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上海市复旦中学2025-2026学年第二学期高一年级期末考试数学试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、填空题
1．若（是虚数单位），则复数的虚部是______．
2．已知向量，，若，则______.
3．已知，则______．
4．等差数列中，2和8的等差中项为__________.
5．函数的最小正周期是________．
6．在中，若，则的形状为__________.
7．等差数列的前项和分别是与，且，则______.
8．已知，，则向量在向量方向上的投影向量的坐标为___．
9．已知，则___________．
10．在等腰直角中，为斜边的中点，点在边上，，则的最小值为______.
11．声音是由物体的振动产生的能引起听觉的波，每一个音都是有纯音合成的，纯音的数学模型是函数．技术人员获取了某种声波，其数学模型记为，部分图像如图所示，图像过点．对该声波进行逆向分析，发现它是由两种不同的纯音合成的，满足函数，其中，则________．
12．已知为单位向量，设向量，向量的夹角为，若，求的取值范围__________.
二、单选题
13．已知复数的共轭复数为，则下列命题错误的是（ ）
A． B．为纯虚数 C． D．
14．阅读下列材料：有理数都能表示成（，且与互质）的形式，从而有理数集与互质}，任何有理数都可以化为有限小数或无限循环小数；反之，任一有限小数或者无限循环小数也可以化为的形式，从而是有理数．例如：．循环小数化成分数为（ ）
A． B． C． D．
15．已知向量≠，，对任意实数t，恒有，则（ ）
A． B．
C． D．
16．若函数满足：对于集合D内的任意，都存在，使得，则称函数在D上具有性质P．对于命题：①若函数在上具有性质P，则的取值范围是；②函数在上具有性质P，则的取值范围是或或．下列判断正确的是（ ）．
A．①和②均为真命题 B．①为真命题，②为假命题
C．①为假命题，②为真命题 D．①和②均为假命题
三、解答题
17．已知关于的实系数一元二次方程.
(1)若一根为，求，的值；
(2)设，是虚数根，记，，在复平面上对应点分别为，，，求的值.
18．已知等差数列满足.
(1)求数列的通项公式；
(2)设数列的前项和为，求的最小值及取最小值时的值.
19．如图所示，一艘海轮在海面上的处发现两座小岛，，测得小岛在的北偏东的方向上，小岛在的北偏东的方向上，海轮从处向正东方向航行100海里后到达处，测得小岛在的北偏西的方向上，小岛在的北偏东的方向上．
(1)求处与小岛之间的距离；
(2)求，两座小岛之间的距离．
20．已知中，，令，且．过边上一点（异于端点）作边的垂线，垂足为，再由作边的垂线，垂足为，又由作边的垂线，垂足为．设．
(1)求的长度；
(2)若，求的值；
(3)若存在实数，使得为常数，求的值，并写出该常数．
21．已知函数
(1)当时，求函数的最大值，并求出取得最大值时所有的值；
(2)若为偶函数，设，若不等式在上恒成立，求实数m的取值范围；
(3)若过点，设，若对任意的，，都有，求实数a的取值范围.
试卷第1页，共3页
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《上海市复旦中学2025-2026学年第二学期高一年级期末考试数学试卷》参考答案
题号 13 14 15 16
答案 B D C B
1．2
2．
3．/
4．5
5．
6．直角三角形
7．/
8．
9．
10．28
11．
12．
17
【详解】（1）依题意可知，实系数一元二次方程的两根为，，
根据韦达定理，，解得，.
（2）若，则方程的根为，，
若，则，，则，，，
所以；
若，则，，则，，，
所以；
18．
【详解】（1）设等差数列的公差为，
则由题意可得，解得，
则，
故数列的通项公式为.
（2）当时，；当时，，
则当时，取最小值，最小值为.
19．
【详解】（1）由题可知在中：，，
所以，
由正弦定理可得：，
所以（海里）．
（2）由题可知在中：，，所以．
所以（海里），
由余弦定理可得：
，
所以（海里），
由题意可知，在中，，
由余弦定理可得：
，
所以（海里）.
20．
【详解】（1）设，则，得，
所以.
（2）由已知，则，
设，则，
所以，则有，得.
（3）由可得，由（1）知，
，，
，
，
，
，
又，所以，
所以，
若为常数，则，即，此时该常数为.
21．
【详解】（1）当时，,
所以当，即 时，所以 ,此时 ；
（2）因为 为偶函数，所以,
所以,
所以
，
又因为在上恒成立，
即在 上恒成立，
所以 在 上恒成立，
所以 ，且 在上恒成立，
因为，所以，所以，
解得
所以 m 的取值范围为;
（3）因为过点，所以
所以，
又因为,所以,
所以 ，
又因为对任意的，，都有成立，
所以，
因为，所以 ，
设 ,
则有 图像是开口向下，对称轴为 的抛物线，
当 时，在 上单调递增，所以 ,
所以，解得
所以；
当 时， 在上单调递减，
所以 ,
所以，解得
所以;
当时，,
所以，解得所以,
综上所述：所以实数 a 的取值范围为
答案第1页，共2页
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