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2025～2026学年第二学期6月质量检测
高二数学
（试卷满分：150分，考试时间：120分钟）
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；回答非选择题时，用0.5mm的黑色字迹签字笔将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3.考试结束后，请将答题卡上交。
4.本卷主要命题范围：湘教版选择性必修第二册。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.函数在区间上的平均变化率为
A. B.
C. D.
2.已知平面的一个法向量为，直线的一个方向向量为，若，则
A. B.
C. D.
3.已知函数，则的值为
A. B.
C. D.
4.把一枚硬币连续抛两次，记“第一次出现正面”为事件，“第二次出现反面”为事件，则
A. B.
C. D.
5.一个盒子里装有相同大小的白球、黑球共20个，其中黑球6个，现从盒中随机的抽取5个球，则概率为的事件是
A. 没有白球
B. 至多有2个黑球
C. 至少有2个白球
D. 至少有2个黑球
6. 色差和色度是衡量毛绒玩具质量优劣的重要指标，现抽检一批产品测得数据列于表中. 已知该产品的色度 和色差 之间满足线性相关关系，且 ，现有一对测量数据为 ，若该数据的残差为 ，则
色差 21 23 25 27
色度 15 18 19 20
A.23.4 B.23.6 C.23.8 D.24.0
7. 如图，在三棱锥 中， 为 的中点，，则
A. B.
C. D.
8. 已知函数 有极值点，则实数 的取值范围为
A. B.
C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知随机变量 满足 ，，则下列选项正确的是
A. B.
C. D.
10. 已知空间向量 ，，，且 ，则下列说法正确的是
A. B.
C. D. ，
11. 已知函数 ，则
A. 有两个零点
B. 有两个极值点
C. 恒成立
D. 恒成立
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 为了比较 、、、 四组数据的线性相关性强弱，某同学分别计算了 、、、 四组数据的线性相关系数，求得数值依次为 ，，，，则这四组数据中线性相关性最强的是 组数据.
13. 已知在空间直角坐标系 中，点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，点 与点 关于 轴对称，则 .
14. 设 ， 是一个随机试验中的两个事件，且 ，，，则 .
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.
15.（本小题满分13分）
为了了解大学生是否关注原创音乐剧与性别有关，某大学学生会随机抽取1000名大学生进行统计，得到如下列联表：
男大学生 女大学生 合计
关注原创音乐剧 250 300 550
不关注原创音乐剧 250 200 450
合计 500 500 1000
（1）从关注原创音乐剧的550名大学生中任选1人，求这人是女大学生的概率.
(2)试根据小概率值α.005的独立性检验，能否认为是否关注原创音乐剧与性别有关联？
说明你的理由.
附：，其中.
α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
16.（本小题满分15分）
已知函数.
（1）若在处取得极值，求的单调区间；
（2）若在区间上单调递增，求的取值范围.
17.（本小题满分15分）
如图，在四棱锥中，四边形是菱形，，，。点是棱的中点。
（1）证明：；
（2）求平面与平面所成角的余弦值。
18.（本小题满分17分）
已知函数。
（1）讨论函数的单调区间；
（2）证明：。
19.（本小题满分17分）
W企业D的产品正常生产时，产品尺寸服从正态分布，从当前生产线上随机抽取400件产品进行检测，产品尺寸汇总如下表：
产品尺寸/mm
件数 8 54 54 160 72 40 12
根据产品质量标准和生产线的实际情况，产品尺寸在以外视为小概率事件。一旦小概率事件发生视为生产线出现异常，产品尺寸在以内为正品，以外为次品。，，。
（1）判断生产线是否正常工作，并说明理由；
（2）用频率表示概率，若再随机从生产线上取3件产品复检，正品检测费20元/件，次品检测费30元/件，记这3件产品检测费为随机变量，求的数学期望及方差。
2025～2026学年第二学期6月质量检测·高二数学
参考答案、提示及评分细则
1.C由平均变化率定义得.故选C.
2.B因为，所以，所以，解得.故选B.
3.D ，.故选D.
4.A方法一：，故选A.
方法二：A包括的基本事件为{正，正}、{正，反}，AB包括的基本事件为{正，反}，，故选A.
5.B 表示任取5个球中，有1个黑球和有2个黑球和没有黑球的概率，即至多有2个黑球的概率.故选B.
6.A由题意可知，，，将代入，即，解得，所以，当时，，则.故选A.
7.C因为G为AB的中点，所以，因为，所以，故选C.
8.D由，若函数有极值点，一元二次方程必有2个不相等的正根，又由，，必有，可得.故选D.
9.AD ，.故选AD.
10.ABD ，，，，故A正确；
，，设，，故B正确；
，，故C错误；
，，故D正确.故选ABD.
11.BC ，，当且仅当时取等号，故A错误，C正确；
，，在上，，为减函数，在上，，为增函数，又，，，有2个零点，B正确，D错误.故选BC.
12. 根据题意，因为线性相关系数的绝对值越大，线性相关性越强，由、、、四组数据的线性相关系数分别为，，，，所以组数据的线性相关性最强.
13. 点的坐标为，.
14. 因为，，，所以，，又，所以，解得.
15. 解：（1）从关注原创音乐剧的名大学生中任选人，这人是女大学生的概率为. 分
（2）零假设为：是否关注原创音乐剧与性别无关联.
根据列表中的数据，经计算得到， 分
当时,, 分
根据小概率值的独立性检验，推断不成立， 分
即认为是否关注原创音乐剧与性别有关联. 分
16. 解：（1）由题意知， 分
因为在处取得极值，所以， 分
解得. 分
当时，，
当时，，当时，，当时，，
所以的单调增区间为，单调减区间为； 分
（2）若在区间上单调递增，则在上恒成立，
则在上恒成立，即. 分
令，，所以，
令，解得，所以当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，所以，
分
所以，即，即的取值范围是。 ………………………………………… 15分
17.（1） 证明：连接。在菱形中，，，所以。
在中，，，所以，所以。
在中，，，，所以，所以。
又，，平面，所以平面。 ………………………………………… 3分
又平面，所以； …………………………………………………………………… 5分
因为四边形是菱形，所以。又，，平面，所以平面。又平面，所以； …… 7分
（2） 解：记，以为坐标原点，，，所在的直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，如图所示。
则，，，，。
所以，。 …………………………………………………… 9分
设平面的一个法向量为。
则 即 令，解得，，
所以平面的一个法向量为。 …………………………………………………… 11分
因为是的中点，所以，所以，
又。设平面的一个法向量为。
则 即 令，解得，，
所以平面的一个法向量为。 …………………………………………………… 14分
所以，，即平面与平面所成角的余弦值为。 ……………………………… 15分
18.（1） 解：的定义域是，， …………………………………………………… 2分
当时，在时恒成立，在上单调递增； ……………………………… 4分
当时，令，得，令，得， ………………………………………… 6分
在上单调递增，在上单调递减， ……………………………………………… 7分
综上所述，当时，在上单调递增；
当时，在上单调递增，在上单调递减； ………………………………………… 8分
（2）证明：当时，，由（1）可知在上单调递增，在上单调递减，
，即，， 12分
再设，，
在上恒成立，所以在上单调递增，
，，综上可得. 17分
19.解：（1）依题意，有，， 2分
所以正常产品尺寸范围为. 4分
生产线正常工作，次品不能多于（件），
而实际上，超出正常范围以外的零件数为20，故生产线没有正常工作； 7分
（2）依题意尺寸在以外的就是次品，故次品率为. 8分
记这3件产品中次品件数为，则服从二项分布， 10分
, 12分
则，， 14分
所以的数学期望是（元）， 16分
方差是. 17分

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