEB＝∠B，
∴cos∠AGP＝＝＝，解得x＝，经检验，x＝是原方程的解，∴FG＝.
二、11.b＜1且b≠0　12.10.3 m　13.6－2
14.或－2 【点拨】抛物线的对称轴为直线x＝－＝1.①若a＞0，则x＝1时有最小值－2，即a－2a＋b＝－2，x＝－2时有最大值6，即4a＋4a＋b＝6，解得a＝，b＝－，∴a－b＝×－×＝；②若a＜0，则x＝1时有最大值6，即a－2a＋b＝6，x＝－2时有最小值－2，即4a＋4a＋b＝－2，解得a＝－，b＝，∴a－b＝×－×＝－2.故答案为或－2.
15. 【点拨】如图，过点P作PQ⊥AB交AB的延长线于点Q，过点M作MN⊥AB交AB的延长线于点N，由题易知在Rt△AQP中，∠PAQ＝45°，∴AQ＝PQ＝60×1.5＋BQ＝90＋BQ，∴ BQ＝PQ－90.易知在Rt△BPQ中，∠BPQ＝30°，∴BQ＝PQ·tan 30°＝PQ，∴PQ－90＝PQ，∴PQ＝45(3＋)海里，∴易知MN＝PQ＝45(3＋)海里．在Rt△BMN中，易知∠MBN＝30°，∴BM＝2MN＝90(3＋)海里，∴继续航行
＝(小时)即可到达．
16.或 【点拨】设直线l交BC于点F.①当C′在线段AB上时，如图①，根据AC′∶AB∶BC＝1∶3∶7，设AC′＝1，则AB＝3，BC＝7，由翻折的性质知∠FCD＝∠FC′D′，C′F＝CF.∵CD沿直线l翻折至AB所在直线，∴∠BC′F＋∠FC′D′＝180°＝∠FCD＋∠FBA，∴∠BC′F＝∠FBA，∴BF＝C′F＝CF＝.过点F作FE⊥AB，垂足为E，∴BE＝BC′＝(AB－AC′)＝1，∴cos∠ABC＝＝＝；②当C′在BA的延长线上时，如图②，根据AC′∶AB∶BC＝1∶3∶7，设AC′＝1，则AB＝3，BC＝7，同理知CF＝C′F＝BF＝，过点F作FE⊥AB，垂足为E，∴BE＝BC′＝(AB＋AC′)＝2，∴cos∠ABC＝＝＝.
综上，cos ∠ABC的值为或.
　　
三、17.【解】(1)原式＝2×－＋1－×＝1－.
(2)原式＝－×＝－.
18．【解】(1)由题意知点A与点B关于y轴对称．
∵AB＝6，∴点A的横坐标为－3，点B的横坐标为3.
代入y＝x2中，得点A，B的纵坐标均为9，
∴点A的坐标为(－3，9)，点B的坐标为(3，9)．
(2)设C(a，a2)，∴AC2＝(－3－a)2＋(9－a2)2，BC2＝(3－a)2＋(9－a2)2.∵∠ACB＝90°，∴AC2＋BC2＝AB2，即(－3－a)2＋(9－a2)2＋(3－a)2＋(9－a2)2＝62，∴a2＝8或a2＝9(舍去)．∴a＝±2.∴点C的坐标为(－2，8)或(2，8)．
19．【解】(1)如图，过点D作DM⊥OB于M，过点O作ON⊥AB于N，延长OB交直线l于C，由题意可知DE⊥l，OB∥DE，BC＝20 cm，DE＝40 cm，
∴易知四边形DECM是矩形，
∴CM＝DE＝40 cm，∴BM＝CM－BC＝20 cm.
∵∠ABO＝58°，∴BD＝＝ cm.
∵OD＝OB，∴BN＝DN＝BD＝ cm，
∴OB＝＝≈35.6 cm.
(2)∵在Rt△BON中，BN＝，∴ON＝BN·tan 58°＝，∵OA＝60 cm，∴sinA＝＝≈，
∴∠A≈30°，∴α＝∠AOB≈180°－58°－30°＝92°.
20．【解】(1)易知平移后的抛物线为y＝(x－m)2.
∵平移后的抛物线经过点A(0，3)，∴3＝(0－m)2，
解得m1＝3，m2＝－3(不合题意，舍去)，即m的值是3.
(2)平移后的抛物线y＝(x－3)2如图所示．
(3)联立得
解得∴B.
∵平移后抛物线y＝(x－3)2的对称轴是直线x＝3，A(0，3)，
∴点C的坐标为(6，3)，∴点B，C在直线x＝3的两侧，
∵点P在新抛物线的对称轴x＝3上，∴当B，P，C三点共线时，BP＋CP的值最小(两点之间线段最短)．
设过点B，C的直线的函数表达式为y＝kx＋b(k≠0)，则解得∴y＝x.
当x＝3时，y＝，即此时点P的坐标为.
21．【解】(1)过点C作CE⊥AD，垂足为E，如图①.
由题意易得AB＝CE＝10 cm，BC＝AE＝20 cm.∵AD＝50 cm，∴ED＝AD－AE＝30 cm.∴CD＝＝10 cm.∴可伸缩支撑杆CD的长度为10cm.
(2)过点D′作D′F⊥BC，交BC的延长线于点F，交AD于点G，如图②.由题意易得四边形ABFG为矩形，
∴AB＝FG＝10 cm，AG＝BF，∠AGD′＝90°.∵tan α＝＝，∴设D′G＝3x cm，则AG＝4x cm.∴AD′＝＝5x cm.∵AD′＝AD＝50 cm，∴5x＝50，解得x＝10.∴AG＝40 cm，D′G＝30 cm.∴BF＝AG＝40 cm，D′F＝D′G＋FG＝40 cm.又∵BC＝20 cm，∴CF＝BF－BC＝20 cm.∴CD′＝＝20 cm.∴此时可伸缩支撑杆CD的长度为20cm.
22．【解】(1)由题意得解得
∴y＝－x2＋2x＋3.
(2)∵当x＝0时，y＝3，∴C(0，3)．
设直线BC的表达式为y＝kx＋n，
∴解得∴y＝－x＋3.
设P(m，－m2＋2m＋3)，∵PD⊥x轴于点D，交直线BC于点E，
∴PD＝－m2＋2m＋3，E(m，－m＋3)，D(m，0)．
∴DE＝－m＋3.∴PE＝PD－DE＝－m2＋3m.
∵PE＝2ED，∴－m2＋3m＝2(－m＋3)，
解得m1＝2，m2＝3(此时P，B重合，舍去)．∴m＝2.∴P(2，3)．
(3)∵PF∥AC，∴△ACG∽△PFG.∴＝＝.
∴＝＝，＝＝.∴＋＝.
如图，作AN∥BC交y轴于点N，作PQ∥y轴交BC于点Q.
∵直线BC的表达式为y＝－x＋3，AN∥BC，
∴设直线AN的表达式为y＝－x＋b′.
∴0＝－(－1)＋b′，解得b′＝－1.
∴直线AN的表达式为y＝－x－1.
当x＝0时，y＝－1，∴N(0，－1)．
∴CN＝4.
∵AN∥BC，PQ∥y，
∴∠PQF＝∠NCB＝∠ANC.
∵PF∥AC，∴∠PFC＝∠ACF.
∵∠PFC＝∠FPQ＋∠PQF，∠ACF＝∠NCB＋∠ACN，
∴∠FPQ＝∠ACN.∴△PFQ∽△CAN.∴＝.
设P(n，－n2＋2n＋3)，则Q(n，－n＋3)，∴PQ＝－n2＋3n.
∴＋＝＝＝＝－＋.
∴当n＝时，＋有最大值.此时P，Q(，)．∴PQ＝－＝，CQ＝＝.∵ON＝OA＝1，OB＝OC＝3，∴∠OBC＝∠ANC＝45°.∵∠ANC＝∠PQF，∴∠OBC＝∠PQF.∵BC＝＝3，AB＝4，∴＝＝，＝＝.∴＝.∴△CPQ∽△ACB.∴∠BCP＝∠CAB.∵AC＝＝，∴sin∠BCP＝sin∠CAB＝＝.

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