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2025-2026学年河北省唐山市开滦第二中学高一（下）期中数学试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.已知复数（i为虚数单位），则=（　　）
A. B. C. D. 2
2.已知向量=（0，x），=（2，2），若⊥（-4），则x=（　　）
A. -2 B. -1 C. 1 D. 2
3.在△ABC中，点D在边AB上，且BD=2DA.记，，则=（　　）
A. B. C. D.
4.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a,b,c.若，则cosA=（　　）
A. B. C. D.
5.如图，水平放置的△ABC的斜二测直观图为△A′B′C′，若A′B′=A′C′=2，，则BC=（　　）
A.
B.
C.
D.
6.已知圆锥的表面积为9，它的侧面展开图是一个半圆，则圆锥的体积为（　　）
A. B. C. D.
7.已知四棱锥P-ABCD的侧棱均相等，其各个顶点都在球O的球面上，AB=BC，∠ABC=90°，，CD=2，三棱锥P-ABC的体积为，则球O的表面积为（　　）
A. 25π B. C. 32π D.
8.如图，在△ABC中，，，P为CD上一点，且满足，若△ABC的面积为，则的最小值为（　　）
A.
B.
C. 1
D.
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.下列结论正确的是（　　）
A. 圆柱的每个轴截面都是全等矩形
B. 长方体是直四棱柱，直四棱柱不一定是长方体
C. 用一个平面截圆锥，必得到一个圆锥和一个圆台
D. 四棱柱、四棱台、五棱锥都是六面体
10.已知复数z=a+bi（a,b∈R），|z|=2，则下列说法正确的是（　　）
A. B. 若z2∈R，则
C. 若b=2，则z为纯虚数 D. 1≤|z-3i|≤5
11.在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a,b,c,sinAsinBsinC=，且△ABC的面积为1，则下列命题正确的是（　　）
A. △ABC的外接圆半径为1 B. abc=4
C. b2+c2≥4 D. △ABC可能为钝角三角形
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知向量满足，，，则= .
13.正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为1，高为4，在棱BB1，CC1上分别任取点E，F，则AE+EF+FA1的最小值为 .
14.△ABC中，BC=2，，∠ACB=90°，D为线段CB的中点，点E，F分别在线段BA，AC上.若△DEF为正三角形，则△DEF的面积为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知复数.
（1）求z的实部与虚部；
（2）若，求m和n的值.
16.(本小题15分)
已知向量=（1，2），=（2，-1），=（m,2），m∈R.
（1）当（+）⊥（λ-）时，求实数λ的值；
（2）当∥（+）时，求向量与的夹角的余弦值.
17.(本小题15分)
如图，一个圆锥的底面半径为1，高为4，在圆锥中有一个内接圆柱.
（1）求圆锥的表面积与体积；
（2）设圆柱的底面半径为x,当x为何值时，圆柱的表面积最大，最大表面积为多少.
18.(本小题17分)
在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a,b,c,S为△ABC的面积，且2S=a2-（b-c）2.
（1）求sinA的值；
（2）求的取值范围.
19.(本小题17分)
若△ABC中角A，B，C所对的边分别为a,b,c,O是△ABC内一点，如图1.
（1）若a=3，OB=2OC，求△OBC面积的最大值；
（2）若△ABC为正三角形，，，连接AO并延长交BC于点D，如图2.
①求tan∠OAB；②求.
1.【答案】A
2.【答案】C
3.【答案】A
4.【答案】D
5.【答案】B
6.【答案】B
7.【答案】A
8.【答案】A
9.【答案】ABD
10.【答案】ACD
11.【答案】ABC
12.【答案】1
13.【答案】5
14.【答案】
15.【答案】z的实部为，虚部为；
m=4，n=-2．
16.【答案】1；
．
17.【答案】，
18.【答案】解：（1）∵2S=a2-（b-c）2，，
∴bcsinA=a2-（b-c）2，
∴，
∴，
又∵sin2A+cos2A=1，
∴
∴，
∴sinA=0（舍），．
（2）∵A+B+C=π，
∴sinB=sin（A+C），
∴
=，
∵△ABC为锐角三角形，
∴C＜90°，A+C＞90°，
∴C＞90°-A，，
∴，，
∴+∈（，）．
，令，
单调递减，单调递增，
当t=1，ymin=2，当，
∴
19.【答案】3；
①；②．
第1页，共1页

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