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2025-2026学年安徽省六安市第一中学高二（下）期中数学试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.已知，则n=（　　）
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
2.已知随机变量X的分布列如下：
X -2 0 1 2
P m n
若E（X）=0，则D（3X+1）=（　　）
A. B. 7 C. 21 D. 22
3.函数的图象大致是（　　）
A. B.
C. D.
4.在的展开式中，x5y2的系数为（　　）
A. 7 B. 15 C. 30 D. 65
5.当x=1时，函数f（x）=alnx+取得最大值-2，则f′（2）=（　　）
A. -1 B. - C. D. 1
6.从标有0，1，2，3，4的五张卡片中随机选取4张放入如图所示的空格处组成一个四位数的偶数，则这个数大于2025的个数为（　　）
A. 41 B. 42 C. 43 D. 44
7.已知过点A（a,0）可以作曲线y=（x-1）ex的两条切线，则实数a的取值范围是（　　）
A. （1，+∞） B. （-∞，-e）∪（2，+∞）
C. （-∞，-2）∪（2，+∞） D. （-∞，-3）∪（1，+∞）
8.甲、乙两人拿两颗如图所示的正四面体骰子做抛掷游戏，规则如下：由一人同时掷两个骰子，观察底面点数，若两个点数之和为5，则由原掷骰子的人继续掷；若掷出的点数之和不是5，就由对方接着掷.第一次由甲开始掷，设第n次由甲掷的概率为Pn，则P10的值为（　　）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.下列说法正确的是（　　）
A.
B. 若，则a1+a2+…+a8=0
C. 5555被8整除的余数为1
D. 1.0510精确到0.1的近似数为1.1
10.甲箱中有2个白球和3个黑球，乙箱中有3个白球和2个黑球.先从甲箱中随机取出一球放入乙箱中，以A1，A2分别表示由甲箱中取出的是白球和黑球；再从乙箱中随机取出一球，以B表示从乙箱中取出的是白球，则下列结论正确的是（　　）
A. B. C. D.
11.已知函数和有相同的最大值b,直线y=m与两曲线y=f（x）和y=g（x）恰好有三个交点，从左到右三个交点横坐标依次为x1，x2，x3，则以下说法正确的是（　　）
A. a=1 B.
C. x1，x2，x3成等差数列 D. x1，x2，x3成等比数列
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.2520有 个不同的正因数.
13.从4种不同颜色中选择若干种颜色，给正四面体A-BCD的每条棱染色，要求每条棱只染一种颜色，且共点的棱染不同的颜色，则不同的染色方法共有 种.
14.已知k＞0，对任意的，不等式ekx（kx-1）≥exlnx恒成立，则k的取值范围是 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
在的展开式中，二项式系数最大的项只有第五项，
（1）求n的值；
（2）求系数最大的项.
16.(本小题15分)
某学校共开设ABCDEF六门体验课程.
（1）若体验课连续开设六周，每周一门（不重复），求“A”和“B”课程排在不相邻的两周的所有排法种数；
（2）现有甲、乙、丙三名学生报名参加体验课程，每人都选两门课程，甲和乙仅有一门共同的课程，丙和甲、乙的课程都不同，求所有选课的种数；
（3）计划安排三名教师教这六门课程，每门课程只由一名教师任教，每名教师至少任教一门课程，求所有课程安排的种数.
17.(本小题15分)
已知函数f（x）=ex--1.
（1）若在（1，f（1））处的切线斜率为-1，求a；
（2）若f（x）≥0恒成立，求a的取值范围.
18.(本小题17分)
某公司为活跃气氛提升士气，年终拟通过抓阄兑奖的方式对所有员工进行奖励.规定：每位员工从一个装有4个标有面值的阄的袋中一次性随机摸出2个阄，阄上所标的面值之和为该员工获得的奖励金额.
（1）若袋中所装的4个阄中有1个所标的面值为800元，其余3个均为200元，求
①员工所获得的奖励为1000元的概率；
②员工所获得的奖励额的分布列及数学期望；
（2）公司对奖励额的预算是人均1000元，并规定袋中的4个阄只能由标有面值200元和800元的两种阄或标有面值400元和600元的两种阄组成.为了使员工得到的奖励总额尽可能符合公司的预算且每位员工所获得的奖励额相对均衡，请对袋中的4个阄的面值给出一个合适的设计，并说明理由.
19.(本小题17分)
已知函数f（x）=a2x2-3axlnx,a＞0.
（1）当a=1时，求曲线y=f（x）在[1，2]上的最值；
（2）讨论f（x）的零点个数；
（3）当时，证明：f（x）＞2sinx.
1.【答案】B
2.【答案】C
3.【答案】C
4.【答案】A
5.【答案】B
6.【答案】A
7.【答案】D
8.【答案】A
9.【答案】AB
10.【答案】BCD
11.【答案】ABD
12.【答案】48
13.【答案】96
14.【答案】[1，+∞）
15.【答案】8 1792 x-11
16.【答案】480 360 540
17.【答案】e；
[-1，+∞）．
18.【答案】解：（1）设员工所获得的奖励额为X，
①，
∴员工所获得的奖励额为1000元的概率为；
②根据题意可知X=400，1000，
又，，
∴X的分布列为：
X 400 1000
P
∴；
（2）根据题意可知可能的方案有两种：（800，800，200，200）记为方案1，
（400，400，600，600）记为方案2，
对于方案1，设员工所获得的奖励额为X1，则X1=400，1000，1600，
又，，，
∴X1的期望为，
方差，
对于方案2，设员工所获得的奖励额为X2，X2=800，1000，1200，
又，，，
∴X2的期望为，
方差，
由于两种方案的奖励额都符合预算要求，但方案2的方差比方案1小，所以应选择方案2．
19.【答案】f（x）max=1，f（x）min=4-6ln2 当时，f（x）的零点个数为0；当时，f（x）的零点个数为1；当时，f（x）的零点个数为2 ①当0＜x＜1时，令u（x）=x-sinx，则u′（x）=1-cosx＞0，
所以u（x）单调递增，所以u（x）＞u（0）=0，即x＞sinx，
又因为f（x）-2x=a2x2-3axlnx-2x=x（a2x-3alnx-2），
令m（x）=a2x-3alnx-2，则，
当时，m′（x）＜0，则m（x）单调递减；当时，m′（x）＞0，则m（x）单调递增；当时，m（x）的极小值为，
若，即a＞3，则，所以m（x）＞0；若，即，则m（x）在区间（0，1）上单调递减，
所以m（x）＞m（1）=a2-2＞0；所以f（x）-2x＞0，即f（x）＞2x＞2sinx；②当x≥1时，f′（x）=2a2x-3a（lnx+1）=a（2ax-3lnx-3），
令h（x）=2ax-3lnx-3，则，
因为x≥1，a＞0，所以2ax≥2a，而，即2ax≥2a＞3，
则2ax-3＞0，即h′（x）＞0，故h（x）在区间[1，+∞）上单调递增，
则h（x）≥h（1）=2a-3＞0，即f′（x）＞0，
所以f（x）在区间[1，+∞）上单调递增，
所以；综上可得，f（x）＞2sinx
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