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6月高二年级测试
数学
考试说明：1. 本试卷共150分。考试时间120分钟。
2. 请将各题答案填在答题卡上。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 对四组数据进行统计，获得如下散点图，将四组数据相应的相关系数进行比较，正确的是
A. B.
C. D.
2. 若的展开式的各项的二项式系数和为32，则展开式中的系数为
A. B.
C.40 D. -40
3. 已知随机变量服从正态分布，且，则 =
A.0.21 B.0.22 C.0.28 D.0.32
4. 由数字0，1，2，3，4可以组成没有重复数字，并且比30000大的偶数有
A.12种 B.18种 C.30种 D.48种
5.3月12日是我国的植树节，这一天，小明参加了学校组织的植树活动，种植了A，B两种树苗各10棵，A种树苗的成活率为0.9，B种树苗的成活率为0.8，记A，B两种树苗最终成活的棵数分别为，，则 =
A.15 B.16 C.17 D.18
6. 已知，，，则为
A. B.
C. D.
7. 暑假马上要到了，小明要去张家口坝上旅游，帽子和墨镜每天至少戴一件，他每天戴帽子的概率为，戴墨镜的概率为，每天穿戴的情况独立，记表示他在3天的游玩时间中只戴墨镜的天数，则 =
A. B.
C. D.
8. 甲、乙两人进行羽毛球比赛，现采用三局两胜比赛制度，规定每局比赛都没有平局（必须分出胜负），且每一局甲赢的概率都是，随机变量表示最终的比赛局数，则的最大值为
A. B.
C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9. 下列说法正确的是
A. 在一元线性回归方程中，若线性相关系数越大，则两个变量的线性相关性越强
B. 回归分析中常用残差平方和来刻画拟合效果好坏，残差平方和越小，拟合效果越好
C. 已知变量，线性相关，由样本数据算得经验回归方程为，且由样本数据得，，则
D. 根据分类变量与的成对样本数据，计算得到，根据小概率值的独立性检验（），可判断与有关联，此推断犯错误的概率不大于
10. 盒中有6个玩具球，其中有2个是红色的，其余均是蓝色的，现从盒中随机地抽取3个球，则下列事件的概率是的是
A. 恰有1个球是红色的 B.3个球全是蓝色的
C. 恰有2个球是红色的 D. 至多有2个球是蓝色的
11. 高二（2）班小明等五名同学报名参加学校组织的数学、物理、化学、生物四个科目的竞赛，每人都要报名且限报其中一项. 记事件“恰有三名同学报了同一个科目，其他科目报名人数不超过1人”，事件“只有小明同学一人报化学竞赛科目”，则
A. 五名同学的报名情况共有种
B. “每个科目都有人报名”的报名情况共有240种
C. “五名同学最终只报了两个科目”的概率是
D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12. 已知随机变量，若，，则 .
13. 某个游戏中，一个珠子按如图所示的通道，由上至下滑下，从最下面的六个出口出来，规定猜中者为胜，如果你在该游戏中，猜得珠子从出口5出来，那么你取胜的概率为 .
14. 已知能够被15整除，其中，则 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.（本小题满分13分）
代驾服务在中国已从一个新兴的细分市场发展成为覆盖3.4亿用户、年订单量突破10亿的庞大产业. 某用户只在某市的D网、Z网两个代驾平台选择代驾，根据历史数据，选择D网的概率为0.8，选择Z网的概率为0.2，D网代驾准时到达率为0.9，Z网代驾准时到达率为0.85. 已知该用户每次选择的代驾准时到达与否相互独立.
（1）求该用户选择代驾准时到达的概率；
（2）在该用户的次选择代驾中，记准时到达的次数为，若的方差大于0.97，求的最小值.
16.（本小题满分15分）
DeepSeek是专注通用人工智能的中国公司，致力于大模型研发应用. 其开源推理模型DeepSeek—R1性能出色，在多任务上比肩OpenAI—O1正式版，且可免费商用. 在测试DeepSeek—R1时，如果输入的问题没有语法错误，则DeepSeek—R1的回答被采纳的概率为，当出现语法错误时，DeepSeek—R1的回答被采纳的概率为.
（1）在某次测试中输入了6个问题，DeepSeek—R1的回答有4个被采纳. 现从这6个问题中抽取3个，以表示抽取的问题中回答被采纳的问题个数，求的数学期望；
（2）已知输入的问题出现语法错误的概率为，求DeepSeek—R1的回答被采纳的概率.
17.（本小题满分15分）
宁夏枸杞是中国国家地理标志产品. 某枸杞厂2026年之前只生产食用枸杞，下表为年投入资金（万元）与年收益（万元）的8组数据：
10 20 30 40 50 60 70 80
13.5 15.8 18.5 20 22 23 24 24.2
（1）用模拟生产食用枸杞年收益与年投入资金的关系，求出回归方程；
（2）该企业又自主研发出一种药用枸杞片，预计其收益为投入的5%.2026年该企业计划共投入300万元用于生产两种枸杞产品，求年总收益的最大值.
附：①回归直线中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：
，
②
161 29 20400 109 603
③ ，
18.（本小题满分17分）
为倡导合作学习、共同发展的理念，某中学高二（1）班举办了以小组为单位的诗词竞赛抢答赛，答题规则是：每组选出一名选手作答，若选手没有把握答对，则在规定时间内寻求同组成员帮助作答，同组成员答对即为选手答对。已知甲选手每道题自己有把握独立答对的概率为，同组成员每道题能答对的概率为，假设每道题答对与否互不影响。
（1）求甲答对每道题的概率；
（2）已知乙选手答对每道题的概率为（含同组成员帮助作答的情况），现甲、乙两人各答两个问题，若甲选手答对题目的个数比乙选手答对题目的个数多的概率不低于，求甲的同组成员每道题答对的概率的最小值。
19.（本小题满分17分）
某工厂生产某款电池，在满电状态下能够持续放电时间不低于10小时的为合格品，工程师选择某台生产电池的机器进行参数调试，在调试前后，分别在其产品中随机抽取样本数据进行统计，制作了如下的列联表（单位：件）：
产品 合格 不合格 合计
调试前 80 60 140
调试后 40 20 60
合计 120 80 200
（1）根据表中数据，依据小概率值的独立性检验，判断能否认为参数调试与产品质量有关联；
（2）现从调试后的样本中按合格和不合格，用按比例分配的分层随机抽样法抽取6件产品重新做参数调试，再从这6件产品中随机抽取2件作对比分析，记抽取的2件中不合格的件数为，求的分布列和数学期望；
（3）用样本分布的频率估计总体分布的概率，若现在随机抽取调试后的产品1000件，记其中合格的件数为，求使事件“”的概率最大时的取值。
参考公式及数据：，其中。
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
高二数学
参考答案
1.A由给出的四组数据的散点图可以看出，
图1和图3是负相关，相关系数小于0，图2和图4是正相关，相关系数大于0，
图1和图2的点相对更加集中，所以相关性更强，所以接近于1，接近于，
由此可得．故选A.
2.C因为展开式的各项的二项式系数和为32，所以，解得，
则展开式的通项公式为，
令，得展开式中的系数为．故选C.
3.B根据题意可得．故选B.
4.C若最高位是4，则个位可以是0或2，其他位任意排列，共有种，
若最高位是3，则个位可以是0或2或4，其他位任意排列，共有种，
所以比30000大的偶数共有种．故选C.
5.C服从二项分布，.
同理，，所以. 故选C.
6.D由题意得，
解得. 故选D.
7.C记事件A为“小明戴墨镜”，记事件B为“小明戴帽子”，则，，
因为帽子和墨镜每天至少戴一件，所以，即
，因为，所以，所以
. 故选C.
8.D随机变量X的可能取值为2，3.
，
，
故，
由，故当时，最大，最大值为.故选D.
9.BD对于A，经验回归方程中，线性相关系数的绝对值越接近1，两个变量的线性相关性越强，A错误；
对于B，回归分析中常用残差平方和来刻画拟合效果好坏，残差平方和越小，拟合效果越好，B正确；
对于C，因为经验回归方程必过样本中心点，所以，解得，故C错误；
对于D，由，可判断X与Y有关联，此推断犯错误的概率不大于0.05，D正确.故选BD.
10.BC计算各选项概率如下：
选项A（恰有1个球是红色的）：；
选项B（3个球全是蓝色的）：；
选项C（恰有2个球是红色的）：；
选项D（至多有2个球是蓝色的）：.故选BC.
11.ABD对于A，由题意可知，小明等五名同学每人有4种选择，故五名同学的报名情况共有种，A正确；
对于B，将五名同学分为2，1，1，1四组，共有种情况，再将其分到四个竞赛中，共有种，由分步乘法计数原理得到种，故“每个科目都有人报名”的报名情况共有240种，B正确；
对于C，五名同学最终只报了两个科目有种，“五名同学最终只报了两个科目”的概率是，C错误；
对于D，，，故，D正确.故选ABD.
12.64因为随机变量，且，，
则
13. 由题意，从最顶端到出口5总共有种走法，其中每一岔口走法的概率都是，所以珠子从出口5出来的概率为.
14.14因为
，所以
，
因为是75的整数倍，
所以能够被15整除，
要使能够被15整除，只需要能够被15整除即可.
因为，所以.
15. 解：（1）令事件，，.
依题意，，，，，…………………4分
由全概率公式得，
所以该用户选择代驾准时送达的概率为0.89.…………………………6分
（2）依题意，，…………………………8分
则.…………………………10分
由X的方差大于0.97，得，
解得，所以N的最小值为10.…………………13分
16. 解：（1）易知X的所有可能取值为1，2，3，…………………………2分
则，，，…………………5分
所以X的分布列为：
X 1 2 3
P
………………………………………………………………………7分
所以E(X)=1×15+2×35+3×15=2， 9分
（2）记“输入的问题出现语法错误”为事件，则，……11分
记“D”的回答被采纳”为事件，则，，………13分
所以P(B)=P(A )P(B|A )+P(A)P(B|A)=1720×34+320×12=5780\)。 15分
17. 解：（1）由题意得
，
4分
所以a^=y -b^·lnx =1618-5×298=2，， 6分
所以回归方程为y^=5lnx+2。 8分
（2）2026年设该企业投入食用枸杞生产万元，预计总收益为万元。
w=5lnx+2+(300-x)·120\)，0 x 300， 10分
令，得，
令w'<0，得100所以其在(0,100)上递增，在(100,300)上递减， 13分
所以，
故年总收益的最大值约为35万元。 15分
18. 解：（1）记事件为“甲答对每道题”，则........8分
（2）记，由题意得，，.......12分
解得m 23， 14分
即p+12 23，解得p 13，故p的最小值为13。 17分
19. 解：（1）零假设为：假设依据小概率值的独立性检验，认为参数调试与产品
质量无关联。 2分
根据列联表中的数据，计算得到，
4分
故依据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断零假设不成立，
因此可认为H0成立，即认为参数调试与产品质量无关联 5分
（2）依题意，用按比例分配的分层随机抽样法抽取的6件产品中，
合格产品有6×4060=4件，不合格产品有2件 6分
X的所有可能取值为0，1，2， 7分
则P(X=0)=C20C42C62=25，P(X=1)=C21C41C62=815，P(X=2)=C22C40C62=115， 10分
故的分布列为：
0 1 2
则E(X)=0×25+1×815+2×115=23 11分
（3）依题意，随机抽取调试后的产品的合格率为，故，.......12分
则P(Y=k)=C1000k(23)k(13)1000-k，k=0，1， ，1000 13分
由P(Y=k+1)P(Y=k)=C1000k+123k+113999-kC1000k23k131000-k=1000-kk+1×2=2000-2kk+1， 14分
故由2000-2kk+1>1可得k<66613 15分
因为，故当时，.
由2000-2kk+1<1可得k>66613， 16分
即当时，，
故当事件“Y=k”的概率最大时，k=667 17分

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