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龙岩二中2025～2026学年第二学期高一第一次月考
数 学 试 题
（考试时间：120分钟 满分：150分）
一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求请把答案填涂在答题卡上
1. 设复数满足，则的虚部为（ ）
A. B.
C. D.
2. 设是虚数单位，表示复数的共轭复数.若，则复数在复平面内对应的点位于（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
3. 已知向量，，若与共线，则实数（ ）
A. B.
C. D.
4. 的三角形式是（ ）
A. B.
C. D.
5. 如图所示，中，点是线段的中点，是线段的靠近的三等分点，则（ ）
A. B.
C. D.
6. 设内角，，的对边分别为，，，已知，，，的平分线交边于点，则线段的长度为（ ）
A. B.
C. D.
7. 中，内角，，的对边分别为，，，若且，则的形状是（ ）
A. 有一个角是的等腰三角形
B. 等边三角形
C. 三边均不相等的直角三角形
D. 等腰直角三角形
8. 如图，在中，，，，点在以为圆心且与边相切的圆上，则的最小值为（ ）
A. B.
C. D.
二、多选题：本题共小题，每小题分，共分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求.全部选对的得分，部分选对的得部分分，有选错的得分.
9. 若复数，则（ ）
A. 的实部是
B.
C.
D. 在复平面内对应的点位于第四象限
10. 已知向量，，其中，则下列说法正确的是（ ）
A. 若，则的值为
B. 若，则的值为
C. 若，则与的夹角为锐角
D. 若，则
11. 在锐角中，角，，的对边分别为，，，若的面积为，且，则（ ）
A. B.
C. D.
三、填空题：本题共小题，每小题分，共分
12. 已知，复数，则 。
13. 如图，为了测量某大厦的高，选择地面上一点和另一栋楼的楼顶为测量观测点.从点测得的点的仰角，点的仰角，，从点测得.已知楼高，则大厦的高 。
14. 平面四边形中，，，，则的最大值为 。
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知向量，满足，，且，的夹角为。
（1）求；
（2）若，求实数的值；
16.已知复数，其中。
（1）设，若是纯虚数，求实数的值；
（2）设，分别记复数、在复平面上对应的点为、，求与的夹角的余弦值以及在上的投影向量的坐标。
17. 在中，角，，的对边分别为，，，且。
（1）求；
（2）若为的中点，，，求。
18. 在中，角，，所对的边分别为，，，，，.
（1）求的外接圆半径；
（2）若为锐角三角形，求周长的取值范围.
19. 如图1所示，在中，点在线段上，满足，是线段上的点，且满足，线段与线段交于点.
（1）若，求实数，的值；
（2）若，求实数的值；
（3）如图2，过点的直线与边，分别交于点，，设，（，）；
（ⅰ）求的最大值；
（ⅱ）设的面积为，四边形的面积为，求的取值范围.
《2028届高一下数学第一次月考试卷》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 B C D D A A B C AD AB ACD
8.设为斜边上的高，则圆的半径，，设为斜边的中点，，，则，因为，，
则，
故当时，的最小值为.故选：C.
11.对于A，由正弦定理，得，所以.因为，所以，解得或.因为，所以，，
故A正确；对于B，在锐角中，，则，所以，
故B错误；对于C，.因为，
所以，所以，故C正确；对于D，因为的面积为1，即，
所以，所以，
当且仅当，等式成立，故D正确.故选：ACD.
12.5 13.60 14.4
因为，设，，，且， 在中，
可得
，即
可得，在中，可得，
所以，
当时，即时，取得最大值，所以的最大值为4.
15.解：由向量，，且，的夹角为，可得，则。
解：因为，所以，即，即，可得，解得。
16.（1）由题意，复数，则，因为为纯虚数，所以，，故。
（2）因为，所以，，所以，，故，。设向量，夹角为，所以，在上的投影向量为。
17.（1）由正弦定理得，即，所以，所以。又，得，因为，所以。
（2）解法1：因为，所以。在中，由正弦定理得，即，得。因为为中点，所以。。在中，由余弦定理得，所以。
解法2：因为，所以。在中，由正弦定理得，即，得。因为为中点，所以。
，在中，由正弦定理得，即，得。在中，由余弦定理得
，所以。
18.（1）由可，
故，由于，故由余弦定理得由于，
所以，，解得，所以的外接圆半径为。
（2）由（1）知，，，，由正弦定理有，
，
因为为锐角三角形，所以，解得，所以，
则，所以，则。所以周长的取值范围为。
19.因为，所以，所以，又，且、不共线，所以，
；
【小问2详解】因为、、三点共线，所以存在实数使得，
所以，
因为，即，所以，
又因为，即，又、不共线，
所以，解得，所以。
【小问3详解】（i）根据题意。同理可得：，由
（2） 可知，，
所以，因为，，三点共线，所以，化简得，
又因为，，所以，当且仅当，即
，时等号成立.
（ⅱ）根据题意，，，
所以，
由（i）可知，则，所以，所以，
易知，当时，有最大值，又因为，所以.

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