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福州高级中学学年高二6月适应性考试
数学试卷
试卷总分：150分 完卷时间：120分钟
第I卷（学考模拟测试 满分100分）
一、单选题：本题共有19小题，每小题3分，共57分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的.
1．命题“，”的否定为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
2．已知复数，则 =（ ）
A．1 B．
C．2 D．
3． =（ ）
A．4 B．
C． D．2
4． =（ ）
A． B．
C． D．
5．用斜二测画法画水平放置的，其直观图如图所示，其中 ，则原的周长为（ ）
A． B．
C．10 D．12
6．已知、表示两个不同的平面，是一条直线且，则是的（ ）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
7．已知函数为幂函数，则实数的值为（ ）
A．4或3 B．2或3 C．3 D．2
8．函数的最小正周期为（ ）
A．4
B．
C．8
9．已知，，则 =（ ）
A． B．1
C． D．5
10．砖雕是我国古建筑雕刻中的重要艺术形式，传统砖雕精致细腻、气韵生动、极富书卷气，一扇环形砖雕如图所示.若，，且扇形的弧长为，则该扇环的面积为（ ）
A． B．4
C． D．
11．已知，则的最小值为（ ）
A． B．0
C．4 D．8
12．下列函数中，是奇函数且在区间上单调递增的是（ ）
A． B．
C． D．
13．不等式的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
14．某小组有三名男生和两名女生，从中任选两名去参加比赛，则下列事件是互斥而不对立的事件是（ ）
A．“恰有一名男生”和“全是男生”
B．“至少有一名男生”和“至少有一名女生”
C．“至少有一名男生”和“全是男生”
D．“至少有一名男生”和“全是女生”
15．若，且满足，则下列不等式成立的是（ ）
A． B．
C． D．
16．如图，在正方体中，，分别为棱，的中点．
若，则三棱锥的体积是（ ）
A．72 B．54 C．36 D．18
17．设函数，若在上单调递增，则的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
18．某电子产品的电池健康度随循环次数衰减的函数模型为，其中，为常数，．已知，，则电池健康度从80衰减到60，循环次数大约需要增加（ ）（参考数据：，，）
A．120 B．150 C．170 D．180
19．已知中，角，，所对的边分别为，，，且，若为的中点，边上的中线长为，则面积的最大值为（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题：本题共4小题，每小题4分，共16分.
20. 设向量、满足，，，，则 .
21. 关于的不等式的解集为，则 .
22. 将10个数据按照从小到大的顺序排列如下：，，，，，，，，，，若该组数据的分位数为，则 .
23. 已知，则满足的的取值范围为 .
三、解答题：本题共3小题，共27分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
24. （本小题满分8分）
某校为了增强学生的身体素质，积极开展体育锻炼，并给学生的锻炼情况进行测评打分. 现从中随机选出100名学生的成绩（满分为100分），按分数分为，，，，，，共6组，得到如图所示的频率分布直方图.
（1）求的值，并求这100名学生成绩的平均数和中位数（保留一位小数）；
（2）现采用分层抽样的方式从和的学生中抽取6名学生参加运动交流会，大会上需从这6名学生中随机抽取2名学生进行经验交流发言，求抽取的2名发言者分数差大于10分的概率.
25. （本小题满分9分）
已知函数.
（1）求函数的最小正周期及单调递增区间；
（2）若，求函数的值域.
26．（本小题满分10分）
已知函数．
（1）若，求的取值范围；
（2）若有两个不相等的实根，求的取值范围．
第II卷（综合能力测试 满分50分）
四、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
27. 已知函数，则（ ）
A. 的最小正周期为
B. 的图象关于点中心对称
C. 的零点构成的集合是
D. 在区间上单调递减
28. 一个箱子里有6件产品，其中4件甲类品，2件乙类品。现从中依次不放回取出2件，记第一次取得乙类品为事件，第二次取得乙类品为事件，取出的2件产品中有乙类品为事件，则下列说法正确的是（ ）
A. B.
C. D.
29. 设函数，则（ ）
A. 当时，
B. 若，则
C. 曲线在处的切线与的图象有两个交点
D. 若两个不等的正数，满足，则
五、填空题：本题共1小题，每小题5分，共5分。
30. 已知函数与的定义域均为，，，且，为偶函数，则 。
六、解答题：本题共2小题，共27分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
31. （本小题满分12分）
某研究机构随机调查了某校100名高中生最近一个月每周使用某AI学习工具的平均时间（单位：小时），得到如下频率分布表：
使用时间区间（小时）
频率 0.1 0.2 0.4 0.2 0.1
研究发现，使用时间不同的学生在接下来的数学测试中成绩提升显著（分数提高15分以上）的比例不同，使用时间区间在、、、、的学生中成绩显著提升的比例依次为10%、20%、50%、30%、10%.现用表格中的频率估计概率.
（1）从该校学生中随机抽取一人，设事件表示“学生使用时间区间在[4,6)\)”，事件表示“学生成绩显著提升”，求；
指导方式 个性化深度指导 标准指导 常规指导
提升学习效果值 8分/人 5分/人 4分/人
现学校提供两种指导方案：
方案I：随机选取3名学生，统一提供“标准指导”；
方案II：随机选取3名学生，向使用时间区间在[4,6)\)的学生提供“个性化深度指导”，向其他学生提供“常规指导”.
设每位学生的使用时间区间相互独立.以随机变量表示方案I的总学习效果提升值，表示方案II的总学习效果提升值.以期望学习效果提升值最大化为标准，学校应选择哪种指导方案？请说明理由.
32. （本小题满分15分）
已知函数，，.
（1）求证：函数的图像是轴对称图形；
（2）当时，求函数的最大值；
（3）若函数有两个单调区间，求实数的取值范围.
福州高级中学学年高二6月适应性考试
数学参考答案
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 27 28 29
B C D B D A B D C A B D D A C C B B C BC BCD AD
1．【答案】B根据特称命题的否定为全称命题知：命题“，”的否定为“，”
2．【答案】C．
3．【答案】D．
4．【答案】B．
5.【答案】D由直观图画出原图的图像，如图所示：，，所以，所以原的周长为：．
6．【答案】A【解析】由平面与平面垂直的判定定理知，为平面内的一条直线，如果，则，故充分性成立；反过来为平面内的一条直线，由可能有或或与相交（不垂直）三种情况，故必要性不成立．所以“”是“”的充分非必要条件．
7．【答案】B因为为幂函数，所以，解得或，
8．【答案】D函数的最小正周期为．
9．【答案】C因为，，所以，所以，
10．【答案】A，弧长为，，又，扇环的面积为，
11．【答案】B因为，所以，所以，当且仅当，即时，等号成立，故的最小值为0．
12．【答案】D选项A，的定义域为，不关于原点对称，不具备奇偶性，错误；选项B，，满足，是偶函数不是奇函数，错误；选项C，，满足，是奇函数，但它在上单调递减，不符合要求，错误；选项D，，满足，是奇函数；且由幂函数单调性可知，在上单调递增，正确．
13．【答案】D由不等式可化为，由，所以的解集为空集，
14．【答案】A对于A，“恰有一名男生”和“全是男生”不能同时发生，但可以同时不发生，A是；对于B，“至少有一名男生”和“至少有一名女生”可以同时发生，即一名男生和一名女生的事件，A不是；对于C，“至少有一名男生”和“全是男生”可以同时发生，全是男生的事件，C不是；对于D，“至少有一名男生”和“全是女生”不能同时发生，但必有一个发生，D不是．
15.【答案】C【解析】当时，，A选项错误；当，时，，，，B选项错误；且，，C选项正确；当时，，D选项正确.
16.【答案】C正方体中，棱长为6，故，又三棱锥的高为6，故.
17. 【答案】B因为在上单调递增，且，可得，即，解得，
18.【答案】B由，得，解得，由，得，解得，所以，当循环为次时电池健康度为60，
可得，所以，两边取对数得，
所以，所以，解得，电池健康度从80衰减到60，循环次数大约需要增加.
19. 【答案】C由及余弦定理得，由两边平方得：
即，整理得：
，解得，当且仅当时取等号，又因为，所以三角形面积最大值为.
20. 【答案】.
21.【答案】0由于不等式的解集为，所以，解得，，所以.
22.【答案】21因为，所以分位数是第4、5个数据的平均数，所以，解得.】
23. 【答案】画出和的函数图
由图可知：的解集为.
24.（1），解得， 平均数为，中位数为 分；
(2)在，60)中抽取人，记为，；在，80)中抽取人，记为，，，．所有的取法为：，，，，，，，，，，，，，，共15种．，，，，，，，，满足条件的有共8种．所求概率为．
25.（1）的最小正周期，令，，解得，，故单调递增区为，；
（2），，故，，故函数值域为
26.（1）由可得，所以，即，解得．
（2）因为有两个不相等的实根，即有两个不相等的实根，，即，设，即与有两个不同的交点，其中当时，单调递减，当时，单调递增，其中，当时，，结合图像可知．
27.【答案】BC对A，因为，所以不能恒成立，所以不是的最小正周期，错误；
对B，因为，所以的图象关于点中心对称，正确；
对C，．
令得或（舍去），解得，即的零点构成的集合为
，正确；对D，因为，，所以，所以在区间上不单调递减，错误.
28.【答案】BCD选项A，，，二者相等A错误；选项B，左边：右边：，，不等式成立B正确；选项C，条件概率公式：，发生则一定发生，故；同理，，，又，所以二者条件概率相等C正确；选项D，事件就是（至少一次抽到乙类），根据概率加法公式：，代入验证：，D正确.
29. 【答案】AD由题意得，，对于A，当时，，所以在上单调递增，又，所以，故A正确；对于B，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，且，，，因为，所以，所以，所以解集为，且，故B错误；对于C，易得曲线在处的切线方程为，联立与可得，即，得，故切线与的图象只有一个交点，故C错误；对于D，因为在上单调递增，且，不妨设，则，则，又，且在上单调递增，所以，所以，即，故D正确.综上，选AD.
30.【答案】248①因为是偶函数，所以，用替换，得，条件化为②，所以，①+②得，在②中用替换，得③，则①-③得，则，，在①中令，可得，所以.在中令，得，又，所以，再由知.所以.
31.【小问1详解】由题可知，，，所以，由全概率公式可得：，所以.
【小问2详解】对于方案Ⅰ，总提升值为确定值，故。方案Ⅱ下抽取的3名学生中使用时间在区间的人数为，由题可知，服从二项分布，即，所以。又因为，所以，因为，所以根据期望学习效果提升值最大化的标准，学校应选方案Ⅱ。
32.【小问1详解】由题意：，所以函数是偶函数， 所以函数关于轴对称，函数的图像是轴对称图形。
【小问2详解】当时，，由于是偶函数，所以只需考虑在区间上的最大值，又，，
设，则，在区间上单调递减，当时，，所以在单调递减，由是偶函数，所以在单调递增，所以\（ 。
【小问3详解】类似（2）可知：\（ ，
当时，，所以在区间单调递减，当时，，所以在单调递减，由是偶函数，所以在有四个不同的单调区间，不满足题意，综上所述，实数的取值范围是。

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