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2025-2026学年河北省唐山市第二中学高一（下）期中数学试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.设P是△ABC所在平面内的一点，，则（　　）
A. B.
C. D.
2.复数=（　　）
A. -1+i B. -1-i C. 1+i D. 1-i
3.如图，△ABO的斜二测直观图是△A′B′O′，其中，则△ABO的面积是（　　）
A. 1
B. 2
C. 4
D. 8
4.已知平面向量，，若在上的投影向量为，则x=（　　）
A. B. 1 C. D. 2
5.复数z在复平面内对应的点为Z，若1≤|z|≤3，则点Z的集合对应的图形的面积为（　　）
A. 8 B. 4 C. 8π D. 4π
6.在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且cos2＝，则△ABC是
A. 直角三角形 B. 等腰三角形或直角三角形
C. 等边三角形 D. 等腰直角三角形
7.如图，这是一座山的示意图，山大致呈圆锥形，山脚呈圆形，半径为3km,山高为km,B是山坡SA上一点，且AB=7km.现要建设一条从A到B的环山观光公路，这条公路从A出发后先上坡，后下坡，当公路长度最短时，公路上坡路段长为（　　）
A. 10.2km B. 12km C. km D. km
8.已知△ABC内接于单位圆，且（1+tanA）（1+tanB）=2，则S△ABC的最大值为（　　）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.已知复数z的共轭复数为，则下列说法正确的是（　　）
A. 一定是实数 B. 一定是实数
C. 一定是纯虚数 D. z2=|z|2
10.下列说法正确的是（　　）
A. 与向量方向相同的单位向量的坐标为
B. 已知平面向量，，若向量与的夹角为锐角，则t＞-1
C. 为非零向量，且相互不共线，则
D. 若与共线，则x=-4
11.已知正四面体的外接球、内切球的球面上各有一动点M、N，若线段MN的最小值为，则（　　）
A. 正四面体的棱长为6 B. 正四面体的内切球的表面积为6π
C. 正四面体的外接球的体积为8 D. 线段MN的最大值为2
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.设O为原点，向量，对应的复数分别为3-2i,-2+5i,那么向量对应的复数的虚部为 .
13.已知上底面半径为r,下底面半径为2r的圆台的体积为V1，上底面边长为r,下底面边长为2r的正四棱台的体积为V2，若该圆台与正四棱台的高相等，则= .
14.已知三棱锥A-BCD中三组相对的棱长分别相等，长度分别为，，，其中a＞0，b＞0，a+b=2，则三棱锥A-BCD的外接球的表面积的最小值为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a,b,c,若向量，且向量∥.
（1）求角A的值；
（2）若，求△ABC的周长.
16.(本小题15分)
已知复数.
（1）若是纯虚数，求a的值；
（2）在复平面内，复数z1，z2对应的向量分别是，其中O是原点，且，求z2.
17.(本小题15分)
已知正四棱锥S-ABCD的侧面积是底面积的2倍，且高为3.设BC的中点为E，底面ABCD中心为O.
（1）求SE的长度；
（2）求正四棱锥S-ABCD的表面积和体积；
（3）设平面SBC∩平面SAD=l,求证：l∥BC.
18.(本小题17分)
如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长AB=2，M为DD1的中点.
（1）求证：BD1∥平面AMC；
（2）设E为BD1上的动点，问在棱CC1上是否存在一点N，使得EN∥平面AMC？若存在说明N的位置并证明，若不存在说明理由；
（3）设三棱锥D-MAC的体积为V1，三棱锥D1-B1AC的体积为V2，求的值.
19.(本小题17分)
已知△ABC的内角A，B，C的对边为a,b,c,且.
（1）求sinA；
（2）若△ABC的面积为；
①已知E为BC的中点，求△ABC底边BC上中线AE长的最小值；
②求内角A的角平分线AD长的最大值.
1.【答案】B
2.【答案】B
3.【答案】D
4.【答案】D
5.【答案】C
6.【答案】A
7.【答案】D
8.【答案】D
9.【答案】AB
10.【答案】AD
11.【答案】ABD
12.【答案】7
13.【答案】π
14.【答案】3π
15.【答案】；
．
16.【答案】a=-2；
z2=3+i或．
17.【答案】 S=36；V=12 证明：由题意得底面ABCD为正方形，
则BC∥AD，又BC 平面SAD，AD 平面SAD，
所以BC∥平面SAD，又BC 平面SBC，平面SBC∩平面SAD=l，
所以l∥BC
18.【答案】证明见解答； 当E为BD1的中点时，可使得EN∥平面AMC；证明见解答； ．
19.【答案】解：（1）由正弦定理得，即，
由余弦定理有，又A∈（0，π），
所以；
（2）①由（1）知，又△ABC的面积为，
则，解得bc=16，
也，
则=
≥，
当且仅当b=c时，等号取得到，
所以；
②由题，S△ADB+S△ADC=S△ABC，
所以，
因为A∈（0，π），所以，
所以，
又，bc=16，
故，
由基本不等式，当且仅当b=c=4时，等号取得到，
故，
故，所以|AD|max=．
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