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2025-2026学年上海市浦东新区杨思高级中学高二（下）期中数学试卷
一、单项选择题：本大题共4小题，共12分。
1.直线的倾斜角为（　　）
A. B. C. D.
2.已知圆C1的半径为3，圆C2的半径为7，若两圆相交，则两圆的圆心距可能是（　　）
A. 0 B. 4 C. 8 D. 12
3.设F1（-5，0），F2（5，0）为平面上两个定点，动点P（x,y）满足||PF1|-|PF2||=10，则动点P的轨迹为（　　）
A. 直线 B. 两条射线 C. 椭圆 D. 双曲线
4.古希腊数学家阿波罗尼奥斯用不同的平面截同一圆锥，得到了圆锥曲线，其中的一种如图所示.用过M点且垂直于圆锥底面的平面截两个全等的对顶圆锥得到双曲线的一部分，已知高PO=2，底面圆的半径为4，M为母线PB的中点，平面与底面的交线EF⊥AB，则双曲线的两条渐近线所成角的余弦值为（　　）
A.
B.
C.
D.
二、填空题：本题共12小题，每小题3分，共36分。
5.直线2x-y+1=0的一个法向量为= .
6.抛物线y2=4x的准线方程为______．
7.点P在椭圆上，则点P的横坐标的取值范围是 .
8.圆x2+y2+2x+4y=0的圆心坐标是 .
9.双曲线的渐近线方程为 .
10.圆x2+y2=5的过点M（2，1）的切线方程为 .
11.设k∈R，若方程表示焦点在y轴上的椭圆，则k的取值范围是 .
12.直线l：x+2y-4=0与椭圆C：x2+4y2=16交于A，B两点，则弦长|AB|= .
13.已知双曲线C：=1（a＞0，b＞0）的离心率为，且与椭圆=1有公共焦点，则C的方程为______．
14.已知抛物线y2=8x的焦点是F，点A（3，2），若抛物线上存在一点M使得|MA|+|MF|最小，则M点的横坐标为______．
15.若M，N是双曲线上关于原点对称的两个点，P是该双曲线上任意一点.当直线PM，PN的斜率都存在时，记为k1，k2，则k1 k2= ______.
16.定义：点P为曲线L外的一点，A，B为L上的两个动点，则∠APB取最大值时，∠APB叫点P对曲线L的张角.已知点P为抛物线C：y2=4x上的动点，设P对圆M：（x-3）2+y2=1的张角为θ，则cosθ的最小值为______.
三、解答题：本题共5小题，共52分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
已知两条直线l1：（a-1）x+y-1=0和l2：6x+ay+2=0
（1）若l1⊥l2，求实数a的值；
（2）若l1∥l2，求实数a的值.
18.(本小题10分)
已知圆C的圆心为（2，1），若圆C经过直线l1：x-y+1=0，l2：2x+y+2=0的交点.
（1）求圆C的标准方程；
（2）直线l：kx-y-2=0与圆C交于M，N两点，且，求直线l的方程.
19.(本小题10分)
某市为庆祝建党104周年，举办城市发展巡展活动，巡展的车队要经过一个单行隧道，隧道横断面由一段抛物线A1OA及一个矩形A1C1CA的三边组成，尺寸如图（单位：m）.
（1）以隧道横断面抛物线的顶点O为原点，以抛物线的对称轴为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系xOy,求该段抛物线A1OA所在抛物线的方程；
（2）为保证安全，要求车辆顶部与隧道顶部在竖直方向上高度差至少要有0.5米，若现有一宽3m的载运集装箱车辆需通过该隧道，请计算车辆的限制高度为多少米？（精确至0.1米）
20.(本小题12分)
已知椭圆，点P为椭圆C的上顶点，点F1，F2为椭圆C的左右焦点，点M为椭圆C上的一个动点.
（1）求△F1MF2的周长；
（2）若MF1⊥MF2，求点M的坐标；
（3）求动点M到点P距离的最大值和最小值.
21.(本小题12分)
设b＞0，如图，在平面直角坐标系xOy中，A（xA，yA）是双曲线Γ1：和圆Γ2：x2+y2=4+b2在第一象限内的交点，曲线Γ由Γ1中满足|x|＞xA的部分和Γ2中满足|x|＞xA的部分构成.
（1）若，求b的值；
（2）设，F1、F2分别为Γ与x轴的左、右两个交点.第一象限内的点P也在Γ上，且|PF1|=8，求∠F1PF2的大小；
（3）过点作斜率为的直线l.若l与Γ恰有两个不同的公共点，求b2的取值范围以及双曲线Γ1的离心率的取值范围.
1.【答案】B
2.【答案】C
3.【答案】B
4.【答案】B
5.【答案】（2，-1）（答案不唯一，（2t，-t），t∈R，t≠0）
6.【答案】x=-1
7.【答案】[，]
8.【答案】（-1，-2）
9.【答案】
10.【答案】2x+y-5=0
11.【答案】（-1，4）
12.【答案】
13.【答案】=1
14.【答案】
15.【答案】
16.【答案】
17.【答案】 a=3
18.【答案】解：（1）联立，
解得，
故直线l1和l2的交点为D（-1，0），
r=|CD|==，
故圆C的标准方程为（x-2）2+（y-1）2=10；
（2）直线l：kx-y-2=0与圆C交于M，N两点，且，
则==2，
解得k=，
故直线l的方程为5x-12y-24=0．
19.【答案】x2=-3y 3.8米
20.【答案】 最大值为，最小值为0
21.【答案】2；
；
，离心率的取值范围．
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