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2025-2026学年河北省唐山市第二中学高二（下）期中数学试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.已知函数y=f（x）的导函数y=f′（x）图象如图所示，则函数y=f（x）的大致图象是（　　）
A.
B.
C.
D.
2.甲、乙、丙三个车间生产同一种产品，其产量分别占总量的25%，35%，40%，次品率分别为5%，4%，2%，从这批产品中任取一件，则它是次品的概率为（　　）
A. 0.0123 B. 0.0234 C. 0.0345 D. 0.0456
3.安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有（　　）
A. 36种 B. 24种 C. 18种 D. 12种
4.函数f（x）=x3-6x2+9x-1的单调递减区间为（　　）
A. （-∞，1） B. （1，3） C. （1，+∞） D. （3，+∞）
5.在（1-x）（1+x）3的展开式中，x3的系数是（　　）
A. 2 B. -2 C. 1 D. -1
6.已知，其中e为自然对数的底数，则（　　）
A. f（2）＞f（e）＞f（3） B. f（3）＞f（e）＞f（2）
C. f（e）＞f（2）＞f（3） D. f（e）＞f（3）＞f（2）
7.已知P是曲线C：y=e2x上一点，直线l：x+2y+c=0经过点P，且与曲线C在P点处的切线垂直，则实数c的值为（　　）
A. -4-ln2 B. C. -2 D. -1
8.若不等式xln x+x(1-k)+2k＞0对任意的x∈(2，+∞)都恒成立，则整数k的最大值为（）
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.已知两个离散型随机变量ξ，η，满足η=2ξ+1，其中ξ的分布列如下：
ξ 1 2 3
P b a
其中a,b为非负数.若，D（η）=1，则（　　）
A. B. C. D. E（η）=5
10.若，则（　　）
A. a0=2
B. a0+a1+a2+…+a2025=1
C.
D. a1+2a2+3a3+…+2025a2025=2025
11.已知函数f（x）=ex，g（x）=lnx,其中e为自然对数的底数．下列结论正确的是（　　）
A. 函数y=f（x）-g（x）在（0，1）上单调递减
B. 函数y=f（x）-g（x）的最小值大于2
C. 若P，Q分别是曲线y=f（x）和y=g（x）上的动点，则|PQ|的最小值为
D. 若f（mx）-g（x）≥（1-m）x对x∈（0，+∞）恒成立，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若（a,b为有理数），则a= .
13.从编号为1，2，…，10的10个大小相同的球中任取4个.
（1）选出球的最大号码为6的概率为 .
（2）已知选出4号球的条件下，选出球的最大号码为6的概率为 .
14.已知关于x的不等式在（0，+∞）上恒成立，则实数λ的取值范围为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知的展开式共有11项．
（1）求展开式中各项二项式系数的和；
（2）求展开式中x-1的系数．
16.(本小题15分)
已知函数f(x)＝ex－a(x＋2)．
(1)当a＝1时，讨论f(x)的单调性；
(2)若f(x)有两个零点，求a的取值范围．
17.(本小题15分)
我国无人机发展迅猛，在全球具有领先优势，已经成为“中国制造”一张靓丽的新名片，并广泛用于森林消防、抢险救灾、环境监测等领域.某森林消防支队在一次消防演练中利用无人机进行投弹灭火试验，消防员甲操控无人机对同一目标起火点进行了三次投弹试验，已知无人机每次投弹时击中目标的概率都为，每次投弹是否击中目标相互独立.无人机击中目标一次起火点被扑灭的概率为，击中目标两次起火点被扑灭的概率为，击中目标三次起火点必定被扑灭.
（1）求起火点被无人机击中次数的分布列及数学期望；
（2）求起火点被无人机击中且被扑灭的概率.
18.(本小题17分)
在一次购物抽奖活动中，假设10张奖券中有一等奖奖券1张，可获价值50元的奖品，有二等奖奖券3张，每张可获价值10元的奖品，其余6张没有奖品.
（1）顾客甲从10张奖券中任意抽取1张，求中奖金额X的分布列；
（2）顾客乙从10张奖券中任意抽取2张，
①求顾客乙中奖的概率；
②设顾客乙获得的奖品总价值为Y元，求Y的分布列.
19.(本小题17分)
已知函数f（x）=ln+ax+b（x-1）3.
（1）若b=0，且f′（x）≥0，求a的最小值；
（2）证明：曲线y=f（x）是中心对称图形；
（3）若f（x）＞-2当且仅当1＜x＜2，求b的取值范围.
1.【答案】D
2.【答案】C
3.【答案】A
4.【答案】B
5.【答案】B
6.【答案】D
7.【答案】C
8.【答案】B
9.【答案】AC
10.【答案】BC
11.【答案】BCD
12.【答案】41
13.【答案】

14.【答案】（，+∞）
15.【答案】解：（1）∵的展开式共有11项，∴n=10，
可得展开式中各项二项式系数的和为2n=210=1024．
（2）由于展开式中，通项公式为Tr+1= x20-3r，
令20-3r=-1，求得r=7，可得展开式中x-1的系数为T8= =-=-．
16.【答案】解：由题意，f（x）的定义域为（-∞，+∞），且f′（x）=ex-a．
（1）当a=1时，f′（x）=ex-1，令f′（x）=0，解得x=0，
∴当x∈（-∞，0）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，
当x∈（0，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，
∴f（x）在（-∞，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增；
（2）①当a≤0时，f′（x）=ex-a>0恒成立，
f（x）在（-∞，+∞）上单调递增，不合题意；
②当a＞0时，令f′（x）=0，解得x=lna，
当x∈（-∞，lna）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，
当x∈（lna，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，
∴f（x）的极小值也是最小值为f（lna）=a-a（lna+2）=-a（1+lna），
又当x→-∞时，f（x）→+∞，当x→+∞时，f（x）→+∞，
∴要使f（x）有两个零点，只要f（lna）＜0即可，
则1+lna＞0，可得a＞，
综上，若f（x）有两个零点，则a的取值范围是（，+∞）．
17.【答案】解：（1）起火点被无人机击中次数X的所有可能取值为0，1，2，3，
，
，
∴X的分布列如下：
X 0 1 2 3
P
∵，∴；
（2）击中一次被扑灭的概率为，
击中两次被扑灭的概率为，
击中三次被扑灭的概率为，
∴所求概率．
18.【答案】X的分布列为：
X 0 10 50
P
①；②Y的分布列为
Y 0 10 20 50 60
P

19.【答案】解：（1）由，解得0＜x＜2，
所以函数f（x）的定义域为（0，2），
当b=0时，，
所以，对 0＜x＜2恒成立，
又，当且仅当x=1时取“=”，
所以只需2+a≥0，即a≥-2，
所以a的最小值为-2．
（2）证明：x∈（0，2），f（2-x）+f（x）=，
所以f（x）关于点（1，a）中心对称．
（3）因为f（x）＞-2当且仅当1＜x＜2，
所以f（1）=-2，即a=-2，
所以对 1＜x＜2恒成立，
，
令，
所以必有g（1）=2+3b≥0，得到b≥-（必要性），
否则，存在x∈（1，δ）使f′（x）＜0，f（x）在（1，2）上单调递减，
所以f（x）＜f（1）=-2，
当时，对 x∈（1，2），，
，对 x∈（1，2）恒成立，
所以h（x）＞h（1）=-2符合题意，
综上所述：，
所以b的取值范围为[-，+∞）．
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