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河南郑州市外国语学校2025-2026学年高二下学期期末数学试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．已知随机变量 服从正态分布 ，若 ，则 （ ）
A．0.15 B．0.2 C．0.3 D．与 的取值有关
4．3个男同学和3个女同学排成一列，进行远足拉练．要求排头和排尾必须是男同学，则不同的排法有（ ）种．
A．36 B．108 C．120 D．144
5．函数 的导函数 的图像如图所示，以下命题错误的是（ ）

A．是函数的最小值
B．是函数的极值
C．在区间上单调递增
D．在处的切线的斜率大于0
6．若随机变量X的分布列为
X 1 0
P p q
其中，则（ ）
A．， B．，
C．， D．，
7．某汽车4S店从甲乙丙三个车企分别采购同一款智能汽车500，400，100辆进行销售，甲乙丙三个车企生产的该智能汽车的智驾故障率分别为2%，3%，5%，某消费者从该4S店购买了一台此款智能汽车，在智驾过程中突然出现故障，则根据概率计算出甲乙丙三个车企应承担的责任比为（　　）
A．2：3：5 B．10：12：5 C．5：12：10 D．5：4：1
8．若函数在区间内存在单调递减区间，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．下列说法中，正确的是（ ）
A．回归直线就是散点图中经过样本数据点最多的那条直线
B．可以用相关系数刻画两个变量的相关程度强弱，值越大两个变量的相关程度越强
C．残差图中，残差点所在的水平带状区域越窄，则回归方程的预报精确度越高
D．根据分类变量与的成对样本数据，计算得到，根据小概率值的独立性检验，可判断 与有关联，此推断犯错误的概率不超过0.05
10．下列命题中的假命题是（ ）
A．命题“，”的否定是：，
B．设，则“”是“”的充分而不必要条件
C．若，则的最小值为4
D．
11．小郡玩一种跳棋游戏，一个箱子中装有大小质地均相同的且标有的10个小球，每次随机抽取一个小球并放回，规定：若每次抽取号码小于或等于5的小球，则前进1步，若每次抽取号码大于5的小球，则前进2步.每次抽取小球互不影响，记小郡一共前进步的概率为，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．小华一共前进3步的概率最大
三、填空题
12．若，则__________.
13．某校安排5位老师值班3天，要求每人需要值班1天或2天，且每天有2人值班，则不同的值班方案有_________种.
14．已知，若存在，使得，则实数的取值范围是__________.
四、解答题
15．在二项式的展开式中，所有项的系数之和为.
(1)求展开式中的常数项；
(2)求展开式中系数绝对值最大的项.
16．近几年新能源汽车发展很快，2025年我国在世界纯电动车市场份额占，下面是某新能源汽车制造公司从2019年至2025年的利润情况表：
年份 2019 2020 2021 2022 2023 2024 2025
年份代码 1 2 3 4 5 6 7
利润亿元 29 33 36 44 48 52 59
(1)根据表中的数据，推断变量与之间是否线性相关，计算与之间的相关系数（精确到0.01），并推断它们的相关程度；
(2)求出关于的经验回归方程，并预测该新能源汽车制造公司2030年的利润.
参考数据：，，.
参考公式：对于一组数据，，，，①相关系数；②经验回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，.
17．某实验室利用基因编辑技术改良一种小麦品种，使其对锈病产生抗性．实验中将100株小麦分为两组：实验组50株接受基因编辑处理，对照组50株未处理，实验后统计各组抗病情况如下表：
抗病株数 易感病株数 合计
实验组 38 12 50
对照组 25 25 50
合计 63 37 100
(1)依据小概率值的独立性检验，分析该小麦品种抗锈病与接受基因编辑处理是否有关联；
(2)用接受基因编辑后小麦抗锈病株数的频率估计基因编辑后单株小麦抗锈病的概率，从接受基因编辑的小麦中随机选取10株，记其中抗锈病的株数为，求的数学期望与方差．
附：，其中．
0.050 0.010 0.001
3.841 6.635 10.828
18．某商场在春节期间举行过关赢奖娱乐活动，活动设有A，B两类关卡，A，B两类关卡每一次闯关成功的概率分别为.活动参与者第一次闯关等可能的选择A，B中的一类关卡，如果闯关成功，则下一次闯关继续选择同类关卡，如果失败则选择另一类关卡，以此类推.规定A类关卡闯关成功一次得20分，B类关卡闯关成功一次得10分，闯关失败均得0分.每名活动参与者有3次闯关机会.
(1)已知活动参与者甲第一次闯关成功，求甲选择的是A类关卡的概率；
(2)若一名活动参与者闯关总得分不低于40分则获得现金奖励1000元，低于40分则根据分数奖励其他实物小礼品.若活动参与者有1000人，求商场支出的现金奖励总金额的期望.
19．已知函数，．
(1)当时，求图象在处的切线方程；
(2)若不等式对恒成立，求实数的取值范围；
(3)若函数有两个不同的零点，求实数的取值范围．
试卷第1页，共3页
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《河南郑州市外国语学校2025-2026学年高二下学期期末数学试卷》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D A B D A D B D CD BCD
题号 11
答案 BC
12．/
13．180
14．
15．【详解】（1）二项式的展开式中，所有项的系数之和为.
，解得.
二项式的展开式通项公式为.
令，得.
所以展开式中的常数项为.
（2）设第项系数绝对值最大，则
，解得，又，.
.
即展开式中系数绝对值最大的项是.
16．
【详解】（1）由题设，且，，，
，
由于，可以推断变量与线性相关且相关程度很强.
（2）因为，
，
所以关于的经验回归方程为，
当2030年对应的年份代码时，，即预测该新能源汽车制造公司2030年的利润为83亿元.
17．
【详解】（1）零假设：小麦抗锈病与接受基因编辑处理无关联．
由列联表的数据，得，
依据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，可以认为该小麦抗锈病与接受基因编辑处理有关联．
（2）由题意，估计经过基因编辑处理的单株小麦抗锈病的概率为，
随机变量的可能取值为0，1，2，…，10，
由题知，所以，
．
18．【详解】（1）设事件表示“第i次选择的是A”事件表示“第i次选择的是B”，
设事件表示“第i次闯关成功” ，
，
，
第一次闯关成功，参与者甲选择的是A类关卡的概率为；
（2）一个参与者得分大于等于40分有两类情形：
第一关选择A成功，第二关继续选择A也成功；
第一关选择B失败，第二关换为A成功，第三关继续选择A也成功.
故 ，
设1000人中获得现金奖励的人数为X，则商场支出的现金奖励Y＝1000X元.
由题知，，
故 ，
所以，
商场支出的现金奖励总金额的期望为96000元.
19．【详解】（1）时，，∴，
，则，即切线的斜率为.
∴图象在处的切线方程为.
（2），即，
∴
由题意，得对恒成立.
令，则.
.
由，得，∴在上单调递增；
由，得，∴在上单调递减.
所以，
故.
（3），令，，，
因是单调函数，故有两个零点，等价于在上有两个零点.
方法1：
①当时，，则在上递减，最多有一个零点，故不满足题意；
②当时，
令可得，即在上单调递增；
令可得，即在上单调递减.
且当时，，则
当时，与一次函数相比，指数函数呈爆炸性增长，故
要使在上有两个零点，则，解得
方法2：在上有两个零点，等价于方程有两个实根，即有两个根
也等价于与图象有两个公共点
，则可得在递增，递减
且，当时，，则
当时，与一次函数相比，指数函数呈爆炸性增长，故
则的大致图象为
故当时，与图象有两个公共点，即有两个零点
答案第1页，共2页
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