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1.2 二次函数的图象
一、单选题
1．将抛物线 向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度后，得到的抛物线解析式为（　　）
A． B． C． D．
2．二次函数y＝（x+4）2+5的图象的开口方向、对称轴、顶点坐标分别是（　　）
A．向上，直线x＝4，（4，5）
B．向下，直线x＝﹣4，（﹣4，5）
C．向上，直线x＝4，（4，﹣5）
D．向上，直线x＝﹣4，（﹣4，5）
3．抛物线 的顶点坐标是（　　）
A．（3，1） B．（3，﹣1）
C．（﹣3，1） D．（﹣3，﹣1）
4．在平面直角坐标系中，抛物线 经过变换后得到抛物线 ，则这个变换可以是（　　）
A．向左平移2个单位 B．向右平移2个单位
C．向左平移8个单位 D．向右平移8个单位
5．将二次函数的图象向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度得到的二次函数解析式是（　　）
A． B．
C． D．
6．把y= x2-2x+1写成y=a(x-h)2+k的形式是(　　)
A．y= (x-2)2-1 B．y= (x-1)2+2
C．y= (x-1)2+ D．y= (x-2)2-3
7．抛物线y＝2（x+1）2﹣ 的顶点坐标为（　　）
A．（1，﹣ ） B．（﹣1，﹣ ）
C．（﹣1， ） D．（1， ）
8．在同一直角坐标系中，函数y＝ax2+b与y＝ax+b(a，b都不为0)的图象的相对位置可以是(　　)
A． B．
C． D．
9．二次函数y=﹣（x﹣1）2+3的图象的顶点坐标是（　　）
A．（﹣1，3） B．（1，3）
C．（﹣1，﹣3） D．（1，﹣3）
10．如图，在矩形ABCD中，AB=2，点E在边AD上，∠ABE=45°，BE=DE，连接BD，点P在线段DE上，过点P作PQ∥BD交BE于点Q，连接QD.设PD=x，△PQD的面积为y，则能表示y与x函数关系的图象大致是图中的（　　）
A． B．
C． D．
二、填空题
11．如果将抛物线 向上平移，使它经过点 ，那么所得新抛物线的表达式是　 　.
12．将抛物线 先沿水平方向向右平移1个单位，再沿竖直方向向上平移3个单位，则得到的新抛物线的解析式为　 　.
13．将二次函数的图象沿x轴向右平移2个单位长度，得到的函数解析式是　 　.
14．写出一个y关于x的二次函数的解析式，且它的图象的顶点在y轴上：　 　.
15．如图，将函数的图象沿y轴向上平移得到一条新函数的图象，其中点，平移后的对应点分别为点、.若曲线段AB扫过的面积为12（图中的阴影部分），则新图象的函数表达式是　 　.
16．如图，把抛物线y=-x2+2向右平移1个单位长度，则曲线AB扫过的面积（图中阴影部分）是　 　.
三、解答题
17．已知函数y＝x2＋bx－1的图象经过点(3，2)．
(1)求这个函数的表达式.
(2)求图象的顶点坐标.
18． 已知抛物线 经过点(4，1)和(0，1).求b的值及此抛物线的顶点坐标、对称轴.
19．已知二次函数图象经过点和．求该二次函数的表达式及图象的顶点坐标．
20．二次函数的解析式为，请求出这个二次函数的图象与y轴交点和顶点的坐标．
21．已知二次函数图象的对称轴为，并经过，两点．求这个函数的最小值．
22．（1）已知不等式的解集为，求不等式的解集．
（2）已知，对任意的恒成立，求实数的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】二次函数图象的几何变换
2．【答案】D
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的图象
3．【答案】A
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的图象
4．【答案】B
【知识点】二次函数图象的几何变换
5．【答案】A
【知识点】二次函数图象的几何变换
6．【答案】A
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化
7．【答案】B
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的图象
8．【答案】A
【知识点】二次函数图象与系数的关系；一次函数图象、性质与系数的关系
9．【答案】B
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的图象
10．【答案】C
【知识点】列二次函数关系式；三角形的面积；等腰直角三角形；二次函数y=a（x-h）²+k的图象
11．【答案】
【知识点】二次函数图象的几何变换
12．【答案】 或
【知识点】二次函数图象的几何变换
13．【答案】
【知识点】二次函数图象的几何变换
14．【答案】（答案不唯一）
【知识点】二次函数图象与系数的关系
15．【答案】
【知识点】二次函数图象的几何变换；几何图形的面积计算-割补法；平行四边形的面积
16．【答案】2
【知识点】二次函数图象的几何变换
17．【答案】解：（1）∵函数y＝x2＋bx－1的图象经过点(3，2)，
∴2＝32＋3b－1，
b＝－2，
∴解析式为y＝x2－2x－1
（2）∵解析式为y＝x2－2x－1=（x－1）2－2
∴顶点坐标为(1，－2)
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化
18．【答案】解：把点(4，1)和(0，1)代入 可得：
解得：
所以抛物线为 -3，
所以此抛物线的顶点坐标为(2，-3)、对称轴为x=2.
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化；利用一般式求二次函数解析式
19．【答案】，顶点坐标为
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化
20．【答案】这个二次函数的图象与y轴交点为，顶点为
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化
21．【答案】．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化
22．【答案】（1）或；（2）
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；二次函数图象与系数的关系
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1.3 二次函数的性质
一、单选题
1．已知点 在抛物线 上，则下列结论正确的是（　　）
A． B． C． D．
2．二次数y＝x2+6x+1图象的对称轴是（　　）
A．x＝6 B．x＝﹣6 C．x＝﹣3 D．x＝4
3．已知抛物线y=x2﹣x﹣3经过点A（2，y1）、B（3，y2），则y1与y2的大小关系是（　　）
A．y1＞y2 B．y1=y2 C．y1＜y2 D．无法确定
4．抛物线 的顶点坐标是（　　）
A．(3， -5) B．(-3， 5) C．(3， 5) D．(-3， -5)
5．二次函数 的图象如图所示：若点 ， 在此函数图象上， ， 与 的大小关系是（　　）
A．y1≤y2 B．y1y2
6．抛物线y＝2x2+c的顶点坐标为（0，1），则抛物线的解析式为（　　）
A．y＝2x2+1 B．y＝2x2﹣1 C．y＝2x2+2 D．y＝2x2﹣2
7．定义：给定关于x的函数y，对于该函数图象上的任意两点，当时，都有，称该函数为偶函数.根据以上定义，判断下面所给的函数为偶函数的是（　　）
A． B． C． D．
8．设A ，B ，C 是抛物线 上的三点，则 ， ， 的大小关系为（　　）
A． B． C． D．
9．已知点 、 、 在函数 上.则 、 、 的大小关系是（　　）
A． B． C． D．
10．如图，已知△ABC的顶点坐标分别为A(0，2)，B(1，0)，C(2，1).若二次函数y=x2+bx+1的图像与阴影部分(含边界)一定有公共点，则实数b的取值范围是（　　）
A．b≤-2 B．b<-2 C．b≥-2 D．b>-2
二、填空题
11．已知二次函数的图象和x轴有交点，则m的取值范围是　 　.
12．已知点A（4，y1），B（2，y2），C（-2，y3）都在二次函数y=(x-2)2-1的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是　 　.
13．设A（﹣2，y1），B（1，y2），C（2，y3）是抛物线y＝﹣x2﹣2x+2上的三点，则y1，y2，y3的大小关系为　 　.
14．已知二次函数 的图象顶点在x轴上，则k=　 　
15．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与与相交于点，，点的坐标为，若点在抛物线上，则的长为　 　．
16．若二次函数y＝2x2－4x－1的图象与x轴交于A(x1，0)，B(x2，0)两点，则 的值为　 　.
三、解答题
17．已知二次函数，求二次函数图象与坐标轴交点的坐标．
18． 已知二次函数的图象经过，两点．求二次函数解析式并试判断点是否在此函数图象上．
19．已知二次函数 的x，y的部分对应值如下表所示：
x …… 0 1 2 3 ……
y …… 3 0 -1 0 ……
求这个二次函数的表达式．
20．已知抛物线 的对称轴是直线x=1，求m的值和抛物线的解析式.
21．已知二次函数（为常数）.
（1）求证：不论为何值，该函数的图象与轴总有公共点；
（2）当取什么值时，该函数的图象与轴的交点在轴的上方？
22．已知二次函数y= x2+bx+c的图象经过点A（﹣3，6），并与x轴交于点B（﹣1，0）和点C，与y轴交于点E，顶点为P，对称轴与x轴交于点D
（Ⅰ）求这个二次函数的解析式；
（Ⅱ）连接CP，△DCP是什么特殊形状的三角形？并加以说明；
（Ⅲ）点Q是第一象限的抛物线上一点，且满足∠QEO=∠BEO，求出点Q的坐标．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征
2．【答案】C
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的性质
3．【答案】C
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征
4．【答案】C
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的性质
5．【答案】B
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的性质
6．【答案】A
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征
7．【答案】C
【知识点】正比例函数的图象和性质；一次函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特征；二次函数图象上点的坐标特征
8．【答案】A
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的性质
9．【答案】B
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征
10．【答案】C
【知识点】坐标与图形性质；二次函数图象上点的坐标特征
11．【答案】且
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
12．【答案】y3＞y1＞y2
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征
13．【答案】y1＞y2＞y3
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征
14．【答案】2
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=a（x-h）²+k的性质
15．【答案】4
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象与坐标轴的交点问题
16．【答案】-4
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；二次函数图象与坐标轴的交点问题
17．【答案】，，
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
18．【答案】解：将，代入，
得，
解得，
∴二次函数的解析式为，
当时，，
∴不在函数图象上．
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；利用一般式求二次函数解析式
19．【答案】解：由表可知 (1， 0) 和(3， 0) 为对称点，
∴该函数的顶点为 (2， - 1) ， 且a=1，
∴这个二次函数的表达式为
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的性质；利用顶点式求二次函数解析式
20．【答案】解：∵抛物线 的对称轴为直线x=1，
解得
∴抛物线的解析式为
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=ax²+bx+c的性质
21．【答案】解：（1）证明：由 二次函数 可知，函数图象与x轴的交点分别为（1，0），（m+3， 0），
当m+3≠1，即m≠-2时，该函数图象与x轴有两个不同的交点，
当m+3=1，即m=-2时，该函数图象与x轴有两个相同的交点，
因此，不论为何值，该函数的图象与轴总有公共点；
（2）令x=0时，则y=2m+6，此时函数的图象与y轴的交点坐标为（0，2m+6），
∴2m+6＞0，即m＞-3时，该函数图象与y轴的交点在y轴的上方.
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
22．【答案】解：（Ⅰ）把A（﹣3，6），B（﹣1，0）代入y= x2+bx+c，
得到 ，
解得 ，
∴二次函数解析式为y= x2﹣x﹣ ．
（Ⅱ）结论：△DCP是等腰直角三角形．
理由：对于抛物线y= x2﹣x﹣ ，令y=0，则 x2﹣x﹣ =0，解得x=﹣1或3，
∴点C坐标（3，0），
令x=0则y=﹣ ，
∴点E坐标（0，﹣ ），
∵y= x2﹣x﹣ = （x﹣1）2﹣2，
∴顶点P坐标（1，﹣2），点D坐标（1，0），
∴CD=PD=2，
∵∠PDC=90°，
∴△PDC是等腰直角三角形．
（Ⅲ）如图，连接BE、DE．
∵B（﹣1，0），D（1，0），E（0，﹣ ），
∴OB=OD，OE=OE，∠BOE=∠DOE，
∴△EOB≌△EOD，
∴∠DEO=∠BEO，
∴直线DE与抛物线的交点即为所求的点Q．
设直线DE的解析式为y=kx+b，则有 ，
解得 ，
∴直线DE的解析式为y= ，
由 解得 或 ，
∴点Q坐标为（5，6）．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数与一次函数的综合应用
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