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2025-2026学年广东省东莞中学松山湖学校高二（下）期中数学试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.在（a+b）n的展开式中，只有第4项的二项式系数最大，则n=（　　）
A. 8 B. 7 C. 6 D. 5
2.如图，直线l和圆C，当l从l0开始在平面上绕点O按逆时针方向匀速转动（转动角度不超过90°）时，它扫过的圆内阴影部分的面积S是时间t的函数，这个函数的图象大致是（　　）
A. B.
C. D.
3.函数f（x）=-x2+ax+1-lnx,若f（x）在是减函数，则实数a的取值范围为（　　）
A. （-∞，2] B. （-∞，2） C. （-∞，3] D. （-∞，3）
4.已知某六名同学在CMO竞赛中获得前六名（无并列情况），其中甲或乙是第一名，丙不是前三名，则这六名同学获得的名次情况可能有（　　）
A. 72种 B. 96种 C. 144种 D. 288种
5.某次考试共有12个选择题，每个选择题的分值为5分，每个选择题四个选项且只有一个选项是正确的，A学生对12个选择题中每个题的四个选择项都没有把握，最后选择题的得分为Ⅹ分，B学生对12个选择题中每个题的四个选项都能判断其中有一个选项是错误的，对其它三个选项都没有把握，选择题的得分为Y分，则D（Y）一D（X）的值为（　　）
A. B. C. D.
6.若点P是曲线y=lnx-x2上任意一点，则点P到直线l：x+y-4=0距离的最小值为（　　）
A. B. C. D.
7.设，分别为随机事件A，B的对立事件，已知0＜P（A）＜1，0＜P（B）＜1，则下列说法不正确的是（　　）
A.
B.
C. 若A，B是相互独立事件，则P（A|B）=P（A）
D. 若A，B是互斥事件，则P（B|A）=0
8.设函数f（x）=x+ex，g（x）=x+lnx,若存在x1，x2，使得f（x1）=g（x2），则|x1-x2|的最小值为（　　）
A. B. 1 C. 2 D. e
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.甲、乙、丙、丁四名同学报名参加假期社区服务活动，社区服务活动共有“关怀老人”、“环境检测”、“图书义卖”这三个项目，每人都要报名且限报其中一项，则下列说法正确的是（　　）
A. 四名同学的报名情况共有34种
B. 每个项目都有人报名的情况共有36种
C. 四名同学最终只报名了两个项目的情况共有42种
D. 恰有两名同学所报项目相同且只有甲同学一人报名“关怀老人”的情况共有12种
10.已知函数在x=3处取得极大值，f（x）的导函数为f′（x），则（　　）
A.
B. 当0＜x＜1时，f（x）＞f（x2）
C. f′（2+x）=f′（2-x）
D. 当1≤x1≤x2≤3且x1+x2＜4时，
11.甲、乙两个罐子均装有2个红球，1个白球和1个黑球，除颜色外，各个球完全相同.先从甲罐中随机取出2个球放入乙罐中，再从乙罐中随机取出1个球，记事件Ai（i=0，1，2）表示从甲罐中取出的2个球中含有i个红球，B表示从乙罐中取出的球是红球，则（　　）
A. A0，A1，A2两两互斥 B.
C. D. B与A1不相互独立
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若的二项展开式中x6的系数是-16，则实数a的值是 .
13.某单位有1000名职工，想通过验血的方法筛查某种病毒携带者，假设携带病毒的人占5%，化验费用为50元/次，如果对每个人的血样逐一化验，则该单位所需的化验费用为50000元.统计专家提出了一种化验方法：随机地按5人一组分组，然后将各组5个人的血样混合再化验，如果混合血样呈阴性，说明这5个人全部阴性；如果混合血样呈阳性，说明其中至少有一人的血样呈阳性，就需要对每个人再分别化验一次.按照这种化验方法，该单位所需的平均化验费用为 元.（参考数据：0.955≈0.7738）
14.若关于x的不等式有正整数解，则实数m的最小值为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
记等差数列{an}的前n项和为Sn，已知.
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）证明：.
16.(本小题15分)
某校为了提高教师身心健康号召教师利用空余时间参加阳光体育活动.现有4名男教师，2名女教师报名，本周随机选取2人参加.
（1）求在有女教师参加活动的条件下，恰有一名女教师参加活动的概率；
（2）记参加活动的女教师人数为X，求X的分布列及期望E（X）；
（3）若本次活动有慢跑、游泳、瑜伽三个可选项目，每名女教师至多从中选择参加2项活动，且选择参加1项或2项的可能性均为，每名男教师至少从中选择参加2项活动，且选择参加2项或3项的可能性也均为，每人每参加1项活动可获得“体育明星”积分3分，选择参加几项活动彼此互不影响，记随机选取的两人得分之和为Y，求Y的期望E（Y）.
17.(本小题15分)
甲参加围棋比赛，每局比赛甲获胜的概率为p（0＜p＜1），输的概率为1-p,每局比赛的结果独立.
（1）当时，那么采用3局2胜制还是采用5局3胜制对甲更有利？
（2）比赛采用3局2胜制，为增加比赛的趣味性，设置两种积分奖励方案.方案一：最终获胜者得3分，失败者得-2分；方案二：最终获胜者得1分，失败者得0分，请讨论选择哪种方案，使得甲获得积分的数学期望更大.
18.(本小题17分)
已知函数f（x）=ex-2x+ae-x（x≥0）.
（1）当a=-1时，求证：f（x）≥0；
（2）当a=0时，求方程f（x）=x的解的个数；
（3）设n∈N*，证明：.
19.(本小题17分)
定义：如果函数y=f（x）和y=g（x）的图象上分别存在点M和N关于x轴对称，则称函数y=f（x）和y=g（x）具有C关系.
（1）判断函数f（x）=4x-8和g（x）=2x+1是否具有C关系；
（2）若函数f（x）=lnx-ax-1和g（x）=1-x2不具有C关系，求a的取值范围；
（3）若函数f（x）=x（ex-1）和g（x）=x+msinx（m＜0）在区间（0，π）上具有C关系，求m的取值范围.
1.【答案】C
2.【答案】D
3.【答案】C
4.【答案】C
5.【答案】A
6.【答案】C
7.【答案】B
8.【答案】B
9.【答案】ABC
10.【答案】ACD
11.【答案】AC
12.【答案】2
13.【答案】21310
14.【答案】9
15.【答案】an=2n-1 由an=2n-1，可得，
可得，
所以数列是首项为，公比为的等比数列，
所以++...+==，
因为，所以
16.【答案】解：（1）设“有女教师参加活动”为事件A，“恰有一名女教师参加活动”为事件B，
则，，
所以．
（2）依题意知X服从超几何分布，且，
，，，
所以X的分布列为：
X 0 1 2
P
．
（3）设一名女教师参加活动可获得分数为X1，一名男教师参加活动可获得分数为X2，
则X1的所有可能取值为3，6，X2的所有可能取值为6，9，
，，
，，
有X名女教师参加活动，则男教师有2-X名参加活动，
，
所以．
即两个教师得分之和的期望为（13分）．
17.【答案】采用5局3胜制对甲更有利 当时，E（X）＜E（Y），应该选第二种方案，
当时，两种方案都可以选，
当时，E（X）＞E（Y），应该选第一种方案
18.【答案】当a=-1时，f（x）=ex-2x-e-x（x≥0），求导数得f′（x）=ex-2+e-x=ex+e-x-2，
因为，当且仅当ex=e-x，即x=0时取等号，
所以f′（x）=ex+e-x-2≥0在[0，+∞）上恒成立，即f（x）在[0，+∞）上单调递增，
结合f（0）=e0-2×0-e0=0，可得f（x）≥0在[0，+∞）上恒成立 2个 令（t≥1），
求导数得
=，
根据t≥1，可知h′（t）≤0，即h（t）在[1，+∞）上单调递减，
所以，当且仅当t=1时，等号成立，
综上所述，，当且仅当t=1时，取等号，
令，则t＞1，可得，
即，
可得，，…，，
以上式子累加，可得：
，
化简得
19.【答案】解：（1）f（x）与g（x）具有C关系，理由如下：
根据定义，若f（x）与g（x）具有C关系，
则在f（x）与g（x）的定义域的交集上存在x,使得f（x）+g（x）=0，
又f（x）=4x-8，g（x）=2x+1，
所以f（x）+g（x）=4x-8+2x+1=0，
即（2x-2）（2x+4）=0，
2x-2=0，解得x=1，
所以f（x）与g（x）具有C关系．
（2）因为f（x）=lnx-ax-1，g（x）=1-x2，
令φ（x）=f（x）+g（x）=lnx-ax-x2=lnx-x（a+x），x＞0，
因为f（x）与g（x）不具有C关系，
又因为φ（x）在（0，+∞）上的图象连续不断，
所以φ（x）在（0，+∞）上恒为负或恒为正．
若φ（x）＞0在（0，+∞）上恒成立，
则φ（1）=-a-1＞0，即a＜-1，
又当a＜-1时，φ（1-a）=ln（1-a）-a（1-a）-（1-a）2=ln（1-a）-（1-a），
令u（x）=lnx-x,
所以，
令u'（x）=0，则x=1，
所以当x∈（0，1）时，u'（x）＞0，
当x∈（1，+∞）时，u'（x）＜0，
所以u（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，
所以u（x）max=u（1）=-1＜0，
所以φ（1-a）＜0，
所以不存在a使得φ（x）＞0在（0，+∞）上恒成立．
若φ（x）＜0在（0，+∞）上恒成立，即，
令（x＞0），
所以，
易知y=-lnx、y=-x2在（0，+∞）上单调递减，
所以y=1-lnx-x2在（0，+∞）上单调递减，
当x=1时，y=1-lnx-x2=0，
所以当0＜x＜1时，y=1-lnx-x2＞0，
所以L'（x）＞0，
当x＞1时，y=1-lnx-x2＜0，
所以L'（x）＜0，
所以L（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，
所以L（x）max=L（1）=-1，
所以a＞-1，
即a的取值范围是（-1，+∞）．
（3）因为f（x）=x（ex-1），g（x）=x+msinx（m＜0），
令h（x）=f（x）+g（x），则h（x）=xex+msinx,
因为 f（x）与g（x）在（0，π）上具有C关系，
所以h（x）在（0，π）上存在零点，
因为h'（x）=（x+1）ex+mcosx,
当-1≤m＜0且x∈（0，π）时，
因为（x+1）ex＞1，|mcosx|＜|m|≤1，所以h'（x）＞0，
所以h（x）在（0，π）上单调递增，
则h（x）＞h（0）=0，
此时h（x）在（0，π）上不存在零点，不满足题意；
当m＜-1时，显然当时，h'（x）＞0，
当时，因为h（x）在上单调递增，
且h'（0）=1+m＜0，，
故h'（x）在上存在唯一零点，设为x0，则h'（x0）=0，
所以当x∈（0，x0），h'（x）＜0；
当，h'（x）＞0；又当时，h'（x）＞0，
所以h（x）在（0，x0）上单调递减，在（x0，π）上单调递增，
h（x）在（0，π）上存在唯一极小值点x0，
因为h（0）=0，所以h（x0）＜0，
又因为h（π）=πex＞0，
所以h（x）在（0，π）上存在唯一零点x1，
所以函数f（x）与g（x）在（0，π）上具有C关系．
综上，m的取值范围是（-∞，-1）．
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