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四川成都外国语学校2025-2026学年高二下学期零诊模拟数学试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．数列的第9项为（ ）
A． B． C． D．
2．设，则等于（ ）
A． B． C． D．
3．在等比数列中，，，则（ ）
A． B． C． D．
4．抛物线（）的焦点的纵坐标为（ ）
A． B． C． D．
5．若函数在上存在单调递增区间，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
6．已知为等比数列，和是函数的两个极值点，则（ ）
A．-1013 B．1014 C．-1014 D．1013
7．2026年5月8日，郑州中学红梅街校区第二届科技节盛大举行，活动内容丰富多样，包括机器人对抗赛、科技盲盒实验室、编程闯关挑战、无人机飞行表演、VR虚拟体验等多个项目，受到了全校师生的热烈欢迎和一致好评.现从报名的同学中选出5位在科技方面各有特长的同学（分别擅长机器人、编程、3D建模、无人机操作、VR内容制作），要将他们分配到3个不同的活动展台（分别是：“智能硬件体验区”“创意编程工坊”“未来科技演讲台”），每个展台至少安排一名同学负责讲解与展示.那么，符合要求的分配方案共有多少种？ （ ）
A．90 B．100 C．150 D．180
8．已知定义在上的函数，其导函数为，不等式恒成立．若对，不等式恒成立，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知函数，则（ ）
A．当时，函数有最大值
B．若函数图象的对称中心为，则
C．函数在上一定存在减区间
D．函数可能有2个零点
10．设是等差数列的前n项和，若，，则（ ）
A． B．中最小值为
C．当取得最大值时， D．使成立的最大整数n为14
11．已知甲口袋中装有个红球，个白球，个黑球，乙口袋中装有个红球，个白球，个黑球，这些球只有颜色不同．先从甲口袋中随机取出个球放入乙口袋，再从乙口袋中随机取出个球．记从甲口袋中取出的球是红球、白球、黑球分别为事件、、，从乙口袋中取出的球是红球为事件B，则下列结论正确的有（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
12．的展开式中的常数项是______.
13．若曲线，则曲线在的切线方程为_______________.
14．在探究的展开式的二项式系数性质时，我们把系数列成一张表，借助它发现了一些规律．在我国南宋数学家杨辉年所著的《详解九章算法》一书中，出现了这个表，我们称这个表为杨辉三角．杨辉三角是中国古代数学中十分精彩的篇章．杨辉三角如图所示：
如上图，杨辉三角第行的个数依次为，，…，．现将杨辉三角中第行的第个数乘以，第行的一个数为，得到一个新的三角数阵如下图：
在这个新的三角数阵中，第行的第个数为________；第行的所有数的和为________．
四、解答题
15．如图，四棱锥的底面是矩形，平面，点是棱上的动点，点是棱中点， ，，．
(1)求证： ；
(2)若中点为，求直线与平面所成角的正弦值．
16．已知是数列的前项和，且．
(1)求的通项公式；
(2)若，求数列的前项和．
17．为响应年青少年拔尖创新人才培养计划，某高校面向全市中学选拔优秀学生，开设数学、物理、化学、信息技术四门学科科研夏令营活动．
(1)若数学组的名学员中恰有人来自同一中学，从这名学员中选取人，表示选取的人中来自该中学的人数，求的分布列和数学期望；
(2)在学营开幕式的晚会上，数学组举行了一次学科知识竞答活动．规则如下：两人一组，每人答题，答对不少于题则获胜，假设每轮答题结果互不影响．已知甲、乙两位同学组成一组，甲、乙答对每道题的概率都为，如果甲、乙两位同学想在此次竞答活动中取得轮胜利，那么理论上至少要参加多少轮竞赛？
18．已知椭圆：（）的离心率为，以椭圆的四个顶点为顶点的四边形周长为．
(1)求椭圆的方程；
(2)过点且斜率存在的直线与椭圆交于不同的两点，，
①当，求直线的斜率；
②过点和（）的直线与椭圆的另一个交点为，与分别表示与的面积．若，求的值．
19．设函数，．
(1)讨论函数的单调性；
(2)若恒成立，求的取值范围；
(3)已知 ，方程有两个不等实根，，方程有两个不等实根，，试判断与的大小关系，并证明你的结论．
试卷第1页，共3页
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《四川成都外国语学校2025-2026学年高二下学期零诊模拟数学试卷》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C A D A A B C C BC ABD
题号 11
答案 ACD
12．15
13．
14．
15．(1)因为平面，所以，，
在矩形中：，则、、两两互相垂直，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示：、、，设，
故，，，
所以，即.
（2）因为、、、、，
故，，，
设平面的一个法向量为，则，即，
化简得，令，得，所以，，
，，
，
设直线与平面所成角为，则，
所以直线与平面所成角的正弦值为.
16【详解】（1）由，
当时，，
当时，可得，
两式相减得：，所以有，
也符合上式，
所以；
（2）当时，有
当时，有，
所以有
.
17．
【详解】（1）由题意可知的可能取值有，
，，
，，
所以，随机变量的分布列如下表所示：
0 1 2 3
所以.
（2）甲、乙两人在一轮竞赛中总共答对的题数为随机变量 Y ，
由题意可知，每人答 2 题，两人共答 4 题，每道题答对的概率均为,且各题答对与否相互独立，
因此 Y 服从二项分布，则他们在每轮答题中取得胜利的概率为：
设他们小组在轮答题中取得胜利的次数为，则，，
由，即，解得，
而，则，所以理论上至少要进行轮答题．
18．【详解】（1）由离心率可得，即,
椭圆的四个顶点为顶点的四边形周长为，可得，
联立解得，
所以椭圆方程为；
（2）①过点且斜率存在的直线方程设为，
代入可得，
，解得，
设，则（*），
，
又，所以，
整理得，解得或(舍去)
又，则得，即直线的斜率为；
②由得，
则，
由点在线段上，得均是锐角，则，
点关于轴对称，于是点，则，
由三点共线，得，
即，
整理得，
将（*）代入，得，解得，满足.
故的值为1.
19【详解】（1）因为的定义域为，，
令得，；令得，；令得，，
所以，在上单调递减，在上单调递增.
（2）由，得，即，
令，，则恒成立，即，
，
令得，；令得，；令得，，
所以，在上单调递减，在上单调递增，
，
则,得，解得，故的取值范围为.
(3).证明如下：
因为方程有两个不等实根，，不妨设,
所以，，
化简得，即，
令，其中，则，所以，
解得，则解得；
因为方程有两个不等实根，，不妨设,
所以，，
化简得，即，
令，其中，则，所以，
解得，解得；
设，其中，令，，
则，，
，
，
因为，所以，，，，
令，其中，
则，
，当时，，所以在上单调递减，
，所以在上单调递增，
当时，，，所以，则，
所以在上单调递减，
因为，所以，所以，
则，所以，即.
答案第1页，共2页
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