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八下期末基础题巩固练习
一、选择题：本题共11小题，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列二次根式中的最简二次根式是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】解：、，故不是最简二次根式，本选项错误；
B、，故不是最简二次根式，本选项错误；
C、，故不是最简二次根式，本选项错误；
D、是最简二次根式，本选项正确．
故选D．
根据最简二次根式的概念：被开方数不含分母；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，结合选项求解即可．
本题考查了最简二次根式的知识，解答本题的关键在于掌握最简二次根式的概念，对各选项进行判断．
2.个旅游团游客年龄的方差分别是：，，，导游小方喜欢带游客年龄相近的团队，则他应该选择( )
A. 甲团 B. 乙团 C. 丙团 D. 哪一个都可以
【答案】A
【解析】解：，，，
，
他应该选择甲团．
故选：
根据方差的意义可作出判断．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
本题考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
3.如图， 的对角线与相交于点，若，，则的长是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】解： 的对角线与相交于点，，
，，
在中，，，
由勾股定理得：，
，
故选：．
根据平行四边形的性质得，，再由勾股定理求出，即可得解．
本题主要考查了平行四边形的性质，勾股定理，解答本题的关键是熟练掌握勾股定理．
4.下列计算中，正确的是( )
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】解：根据二次根式的运算法则逐项分析判断如下：
：，
A错误；
：，
B正确；
：，
C错误；
：，
D错误．
故选：．
根据二次根式的运算法则逐项分析判断即可．
本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是关键．
5.如图，，分别是平行四边形的边，上的点，与相交于点，与相交于点若，，，则阴影部分的面积为( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】解：连接，过点作于点，
，，
，
四边形是平行四边形，
，
的边上的高与的边上的高相等，
，
，
同理：，
，
，，
，
故阴影部分的面积为．
故选：．
根据平行四边形的面积与三角形的面积公式可得三角形的面积，连接，由三角形的面积公式我们可以推出，，所以，，因此可以推出四边形的面积就是，再根据面积差可得答案．
本题考查平行四边形的性质，三角形的面积，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．
6.一次函数的图象大致是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】解：由题意知，，时，函数图象经过一、二、四象限．
故选C
根据一次函数的性质，判断出和的符号即可解答．
本题考查了一次函数图象所过象限与，的关系，当，时，函数图象经过一、二、四象限．
7.如图，两个大正方形的面积分别为和，则小正方形的面积为( )
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】解：由题意得，，，
故可得，
故选：．
根据正方形的面积公式结合勾股定理就可发现大正方形的面积是两个小正方形的面积和．
本题考查了勾股定理，解答此类题目关键是仔细观察所给图形的特点，不要盲目作答．
8.如图所示，已知正方形边长为，连接，，平分交于点，则的长为( )
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】解：过点作于点，
四边形是正方形，
，，平分，
，
平分，
，
，
，
即：是等腰直角三角形，
正方形边长为，
，
，
设，
在中，
，
，
解得：，
．
故选：．
过点作于点，设，根据，列方程求解即可．
本题考查了正方形的性质、勾股定理及角平分线的性质，关键是灵活应用知识点解题．
9.如图，，平行四边形、三角形、梯形放置于和之间，它们的面积分别记为、，则下列正确的是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】解：设和之间的距离为，
，
，，，
．
故选：．
设和之间的距离为，然后表示出、、，进而求解即可．
此题考查了平行线之间的距离，掌握平行线之间的距离是解题的关键．
10.如图，中，，分别是，的中点，点在上，延长交于，，，，则( )
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】解：如图，，
．
是的中点，
是斜边上的中线，
，
．
，分别是，的中点，
是的中位线．
．
，
．
．
故选：．
根据直角三角形斜边上的中线求得的长度，由三角形中位线定理求得的长度，则．
本题主要考查了三角形中位线定理，三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．
11.下列关系中，属于成正比例函数关系的是( )
A. 正方形的面积与边长 B. 从甲地到乙地，所用的时间和行驶速度
C. 圆的面积与它的半径 D. 等边三角形的周长和边长
【答案】D
【解析】解：正方形的面积与边长成二次函数关系，故选项A不符合题意；
从甲地到乙地，所用的时间和行驶速度成反比例关系，故选项B不符合题意；
圆的面积与它的半径成二次函数关系，故选项C不符合题意；
等边三角形的周长和边长成正比例关系，故选项D符合题意；
故选：．
根据各个选项中的说法，可以判断它们的函数关系，然后即可判断哪个选项符合题意．
本题考查一次函数的应用、二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，写出相应的函数关系．
二、多选题：本题共1小题，共3分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
12.甲、乙两支龙舟队进行比赛，早上：同时从起点出发甲队在上午：分到达终点，乙队一直匀速前进比赛时甲、乙两队所行驶的路程千米与时间小时的函数关系如图所示下列说法正确的是( )
A. 甲队先达到终点 B. 上午：分乙队追上甲队
C. 甲、乙两队在上午：时相距最远 D. 上午：乙队到达终点
【答案】BC
【解析】解：对于乙队，当时，，
，
到达终点所用时：时时分秒，
上午时分秒乙队到达终点，
甲队在上午：分到达终点，
乙队先达到终点，
故A、D错误，不符合题意；
对于甲队，出发小时后，设与的关系为，
根据图象可知，的图象过点，，
，
解得：，
甲队出发小时后，所行驶的路程千米与时间小时的函数关系为，
，
解得：，
出发时分或则上午点分乙队追上甲队，
故B正确，符合题意；
由图可知，出发小时之内，两队的最远距离时千米，
设乙队追上甲队后，两队的距离为，则，
由一次函数的性质可知，随的增大而增大
当时，取得最大值，最大值为，
甲、乙两队在上午：时相距最远，
故C正确，符合题意．
故选：．
甲队在上午时分到达终点，共花时间小时，从图象上看，线是甲队的路程，所以是乙队花时间少，先到终点，从而判断、；从图象来看，乙队的路程与时间成正比例关系，甲队的路程与时间是一个分段函数，即在第小时内是正比例函数，在到小时是一次函数，可使用待定系数法分别求出，乙队追上甲队时，两队的路程相等，列出方程可求解从而判断；由图看出小时之内，两队相距最远距离是千米，乙队追上甲队后，两队的距离也可计算，相比较得出甲、乙两队在出发后小时相距最远，从而判断．
本题主要考查一次函数的应用、用待定系数法求一次函数解析式，能从给出的图象中获取相关信息，并理解乙队追上甲队时，两者路程相等时解题关键．
三、填空题：本题共13小题，每小题3分，共39分。
13.当时，二次根式的值为 ．
【答案】
【解析】解：当时，原式．
故答案为：．
将的值代入计算可得．
本题主要考查二次根式的定义，解题的关键是掌握二次根式的定义：一般地，我们把形如的式子叫做二次根式．
14.一组数据为，，，，，则这组数据的离差平方和是 ．
【答案】
【解析】解：平均数为，
离差平方和为：
．
这组数据的离差平方和是．
故答案为：．
先求出这组数据的平均数，再根据定义计算离差平方和．
本题考查离差平方和的计算，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．
15.对于实数，，定义运算“”如下：，例如，若，则的值为 ．
【答案】或
【解析】解：原式
，
，
，
，
，
解得或，
即的值为或．
故答案为：或．
先根据新定义的运算计算，再根据，即可得关于的一元二次方程，解方程即可．
本题考查了新定义、实数的运算，熟练掌握以上知识点是关键．
16.图是我国古代建筑中的一种窗格其中冰裂纹图案象征着坚冰出现裂纹并开始消融，寒冬已过，大地回春冰裂纹图案形状无一定规则，图是从图冰裂纹窗格图案中提取的由五条线段组成的图形，则 度
【答案】
【解析】解：由多边形的外角和等于度，
可得度．
故答案为：．
多边形的外角和等于度，依此即可求解．
本题考查了多边形内角与外角，关键是熟悉多边形的外角和等于度的知识点．
17.如图，点为 边上的一个动点，并沿的路径移动到点停止；设点经过的路径长为，的面积为，与的函数图象如图所示；若，则 的面积是 ．
【答案】
【解析】解：根据图象的变化情况可知：
，，
作于点，
，
在中，
，
的面积是．
故答案为：．
根据图象可知，，作于点，可以求出高，即可求出面积．
本题考查的是动点图象问题，此类问题关键是：弄清楚不同时间段，图象和图形的对应关系，进而求解．
18.如图，在中，点，分别是边，的中点，连结，点在上，连结，，若，，，则的长为 ．
【答案】
【解析】解：，
，
是边的中点，，
，
，
点，分别是边，的中点，
，
故答案为：．
根据直角三角形斜边上的中线的性质求出，进而求出，再根据三角形中位线定理解答即可．
本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形斜边上的中线的性质，熟记三角形中位线等于第三边的一半是解题的关键．
19.如图，在 中，，，，点是上一点，将沿折叠得到，连接，下列结论：当点落在边上时，；当点为中点时，；当时，；最小值为其中所有正确结论的序号是 ．
【答案】
【解析】解：在 中，，，，点是上一点，将沿折叠得到，连接，则：
当点落在边上时，如图，
、、，≌，
、，
，
，，
，，
在中，，
是等边三角形，则，
过点作于点，
，
在中，根据勾股定理可得，，
，
在中，，所以错误；
当点为中点时，，
如图，过点作交延长线于点，
，，
，
在中，，，
，
在中，，故正确；
当时，，
四边形是平行四边形，
，
设，则，，
，故正确；
由折叠知，在以为圆心，半径的圆弧上，如图，过点作交于点，
当、、三点共线时，最短，
，
，
，
，
所以正确．
故答案为：．
利用平行四边形和折叠的性质可得是等边三角形，作边上的垂线，构造直角三角形，根据等边三角形的性质可求出、、的长，在中用勾股定理可得长，进而判断错误；构造直角三角形，由同理可得，正确；由平行四边形的性质可得，根据等腰三角形的性质，设，则有，故正确；由折叠知，在以为圆心，半径的圆弧上，利用两点之间线段最短和圆的性质，可得正确．
本题考查旋转的性质，正确进行计算是解题关键．
20.若函数是关于的正比例函数，则______．
【答案】
【解析】【分析】
本题考查了正比例函数的定义，正比例函数的定义条件是：为常数且，自变量次数为．
一般地，形如是常数，的函数叫做正比例函数，由此可得，解出即可．
【解答】
解：一次函数是正比例函数，
，
解得：．
故答案为．
21.如图，函数和的图象相交于点，则不等式的解集为______．
【答案】
【解析】解：观察函数图象，发现：
当时，函数的图象在函数的图象的上方，
不等式的解集为．
故答案为：．
观察两函数图象的上下位置关系结合交点的坐标，即可得出不等式的解集．
本题考查了一次函数与一元一次不等式，解题的关键是根据函数图象的上下位置关系解决不等式．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据两函数图象的上下位置关系结合交点的横坐标，得出不等式的解集是关键．
22.如图，在平行四边形中，，点，分别为，中点，，，则 ．
【答案】
【解析】解：过点作，交的延长线于点，连接，，
四边形是平行四边形，，，，
，，
，
四边形是矩形，
，
，

，，
≌，
，
点是的中点，
，
，
即
点是的中点，
是的中位线，

故答案为：．
过点作，交的延长线于点，连接，，说明四边形是矩形，可得，再根据勾股定理求出，然后证明≌，可得，进而说明，接下来可知是的中位线，最后根据三角形中位线的性质得出答案．
本题主要考查了平行四边形的性质，矩形的判定和性质，全等三角形的性质和判定，三角形中位线的定义和性质，作出辅助线构造三角中位线是解题的关键．
23.如图，两个全等的矩形纸片重叠在一起，矩形的长和宽分别是和，则重叠部分的四边形中的对角线的长是 ．
【答案】．
【解析】解：两个全等的纸片是矩形，
，，
四边形为平行四边形，
如图：两个全等的矩形纸片重叠在一起，矩形的长和宽分别是和，
，，，
≌，
，，
四边形为菱形，
设，则，
在中，，
，
解得，
，，
如图：连接，则，
，
．
故答案为：．
如图：利用矩形的性质证明四边形为平行四边形，再证明≌，进而证明四边形为菱形，设，则，利用勾股定理建立等式求解得到，再利用等面积法即可求得对角线的长．
本题考查平行四边形的性质，菱形的性质，矩形的判定与性质，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．
24.在平面直角坐标系中，一只青蛙从原点出发，按向上、向右、向下、向右的方向依次跳动，每次跳动个单位长度，其行走路线如图所示，则点的坐标为 ．
【答案】
【解析】解：由图可知，都在轴上，
青蛙每次移动个单位，
，，
，，
点的坐标为，
则，
点的坐标是．
点向上移动个单位长度得到点，
点的坐标是．
故答案为：．
根据图象先计算出和的坐标，进而得出点的坐标为，再用，可得出点的坐标，即可求解．
本题考查了规律型问题在点的坐标问题中的应用，利用移动规律得出坐标变化规律是解题的关键．
25.如图，四边形是矩形，点在线段的延长线上，连接交于点，，点是的中点，若，，则的长为 ．
【答案】
【解析】解：四边形是矩形，
，，，
，，
，
点是的中点，
，
，
，
，，
，
，
，
故答案为：．
利用矩形的性质和勾股定理可求出的长，利用直角三角形的性质得到，则可证明得到，据此可得答案．
本题主要考查了矩形的性质，等腰三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线，勾股定理，掌握其相关知识点是解题的关键．
四、计算题：本大题共2小题，共14分。
26.计算：
；
．
【答案】；

【解析】解：原式
；
原式
．
化简二次根式并根据二次根式的乘法运算法则计算，然后算减法即可；
利用平方差公式和完全平方公式展开计算，最后算加减法即可．
本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是关键．
27.计算：
；
．
【答案】解：
；
．

【解析】先算乘除，再算加减即可；
先算平方差公式，再算减法即可．
本题考查的是二次根式的混合运算，平方差公式，熟知二次根式混合运算的法则是解题的关键．
五、解答题：本题共11小题，共104分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
28.本小题分
某银行理财经营团队对其年上半年负责经营的项理财产品的收益率进行统计，数据如下已按从小到大的顺序排列：
，，，，，，，，，，，．
团队产品收益率的相关数据
团队 收益率的平均值
请根据以上信息解答下列问题：
计算，，的值，并填入表格．
团队 收益率的平均值
根据统计数据绘制了团队负责经营的理财产品收益率的箱线图，写出两条你从中得到的信息．
【答案】，， 收益率最低为，最高为；收益率的中位数是
【解析】解：中位数，
；
下四分位数；
上四分位数，
；
填表如下：
团队 收益率的平均值
由箱线图可得，收益率最低为，最高为；收益率的中位数是．
根据四分位数的公式分别列式计算下四分位数、中位数、上四分位数，即可求解；
根据箱线图即可得出结论．
本题考查算术平均数，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．
29.本小题分
如图，在四边形中，是的中点，、交于点，，．
求证：四边形为平行四边形；
若，，，求的长．
【答案】见解析；
．
【解析】证明：是的中点，，
是的中位线，
，
，
又，
四边形为平行四边形；
解：，
，
由知：是的中位线，
，
，
由知：四边形为平行四边形，
．
，
在中，．
的长为．
根据三角形的中位线定理得到，而，即可求证；
由三角形的中位线定理和平行四边形的性质得到，在，运用勾股定理即可求解．
本题考查三角形中位线定理，平行四边形的判定和性质，勾股定理等知识点，解题的关键是灵活掌握三角形的中位线定理和平行四边形的性质和判定．
30.本小题分
在 中，，，点在边上且，将绕点逆时针旋转得到．
如图，当时，求；
如图，在旋转过程中，连接，取中点，作射线交直线于点求线段的取值范围；
如图当时，点为线段上一动点，过点作射线于点，为中点，直接写出的最大值与最小值．
【答案】解：如图，过点作交的延长线于点，
，
，，
，
点在边上且，将绕点逆时针旋转得到，
，
，
又，
；
如图，在线段上截取，连接、，
，，
四边形是平行四边形，
，，
在中，，
，
即，
；
连接，取的中点，的中点，连接、、、，
，，
是等腰直角三角形，
，
点是的中点，
，且，
是的中点，是的中点，
是的中位线，
，
，
点是的中点，
，
在中，，
当、、三点共线时，的最小值，
当点与点重合时，，，
此时，的最大值．
【解析】如图，过点作交的延长线于点，根据题意求得，再根据特殊直角三角形的性质进而求得上的高，代入面积公式算出结果；
如图，在线段上截取，连接、，可证得四边形是平行四边形，得出：，，再运用三角形三边关系即可求得答案；
如图，连接，取的中点，的中点，连接、、、，可证是等腰直角三角形，得出：，再由点是的中点，可得：，且，利用勾股定理得，当、、三点共线时，的最小值，当点与点重合时，，，此时，的最大值．
本题是几何变换综合题，主要考查了旋转的性质，平行四边形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形中位线定理等知识，正确引出辅助线解决问题是解题的关键．
31.本小题分
如图，已知．
请用无刻度的直尺和圆规分别在边，，上取点，，，使得四边形是菱形；保留作图痕迹，不写作法
若，，则菱形的高为______．
【答案】如图，菱形即为所求
【解析】解：如图，菱形即为所求；
设，交于，过作于，
四边形是菱形，
，，
，
，
菱形的面积，
，
菱形的高为，
故答案为：．
作的角平分线，作线段的垂直平分线交于点，交于点，连接，，四边形即为所求；
本题考查菱形的判定和性质，复杂作图，等边三角形的性质，三角形的中位线定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
32.本小题分
如图，点，，，在一条直线上，，，四边形是平行四边形．
求证：四边形是矩形；
连接，若，，求的长．
【答案】证明：四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，，
，
，
四边形是矩形
【解析】证明：由条件可知，，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，，
，
，
四边形是矩形；
解：取的中点，连接，
由条件可知，
四边形是矩形，
，，
，
又，
，
，
是的中点，是的中点，
是的中位线，，
，
，
在中，由勾股定理：．
利用四边形是平行四边形，推出，，再根据等腰三角形的三线合一的性质推出，即可证得四边形是矩形；
过点作于，利用的长度及，求得各段线段长；结合矩形的性质，根据中位线定理，求出与的长度，进而得到的长；最后在中，通过勾股定理算出的长度．
本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的判定与性质，熟练掌握以上知识点是关键．
33.本小题分
背景 为了让同学们了解楚雄刺绣文化，某校组织全体师生走进楚雄南华县开展研学活动，出行准备租用甲、乙两种型号的客车，每种型号的客车至少租用一辆
素材一 甲型客车每辆租金元，乙型客车每辆租金元；
素材二 辆甲型和辆乙型车坐满后共载客人；
素材三 辆甲型和辆乙型车坐满后共载客人；
素材四 初一年级组计划租用甲型和乙型两种客车共辆，总租金不高于元，并将全年级名师生载至目的地．
请完成以下任务
任务一 每辆甲型客车、乙型客车坐满后各载客多少人？
任务二 给出最节省租车费用的方案．
【答案】解：任务一设每辆甲型客车坐满后载客人，乙型客车坐满后载客人，
由题意得：，
解得：，
答：每辆甲型客车坐满后载客人，乙型客车坐满后载客人；
任务二设租用甲型客车辆，则租用乙型客车辆，
由题意得：，
解得：，
设租车费用为元，
由题意得：，
，
随的增大而减小
当时，有最小值，
此时，，
答：最节省租车费用的方案为租用甲型客车辆，乙型客车辆．
【解析】解：任务一设每辆甲型客车坐满后载客人，乙型客车坐满后载客人，
由题意得：，
解得：，
答：每辆甲型客车坐满后载客人，乙型客车坐满后载客人；
任务二设租用甲型客车辆，则租用乙型客车辆，
由题意得：，
解得：，
设租车费用为元，
由题意得：，
，
随的增大而减小
当时，有最小值，
此时，，
答：最节省租车费用的方案为租用甲型客车辆，乙型客车辆．
任务一设每辆甲型客车坐满后载客人，乙型客车坐满后载客人，根据辆甲型和辆乙型车坐满后共载客人；辆甲型和辆乙型车坐满后共载客人；列出二元一次方程组，解方程组即可；
任务二设租用甲型客车辆，则租用乙型客车辆，根据初一年级组计划租用甲型和乙型两种客车共辆，总租金不高于元，并将全年级名师生载至目的地，列出一元一次不等式组，解得，再设租车费用为元，根据题意列出关于的一次函数关系式，然后由一次函数的性质即可解决问题．
本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：任务一找准等量关系，正确列出二元一次方程组；任务二找准数量关系，正确列出一元一次不等式组和一次函数关系式．
34.本小题分
正方形中，点和点分别为和上的动点，并且，连接和．
如图，求证：；
以为斜边在正方形内部作等腰直角三角形，，连接．
如图，若，求的度数；
如图，若，求的长．
【答案】证明：四边形是正方形，
，，
，
，
，
四边形是平行四边形，
；
【解析】证明：四边形是正方形，
，，
，
，
，
四边形是平行四边形，
；
解：如图，设与交于点，
四边形是正方形，
，，
是等腰直角三角形，
，，
，
，
四边形是圆内接四边形，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
由知≌，
；
如图，过点作于点，设，，则，
是等腰直角三角形，，
，
，
在中，，
，
，
在中，，
．
由正方形的性质可得，，进而证得四边形是平行四边形，则；
设与交于点，由正方形和等腰直角三角形性质可得，则四边形是圆内接四边形，得出，再由，推出，则，即可得出；
过点作于点，设，，则，则，，再利用勾股定理即可求得答案．
本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，等腰直角三角形的性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理等，解题关键是利用正方形性质和勾股定理解决问题．
35.本小题分
如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交点，点在轴上，点在轴正半轴上，且点是直线与线段的交点．
求直线的解析式；
若为直线上一动点，连接，，当时，求点的坐标；
如图，连接，在直线上是否存在动点，使得，若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】直线的解析式为 点的坐标为或 点的坐标为，
【解析】解：令得，，
解得，
，
令得，，
，
，
，
点是直线与线段的交点，
，
，
将，代入得，
，
解得，
则直线的解析式为；
由可知，直线的解析式为，
令得，，则，
，，，
，
，
设，
当在直线上方时，连接，
当时，如图，
，
，
即：，
当时，如图，
，
由，所以舍去，
当在直线下方时，连接，
当时，如图，
，
，
，
当时，如图，
，
由于，所以舍去，
综上所述，点的坐标为或；
存在，
设直线的解析式为，
由可知，，，
将其代入得，，
，
则的解析式为，
为等腰直角三角形，
，
，
，
，
如图，连接交于点，作关于的对称角，交于点，
，，
，
，
，
，
即点，为所求，
设的解析式为，
将，代入得，
，
则的解析式为，
联立解得，
即，
，，，
≌，
，
，，
，
综上，点的坐标为，．
根据题意易得，，从而可求出，由于点是直线与线段的交点，则，根据待定系数法求解即可；
根据题意可求得，设，根据割补法求三角形的面积即可求解；
根据待定系数法求出的解析式，由推得，连接交于点，作关于的对称角，交于点，通过角度计算得此时，为所求，通过计算直线和直线的交点即可求出点的坐标，利用中点公式即可求解．
本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数的交点，割补法求三角形的面积，全等三角形的判定与性质，熟练掌握待定系数法，并运用数形结合是解题的关键．
36.本小题分
在数学综合与实践活动课上，老师让同学们以“特殊平行四边形的旋转”为主题开展探究活动如图，正方形和正方形，连接，．
当正方形绕点旋转，如图，线段与之间的数量关系是______；直线与的夹角度数为______；
如图，若四边形与四边形都为菱形，且，，猜想与的数量关系与直线与的夹角度数，并说明理由；
如图，在的条件下，，在菱形绕点旋转过程中，求线段的最小值．
【答案】 ；直线与直线的夹角度数为；理由如下：
四边形和四边形是菱形，
，，，
，
，
在和中，
，
≌，
，，
延长交的延长线于点，交于点，
，，
，
，
直线与的夹角度数为
【解析】解：四边形和四边形是正方形，
，，，
，
，
在和中，
，
≌，
，，
如图，延长交于点，交于点，
，，
，
，
直线与的夹角度数为，
故答案为：，；
；直线与直线的夹角度数为；
理由如下：
四边形和四边形是菱形，
，，，
，
，
在和中，
，
≌
，，
延长交的延长线于点，交于点，
，，
，
，
直线与的夹角度数为；
，
当点在上时，线段取得最小值．
连接，交于点，
四边形是菱形，，
，，，
，
，
，
，
，
，
即线段的最小值为．
由四边形和四边形是正方形，得，，，证明≌，得出，，延长交于点，交于点，根据全等三角形的性质和角度和差即可求解；
由四边形和四边形是菱形，得，，，证明≌，得出，，延长交于点，交于点，根据全等三角形的性质和角度和差即可求解；
如图，当点在上时，线段的最小值，连接，交于点，根据菱形的性质得到，，，根据勾股定理得到，求得，于是得到结论．
本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理的应用，掌握知识点的应用是解题的关键．
37.本小题分
我们给出定义：有一组对角相等而另一组对角不相等的凸四边形叫做“等对角四边形”．
已知：如图，四边形是“等对角四边形”，，，，求，的度数；
在探究“等对角四边形”性质时：小红画了一个“等对角四边形”如图，其中，，此时她发现成立请你证明此结论；
已知：在“等对角四边形”中，，，，求对角线的长．
【答案】； ，
，
，
，即，
或
【解析】解：四边形是“等对角四边形”，，，
，
，
；
证明：，
，
，
，即，
；
解：分两种情况讨论：
当时，如图，过点作于点，作于点，
，
，，
，，
，
在直角三角形中，由勾股定理得：，
，
四边形是矩形，
，，
设，则，
在中，由勾股定理得：，
，
解得：，
，
在中，由勾股定理得：；
当时，，如图，过点作于点，作于点，
，，
，，
，，
，
，
四边形是矩形，
，
设，则，
在中，由勾股定理得：，
，
解得：，
，
在中，由勾股定理得：；
综上所述，对角线的长为或．
根据“等对角四边形”的定义，由推出相等的对角只能是和，先得出，再利用四边形内角和为，减去、、的度数，即可求出的度数；
由根据等边对等角得，结合已知，通过等式性质两边同时减去相等的角，推出，最后根据等角对等边即可证明；
根据“等对角四边形”的定义分两种情况讨论，第一种是，第二种是，两种情况均通过过点作和的垂线，构造直角三角形和矩形，利用直角三角形的性质求出相关线段长度，再结合勾股定理分别计算出两种情况下对角线的长，最后综合即可得出结果．
本题属于四边形综合题，主要考查了“等对角四边形”的定义，四边形内角和，等边对等角，含度角的直角三角形，勾股定理，矩形的判定与性质，解答本题的关键是熟练掌握“等对角四边形”的定义．
38.本小题分
年浙掀起一股“篮球热”，统计温州队和杭州队中名队员的身高单位：厘米，绘制箱线图如图所示：
根据箱线图填表：
篮球队
温州
请结合箱线图，从整体水平、离散程度两个方面比较两支队伍队员的身高情况．
【答案】；； 从离散程度看：温州队身高离差比杭州队身高离差更大，离散程度更高．从整体水平看：温州队身高的中位数高于杭州队，且温州队身高的，，最大值均高于杭州队的对应值．这表明温州队队员的身高整体水平高于杭州队
【解析】解：填表：
篮球队
温州
故答案为：；；．
从离散程度看：温州队身高离差比杭州队身高离差更大，离散程度更高．从整体水平看：温州队身高的中位数高于杭州队，且温州队身高的，，最大值均高于杭州队的对应值．这表明温州队队员的身高整体水平高于杭州队．
根据上四分位数、中位数、下四分位数的定义结合箱线图即可求解；
分别从中位数以及极差比较，即可求解．
本题考查规律型：数字的变化类，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．
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八下期末基础题巩固练习
一、选择题：本题共11小题，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列二次根式中的最简二次根式是( )
A. B. C. D.
2.个旅游团游客年龄的方差分别是：，，，导游小方喜欢带游客年龄相近的团队，则他应该选择( )
A. 甲团 B. 乙团 C. 丙团 D. 哪一个都可以
3.如图， 的对角线与相交于点，若，，则的长是( )
A. B. C. D.
4.下列计算中，正确的是( )
A. B.
C. D.
5.如图，，分别是平行四边形的边，上的点，与相交于点，与相交于点若，，，则阴影部分的面积为( )
A. B. C. D.
6.一次函数的图象大致是( )
A. B. C. D.
7.如图，两个大正方形的面积分别为和，则小正方形的面积为( )
A.
B.
C.
D.
8.如图所示，已知正方形边长为，连接，，平分交于点，则的长为( )
A.
B.
C.
D.
9.如图，，平行四边形、三角形、梯形放置于和之间，它们的面积分别记为、，则下列正确的是( )
A. B. C. D.
10.如图，中，，分别是，的中点，点在上，延长交于，，，，则( )
A.
B.
C.
D.
11.下列关系中，属于成正比例函数关系的是( )
A. 正方形的面积与边长 B. 从甲地到乙地，所用的时间和行驶速度
C. 圆的面积与它的半径 D. 等边三角形的周长和边长
二、多选题：本题共1小题，共3分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
12.甲、乙两支龙舟队进行比赛，早上：同时从起点出发甲队在上午：分到达终点，乙队一直匀速前进比赛时甲、乙两队所行驶的路程千米与时间小时的函数关系如图所示下列说法正确的是( )
A. 甲队先达到终点 B. 上午：分乙队追上甲队
C. 甲、乙两队在上午：时相距最远 D. 上午：乙队到达终点
三、填空题：本题共13小题，每小题3分，共39分。
13.当时，二次根式的值为 ．
14.一组数据为，，，，，则这组数据的离差平方和是 ．
15.对于实数，，定义运算“”如下：，例如，若，则的值为 ．
16.图是我国古代建筑中的一种窗格其中冰裂纹图案象征着坚冰出现裂纹并开始消融，寒冬已过，大地回春冰裂纹图案形状无一定规则，图是从图冰裂纹窗格图案中提取的由五条线段组成的图形，则 度
17.如图，点为 边上的一个动点，并沿的路径移动到点停止；设点经过的路径长为，的面积为，与的函数图象如图所示；若，则 的面积是 ．
18.如图，在中，点，分别是边，的中点，连结，点在上，连结，，若，，，则的长为 ．
19.如图，在 中，，，，点是上一点，将沿折叠得到，连接，下列结论：当点落在边上时，；当点为中点时，；当时，；最小值为其中所有正确结论的序号是 ．
20.若函数是关于的正比例函数，则______．
21.如图，函数和的图象相交于点，则不等式的解集为______．
22.如图，在平行四边形中，，点，分别为，中点，，，则 ．
23.如图，两个全等的矩形纸片重叠在一起，矩形的长和宽分别是和，则重叠部分的四边形中的对角线的长是 ．
24.在平面直角坐标系中，一只青蛙从原点出发，按向上、向右、向下、向右的方向依次跳动，每次跳动个单位长度，其行走路线如图所示，则点的坐标为 ．
25.如图，四边形是矩形，点在线段的延长线上，连接交于点，，点是的中点，若，，则的长为 ．
四、计算题：本大题共2小题，共14分。
26.计算：
；
．
27.计算：
；
．
五、解答题：本题共11小题，共104分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
28.本小题分
某银行理财经营团队对其年上半年负责经营的项理财产品的收益率进行统计，数据如下已按从小到大的顺序排列：
，，，，，，，，，，，．
团队产品收益率的相关数据
团队 收益率的平均值
请根据以上信息解答下列问题：
计算，，的值，并填入表格．
团队 收益率的平均值
根据统计数据绘制了团队负责经营的理财产品收益率的箱线图，写出两条你从中得到的信息．
29.本小题分
如图，在四边形中，是的中点，、交于点，，．
求证：四边形为平行四边形；
若，，，求的长．
30.本小题分
在 中，，，点在边上且，将绕点逆时针旋转得到．
如图，当时，求；
如图，在旋转过程中，连接，取中点，作射线交直线于点求线段的取值范围；
如图当时，点为线段上一动点，过点作射线于点，为中点，直接写出的最大值与最小值．
31.本小题分
如图，已知．
请用无刻度的直尺和圆规分别在边，，上取点，，，使得四边形是菱形；保留作图痕迹，不写作法
若，，则菱形的高为______．
32.本小题分
如图，点，，，在一条直线上，，，四边形是平行四边形．
求证：四边形是矩形；
连接，若，，求的长．
33.本小题分
背景 为了让同学们了解楚雄刺绣文化，某校组织全体师生走进楚雄南华县开展研学活动，出行准备租用甲、乙两种型号的客车，每种型号的客车至少租用一辆
素材一 甲型客车每辆租金元，乙型客车每辆租金元；
素材二 辆甲型和辆乙型车坐满后共载客人；
素材三 辆甲型和辆乙型车坐满后共载客人；
素材四 初一年级组计划租用甲型和乙型两种客车共辆，总租金不高于元，并将全年级名师生载至目的地．
请完成以下任务
任务一 每辆甲型客车、乙型客车坐满后各载客多少人？
任务二 给出最节省租车费用的方案．
34.本小题分
正方形中，点和点分别为和上的动点，并且，连接和．
如图，求证：；
以为斜边在正方形内部作等腰直角三角形，，连接．
如图，若，求的度数；
如图，若，求的长．
35.本小题分
如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交点，点在轴上，点在轴正半轴上，且点是直线与线段的交点．
求直线的解析式；
若为直线上一动点，连接，，当时，求点的坐标；
如图，连接，在直线上是否存在动点，使得，若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由．
36.本小题分
在数学综合与实践活动课上，老师让同学们以“特殊平行四边形的旋转”为主题开展探究活动如图，正方形和正方形，连接，．
当正方形绕点旋转，如图，线段与之间的数量关系是______；直线与的夹角度数为______；
如图，若四边形与四边形都为菱形，且，，猜想与的数量关系与直线与的夹角度数，并说明理由；
如图，在的条件下，，在菱形绕点旋转过程中，求线段的最小值．
37.本小题分
我们给出定义：有一组对角相等而另一组对角不相等的凸四边形叫做“等对角四边形”．
已知：如图，四边形是“等对角四边形”，，，，求，的度数；
在探究“等对角四边形”性质时：小红画了一个“等对角四边形”如图，其中，，此时她发现成立请你证明此结论；
已知：在“等对角四边形”中，，，，求对角线的长．
38.本小题分
年浙掀起一股“篮球热”，统计温州队和杭州队中名队员的身高单位：厘米，绘制箱线图如图所示：
根据箱线图填表：
篮球队
温州
请结合箱线图，从整体水平、离散程度两个方面比较两支队伍队员的身高情况．
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