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湖北省沙市中学2025-2026学年高一下学期6月阶段检测数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．复数（是虚数单位）在复平面上所对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．已知为两条不同的直线，为两个不同的平面，下列命题为真命题的是（ ）
A．若，，，，则
B．若，，则
C．若，，，则
D．若，，，则
3．已知函数在上单调递增，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
4．不等式的解集为（ ）
A． B．或
C． D．
5．已知为锐角，，，则=（ ）
A． B． C． D．或
6．设，是平面内两个不共线的向量，，，若A，B，C三点共线，则的最小值是（ ）
A．8 B．6 C．4 D．2
7．如图，三棱锥中，为等腰直角三角形，斜边为的中点，则直线所成角的余弦值为（ ）

A． B． C． D．
8．在中，，则的面积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．设为复数，则下列结论中正确的是（ ）
A．
B．复数与分别表示向量与，则表示向量的复数为
C．若为虚数，则也为虚数
D．若复数满足，则复数对应的点所构成的图形面积为
10．满足，且，则（ ）
A．三个内角满足关系
B．的周长为
C．若的角平分线与交于，则的长为
D．设为外接圆上任意一点，则的最大值为
11．如图；正方体的棱长为2，是侧面上的一个动点（含边界）；点在棱上；则下列结论正确的有（ ）

A．若；沿正方体的表面从点到点的最短距离为
B．若，三棱锥的外接球表面积为
C．若；，则点的运动轨迹长度为
D．若；平面被正方体截得截面面积为
三、填空题
12．若圆台的上下底面半径分别为1和4，侧面积为，则圆台的体积为________.
13．已知函数，若方程有4个根，，，，且，则实数的取值范围是____，的取值范围是______.
14．已知正的顶点A在平面内，点，均在平面外（位于平面的同侧），且在平面上的射影分别为，，，设的中点为，则直线与平面所成角的正弦值的取值范围是______.
四、解答题
15．已知集合，
(1)求集合；
(2)若，，求实数m的取值范围．
16．已知向量，且，求：
（1）及；
（2）若的最小值为，求实数的值．
17．已知中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且
(1)求角C
(2)若，，为角C的平分线，求的长；
(3)若，求锐角面积的取值范围.
18．我国古代数学名著《九章算术》在“商功”一章中，将“底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥”称为“阳马”．现有如图所示一个“阳马”形状的几何体，底面ABCD是正方形，底面ABCD，，E为线段PB的中点，F为线段BC上的动点

(1)平面AEF与平面PBC是否垂直？若垂直，请证明，若不垂直，请说明理由；
(2)求二面角的大小；
(3)若直线平面AEF，求直线AB与平面AEF所成角的正弦值．
19．类比思想在数学中极为重要，例如类比于二维平面内的余弦定理，有三维空间中的三面角余弦定理：如图1，由射线，，构成的三面角，记，，，二面角的大小为，则．如图2，四棱柱中，为菱形，，，，且点在底面内的射影为的中点．
(1)求的值；
(2)直线与平面内任意一条直线夹角为，证明：；
(3)过点作平面，使平面平面，且与直线相交于点，若，求值．
试卷第1页，共3页
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《湖北省沙市中学2025-2026学年高一下学期6月阶段检测数学试题》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A C B A B A A B BCD ABD
题号 11
答案 BCD
12．
13．
14．.
15．【详解】（1）不等式，解得，即，
当时，，则，即，
所以.
（2）由（1）得，，
当，即时，，满足，则；
当，即时，由，得，解得，
综上，，
所以实数m的取值范围是.
16．【详解】（1）由题意，向量，
可得，
又由
所以.
（2）由（1）可得，
即，
令，所以，
对称轴为，
若，则，不符合题意；
若，则，解得（舍去）；
若，则，解得，
综上可得：.
17．【详解】（1）解：由及正弦定理得
所以
∴，∴
∵，∴
（2）解：设由得
.
解得，即角平分线的长度为
（3）解：设外接圆半径为R，由
，即，即，∴
所以的面积
∵，∴，
∴
∵，，，
∴，
∴，
∴，∴，
∴
18．【详解】（1）平面平面PBC．
理由如下：
因为平面ABCD，平面ABCD，
所以，
因为，又，平面，
所以平面PAB，故．
在中，，E为PB的中点，所以．
因为平面PBC，平面PBC，，
所以平面PBC．又平面AEF，
所以平面平面PBC．
（2）不妨设，计算可得，，
又，，，所以，
则，作于G，连结DG，又，，
可知，所以，
所以是二面角的平面角．

在中，由，
得，则，，
连结BD，知，在中，根据余弦定理，
得，
所以．
（3）因为直线平面AEF，平面PBC，平面平面，
所以直线直线EF．
又E为线段PB的中点，所以F为线段BC上的中点．
由（2）知，所以．
设BG与EF交点为H，连结AH，
由（1）知，平面平面PBC，平面平面，
所以平面AEF．
所以直线AB与平面AEF所成角为．
又由EF，F为BC上的中点，可得H为BG的中点，
可知，，又，
所以．
直线AB与平面AEF所成角的正弦值为．

19
【详解】（1）连接，由已知得平面，，
又平面，所以平面平面，
所以二面角的大小为，因为为菱形，，
所以，又，所以，
在中，，
由三面角余弦定理可得
.
（2）依题意可得，设平面内任一条直线为，
若过点时，记与的夹角为（），
则，因为，
所以，
又，所以；
若不过点时，过点作使得，记与的夹角为（），
则，因为，
所以，
又，所以；
综上可得.
（3）连接，，
因为，平面，平面，所以平面，
同理可证平面，
又，平面，
所以平面平面，
因为平面平面，
所以平面平面，
又平面平面，又平面平面，
所以，又即，
所以四边形为平行四边形，
所以，显然在的延长线上，
因为，所以，
所以，即.
答案第1页，共2页
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