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6月高一年级测试
数学（一）
考试说明：1. 本试卷共150分。考试时间120分钟。
2. 请将各题答案填在答题卡上。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 如图，在直四棱柱 中，直线 与 的位置关系是
A. 异面 B. 相交 C. 平行 D. 以上都有可能
2. 已知 ，则
A.40 B.
C. D.
3. 如图，在平行四边形 中， 为靠近点 的三等分点，则
A. B.
C. D.
4. 在 中，内角 ，， 的对边分别为 ，，，且 ，则
A.
B.
C.
D.
5. 如图，在长方体 中，，，则异面直线 和 所成角的大小是
A. B.
C. D.
6. 如图，在三棱锥 中，， 分别是棱 ， 的中点，则 与平面 的位置关系为
A. 相交 B. 平行 C. 异面 D. 无法判断
7. 如图，已知平面 平面 ，点 在平面 和平面 之间，且 ，，，若 ，则
A. B.
C. D.
8. 如图，在四棱锥 中，底面 是矩形，， 分别在棱 ， 上，且 ， 平面 ，则
A. B.
C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9. 已知复数 ，，则
A.
B. 在复平面内 对应的点在第四象限
C.
D.
10. 已知 ， 是两条不同的直线，， 是两个不同的平面，则下列命题正确的是
A. 若 ，，，则
B. 若 ，，，则
C. 若 ，，，则
D. 若 ，，，则
11. 如图，在四棱锥 中，，， 分别是 ，， 的中点， 且 ，则下列说法正确的是
A. 平面
B. 平面
C. 平面 与平面 的交线记为 ，则直线
D. 三棱锥 的体积为 ，三棱锥 的体积为 ，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12. 已知平面向量 ，，若 ，则 。
13. 在 中，，，，则 的面积为 。
14. 如图，在三棱锥 中，等边三角形 的边长为2， 平面 ，且 ，则直线 与平面 所成角的余弦值为 。
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.（本小题满分13分）
已知复数 ，。
（1）求 ；
（2）求 ；
（3）若 ，求 。
16.（本小题满分15分）
如图，正方体 中，， 分别是 ， 的中点。
（1）求证： 平面 ；
（2）若 ，求三棱锥 的体积。
17.（本小题满分15分）
记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知。
（1）求C；
(2)若，，点M满足，求CM的长。
18.（本小题满分17分）
如图，四棱锥M－ABCD的底面ABCD为菱形，平面ABCD，，。
（1）证明：平面MBD平面MAC；
（2）求二面角M－BD－A的正切值。
19.（本小题满分17分）
如图，在四边形ABCD中，是正三角形，M，N分别是AC，AD的中点，，。
（1）当时，求四边形ABCD的面积；
（2）记。
①试用θ表示；
②求BN的最大值。
6月高一年级测试
数学（一）参考答案
1.【答案】A
由题知与异面.故选A.
2.【答案】C
.故选C.
3.【答案】D
因为为靠近点的三等分点，所以，所以.故选D.
4.【答案】C
由已知及正弦定理得，因为，所以，所以，又，所以或.故选C.
5.【答案】A
因为，所以是异面直线和所成角或其补角，所以在中，，所以，即异面直线和所成角的大小是.故选A.
6.【答案】B
因为，分别是棱，的中点，所以，因为平面，平面，所以平面.故选B.
7.【答案】B
因为平面平面，平面平面，平面平面，所以，同理可得，，所以.因为，所以，所以，所以.故选B.
8.【答案】C
如图，连接，与交于点，连接，交于点，
连接，因为平面，平面，平面平面，所以，由于是的中点，所以.
过点作，交于点，则，因为，
所以，所以，即.故选C.
9.【答案】BCD
由题意得，A错误；在复平面内对应的点为，在第四象限，B正确；
，C正确；，D正
确.故选BCD.
10.【答案】AB
因为，，所以，又因为，所以，A正确；
因为，所以存在平面，使得，且，所以，又因为，，所以，
又，所以，所以，B正确；
因为，，，所以或或与相交，C错误；
因为，，所以，又，则，D错误.故选AB.
11.【答案】BC
由题知，相交，故A错误；如图，连接，因为，分别
是，的中点，所以，，又因为且
所以且，所以四边形是平行四边形，所以，
因为平面，平面，所以平面，故B正确；因
为，因为平面，平面，所以平面，因为平面，
平面平面，所以，故C正确；因为，分别是，的中点，所以，
，所以，所以，故D错误.故选BC.
12.【答案】
因为，所以，即，解得.
13.【答案】6
由余弦定理得，解得，
故.
14.【答案】
如图，取的中点，连接，.因为是等边三角形，所以.因为平面，平面，所以.又因为，所以平面，所以是与平面所成的角.因为是等边三角形，，为的中点，所以，.因为平面，，所以，，所以，即直线与平面所成角的余弦值为.
15. 解：(1)，分
.分
(2).分
(3)因为，分
所以.分
16.（1）证明：如图，连接，，则既是的中点，也是的中点.
因为是的中点，所以.分
因为平面，平面，
所以平面.分(没有“平面”扣2分)
(2)正方体的棱长为2，到平面的距离为，分
，分
所以.分
17.解：(1)由正弦定理及已知得，分
即，.分
因为，所 以，解得.分
又因为，所以.分
(2)因为，所以，分
即，分
所以，
分
所以CM的长为2.分
18.(1)证明：因为四边形ABCD为菱形，所以，分
因为平面ABCD，平面ABCD，所以，分
因为，所以平面MAC，分(没有“”扣1分)
因为平面MBD，所以平面MBD \perp平面MAC.分
（2）解：如图，设AC与BD交于点O，连接MO.
由（1）知平面MAC，因为平面MAC，平面MAC，
所以，，分
所以是二面角的平面角.分
因为，四边形ABCD为菱形，，所以为等边三角形，所以，
所以，即二面角的正切值为2.分
19. 解：（1）在中，由余弦定理得
，
所以.分
因为是正三角形，所以，分
又，分
因此。分
（2）①在中，由余弦定理得，
分
因为是的中点，为正三角形，所以是边上的高，所以，
因此。分
②因为点，分别是，的中点，故，且，
在中，由正弦定理得，解得，分
，分
在中，由余弦定理得，
分
因为，，故，
所以当，即时，的最大值为，代入得，
。分(没有验取等号的条件扣1分)

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