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2025-2026学年安徽省马鞍山二中高二（下）期中数学试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.已知，且，则x,y的值分别为（　　）
A. 3，1 B. 4， C. 3，-1 D. 1，1
2.从5件不同的礼物中选出2件送给2位同学，不同的送法种数是（　　）
A. 10 B. 15 C. 20 D. 25
3.已知随机变量X的分布列如下表所示，则E（2X+1）=（　　）
X 1 2 3
P a
A. B. C. D.
4.若圆C：x2+（y+2）2=4与圆D：（x+4）2+（y-1）2=9的公切线条数为（　　）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
5.设（2x+1）5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5，则a1+a2+a3+a4+a5=（　　）
A. 242 B. 243 C. 32 D. 31
6.某一时期某影院对影片M排片的概率为，对影片N排片的概率为，同时对两部影片排片的概率为，则该影院在没有对影片N排片的条件下，对影片M排片的概率为（　　）
A. B. C. D.
7.已知抛物线C：y2=4x上任意一点P，定点A（2，1），若点M是圆（x-1）2+y2=上的动点，则|PA|+|PM|的最小值为（　　）
A. 2 B. C. 3 D. 4
8.已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn+2=2Sn+1-Sn+4，S1=1，S2=6，则a2+a4+a6+a8+a10=（　　）
A. 65 B. 105 C. 210 D. 230
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.在等差数列{an}和等比数列{bn}中，a1=b1=2，a3=b3=8，数列的前n项和为Tn，则（　　）
A. {an}的公差为3 B. {bn}的公比为2 C. a11=b5 D.
10.如图，点P在正方体ABCD-A1B1C1D1的面对角线BC1上运动（P点异于点B，C1），则下列判断不正确的有（　　）
A. 三棱锥P-ACD1的体积不变
B. 异面直线BD与AB1所成角为45°
C. 存在点P使得PD⊥平面ACD1
D. 直线A1P与平面AD1C1B所成角的正弦值的取值范围是
11.关于函数，下列判断正确的是（　　）
A. x=2是f（x）的切线方程且平行于x轴
B. 函数y=f（x）-x有且只有1个零点
C. 存在正实数k,使得f（x）＞kx成立
D. 对两个不相等的正实数x1，x2，若f（x1）=f（x2），则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.= .
13.有两个盒子，第一个盒子恰有1个红球，4个黄球，第二个盒子恰有2个红球，3个黄球.从这两个盒子中等可能地选择一个盒子，然后从中任意摸出2个球，则这两个球都是黄球的概率为 .
14.关于x的方程ex+bx=2（b＞0且b≠1）有唯一实数解，其中e为自然对数的底数，则实数b的取值范围是 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
如图1，在△ABC中，D，E分别为AB，AC的中点，O为DE的中点，AB=AC=2，BC=4．将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使得平面A1DE⊥平面BCED，如图．
（Ⅰ）求证：A1O⊥BD；
（Ⅱ）求直线A1C和平面A1BD所成角的正弦值；
16.(本小题15分)
某种产品的加工需要经过A、B、C、D、E共5道工序.
（1）如果A工序不能放在最后，那么有多少种加工顺序？
（2）如果工序B和C工序既不能放在最前，也不能放在最后，那么有多少种加工顺序？
（3）如果A和B工序相邻，C和D不能相邻，那么有多少种加工顺序？
17.(本小题15分)
已知函数f（x）=ex-1-x-ax2.
（1）若a=0，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）若f（x）在R上单调递增，求实数a的值.
18.(本小题17分)
设数列{an}满足，数列{bn}是公比大于0的等比数列.已知a1=1，b1=4，b3=2（a2+a3），b1是a2-1和a4+1的等比中项.
（1）求数列{an}和数列{bn}的通项公式；
（2）设，且数列{cn}的前n项和为Tn，若对任意的n∈N*，不等式恒成立，求a的取值范围.
19.(本小题17分)
已知椭圆C：的离心率，过点P（4，0）作直线l与椭圆C交于A，B两点（A在B上方），当l的斜率为时，点A恰与椭圆的上顶点重合.
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）已知M（1，0），设直线MA，MB的斜率分别为k1，k2，设△AMB的外接圆圆心为E.点B关于x轴的对称点为D.
（i）求k1+k2的值；
（ii）求证：ME⊥PD.
1.【答案】C
2.【答案】C
3.【答案】C
4.【答案】C
5.【答案】A
6.【答案】D
7.【答案】B
8.【答案】B
9.【答案】ACD
10.【答案】BCD
11.【答案】ABD
12.【答案】20
13.【答案】
14.【答案】（1，∞）∪{}
15.【答案】解：（Ⅰ）证明：∵在△ABC中，D，E分别为AB，AC的中点，
O为DE的中点，AB=AC=2，BC=4．
∴A1O⊥DE，
∵将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使得平面A1DE⊥平面BCED，
∴A1O⊥平面BCDE，
∵BD 平面BCDE，∴A1O⊥BD．
（Ⅱ）解：以O为原点，在平面BCED中过点O作DE的垂线为x轴，
以OE为y轴，OA1为z轴，建立空间直角坐标系，

A1（0，0，2），C（2，2，0），B（2，-2，0），D（0，-1，0），
=（2，2，-2），=（2，-1，0），=（0，1，2），
设平面A1BD的法向量为=（x，y，z），
则，取x=1，得=（1，2，-1），
设直线A1C和平面A1BD所成角为θ，
则直线A1C和平面A1BD所成角的正弦值为：
sinθ===．
16.【答案】96；
36；
24．
17.【答案】y=（e-1）x-1
18.【答案】；
（-∞，）∪（，+∞）．
19.【答案】解：（1）易知直线，
因为b=1，，
解得a=2，
则椭圆C的标准方程为；
（2）（i）设直线l的方程为x=my+4，A（x1，y1），B（x2，y2），
联立，消去x并整理得（m2+4）y2+8my+12=0，
由韦达定理得，，
所以=，
因为，
所以，
（ii）易知MA垂直平分线方程为，
即y=-，①
同理得MB垂直平分线方程为y=-，②
因为k1+k2=0，
所以，
即，
①+②得，
解得，
②-①得，
因为直线AB过点P（4，0），
所以kPA=kPB，
即，
整理得x1y2-x2y1=4（y2-y1），
所以，
则，
因为，
所以．
则ME⊥PD．
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