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2025～2026学年第二学期6月质量检测
高一数学
（试卷满分：150分，考试时间：120分钟）
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；回答非选择题时，用0.5mm的黑色字迹签字笔将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3.考试结束后，请将答题卡上交。
4.本卷主要命题范围：湘教版必修第一册第6章，必修第二册第1章～第4章4.3。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.某市市场监管局为了了解饮料的质量，从该市区某超市在售的50种饮料中抽取了30种饮料，对其质量进行了检查.在这个问题中，30是
A. 总体 B. 个体
C. 样本量 D. 样本
2.已知向量，，若，则
A. B.
C. D.2
3.若空间中三条不同的直线，，满足，，则直线与
A. 可能平行 B. 一定相交
C. 一定是异面直线 D. 一定垂直
4.已知，，则
A. B.
C. D.
5.下列四个命题中正确的是
A. 所有棱长都相等的直四棱柱是正方体
B. 正三棱锥的每个面都是正三角形
C. 以直角三角形的一边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆锥
D. 以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆柱
6. 如图，在矩形 中， 为线段 的中点，则
A. B.
C. D.
7. 如图，一个平面图形的直观图是等腰梯形 ，，该直观图的高为 ，则原平面图形的周长为
A. B.
C. D.
8. 在 中，三角形三条边上的高之比为 ，则 为
A. 钝角三角形 B. 直角三角形 C. 锐角三角形 D. 等腰三角形
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9. 已知复数 ，则下列说法正确的有
A. 复数 的实部为
B.
C. 复数 的共轭复数为
D. 若 为实数，则
10. 若直线 平面 ，且直线 不平行于平面 ，给出下列结论正确的是
A. 内的所有直线与 异面
B. 内存在直线与 相交
C. 内存在唯一的直线与 平行
D. 内不存在与 平行的直线
11. 在 中，内角 ，， 的对边分别为 ，，，下列说法正确的是
A. 若 ，则
B.
C. 若 ，则 是锐角三角形
D. 若 ，则 是钝角三角形
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12. 在复平面内，复数 对应的点为 ，则 。
13. 光明中学举办以“喜迎二十大、争做新青年、永远跟党走、奋进新征程”为主题的演讲比赛，其中8人比赛的成绩为：85，86，88，89，90，92，94，98（单位：分），则这8人成绩的第50百分位数和第80百分位数的和为 ____。
14. 若 ，则 。
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.
15.（本小题满分13分）
已知向量，，.
（1）求；
（2）设向量，的夹角为，求的值.
16.（本小题满分15分）
对某校高三年级学生参加社区服务的次数进行统计，随机抽取名学生，得到这名学生参加社区服务的次数，根据此数据作出如下频率分布表和频率分布直方图.
分组 频数 频率
10 0.20
24
2 0.04
合计 1
（1）求出表中，及图中的值；
（2）若该校有高三学生300人，试估计该校高三学生参加社区服务的次数在区间内的人数；
（3）估计该校高三学生参加社区服务次数的众数、中位数及平均数.（保留一位小数）
17.（本小题满分15分）
已知 ，，且 ，。
（1）求 的值；
（2）求 的值。
18.（本小题满分17分）
如图，在直三棱柱 中，，。
（1）求证：；
（2）求 与平面 所成的角的大小。
19.（本小题满分17分）
如图，在 中，， 为边 上一点，且 ，。
（1）若 。
（i）求 ；
（ii）求 的面积；
（2）若 ，求 的取值范围。
2025～2026学年第二学期6月质量检测·高一数学
参考答案、提示及评分细则
1.C总体：我们把与所研究问题有关的全体对象称为总体；个体：把组成总体的每个对象称为个体；样本：从总体中，抽取的一部分个体组成了一个样本；样本量：样本中个体的个数叫样本量，其不带单位；在售的50种饮料中抽取了30种饮料，对其质量进行了检查，在这个问题中，50种饮料是总体，每一种饮料是个体，30种饮料是样本，30是样本量。故选C。
2.C ，，，，故选C。
3.D因为，，所以，故选D。
4.B ，，则，
，可得，。
5.D对于A，底面是菱形的直四棱柱，其侧棱长与底面边长相等时，该四棱柱的所有棱长都相等，但不是正方体，可得A错误；
对于B，正三棱锥的底面为正三角形，侧面不一定都是正三角形，只需是等腰三角形，且能保证顶点在底面内的投影在底面正三角形的中心即可，可知B错误；
对于C，以斜边为旋转轴形成的几何体不是圆锥，可得C错误；
对于D，以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆柱，即D正确，故选D。
6.C因为在矩形ABCD中，E为AB的中点，
所以，故选C。
7.A过点作于点D，故，因为，所以，，同理过点作于点E，可得，所以，所以原平面图形OABC如图所示，其中，，，，故原平面图形的周长为，故选A。
8.A三条边上的高之比为，根据等面积法，三条边之比为，不可能为等腰三角形。根据大边对大角，设最大角为，则，为钝角三角形。
9.ACD ，则实部为3，共轭复数为，当z为实数时，，故选ACD。
10.BD 直线，且直线a与平面不平行，。所以直线a与平面内的直线要么异面，要么相交。
11.ABD对于A，在中，，则，A正确；
对于B，，B正确；
对于C，由，得，则A是锐角，显然B，C是否都是锐角无法确定，C错误；
对于D，由，得，则A是钝角，是钝角三角形，D正确。故选ABD。
12. 因为复数z对应的点为，所以，所以。
13. 因为，所以从小到大排列后第50百分位数为第4个数和第5个数的平均数。
89.5，%.4，第80百分位数为第7个数94，所以89..5
14.
15. 解：（1）由，可得，，
即，，， \dotfill 4分
，； \dotfill 6分
（2）因，，， \dotfill 9分
则. \dotfill 13分
16. 解：（1）由分组对应的频数是10，频率是0.20，知，所以， \dotfill 2分
所以，解得， \dotfill 4分
所以，； \dotfill 6分
（2）估计该校高三学生参加社区服务的次数在区间内的人数为； \dotfill 9分
（3）估计该校高三学生参加社区服务次数的众数是. \dotfill 10分
因为，所以估计该校高三学生参加社区服务次数的中位数满足，
\dotfill 12分
解得，所以该校高三学生参加社区服务次数的中位数约为18.1， \dotfill 13分
由,
所以估计该校高三学生参加社区服务次数的平均数是18.3. \dotfill 15分
17. 解：（1）因为，所以，又，所以
， \dotfill 3分
所以，所以，
\dotfill 7分
所以； \dotfill 9分
（2）因为，，所以，又，所以，
\dotfill 11分
所以. \dotfill 15分
18.（1）证明：连接与相交于点，如图所示，
在直棱柱中，平面，平面，
, \dotfill 2分
又，，，平面，
所以，平面，
又平面，， \dotfill 4分
，四边形为菱形，即，
又，且，平面，
平面，又平面，

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