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高一数学测评
注意事项：
1. 答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。
2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4. 本试卷主要考试内容：人教A版必修第二册第六、七章占30%，第八章占70%。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 八棱台共有
A.8条棱 B.16条棱 C.20条棱 D.24条棱
2. 复数在复平面内对应的点位于
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
3. 下列判断错误的是
A. 经过两条相交直线，有且只有一个平面
B. 经过两条平行直线，有且只有一个平面
C. 垂直同一个平面的两条不同的直线一定平行
D. 垂直同一个平面的两个不同的平面一定平行
4. 在中，点D在边AC上，，记，，则
A. B.
C. D.
5. 在中，，，，其中。以AB边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体记为几何体，以BC边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体记为几何体，则几何体与的体积的比值的取值范围是
A. B.
C. D.
6. 如图，在平面四边形ABCD中，，，，将沿AC边翻折，使点B到达点的位置，且平面平面，则的长度为
A.2 B.
C. D.
7. 已知正方体 的棱长为3， 为棱 上更靠近 的三等分点，则平面 截该正方体的截面的面积为
A. B.
C. D.
8. 在四面体 中， 平面 ，，，，， 为平面 内一点，且 ，则 与平面 所成角的正切值为
A. B.
C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9. 若 ，则
A.
B.
C. 的虚部为5
D. 为纯虚数
10. 如图，用斜二测画法得到四边形 的直观图是平行四边形 ，且 ，，则
A.
B.
C.
D. 四边形 是矩形
11. 已知正方形 的边长为2， 平面 ， 平面 ，， 在平面 的同一侧，且 ，则
A. 点 不在四棱锥 外接球的球面上
B. 四棱锥 内切球的表面积为
C. 四棱锥 与四棱锥 公共部分的体积为
D. 几何体 的五个面所在平面将空间分成21个部分
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12. 已知某圆台的母线长为13，上、下底面圆的直径分别为2，12，则该圆台的高为 。
13. 在正四棱柱 中， 为棱 的中点，则异面直线 与 所成角的余弦值为 。
14. 定义：多面体顶点的曲率等于 与该顶点处多面体面角之和的差（面角采用弧度制计量）。例如：正方体每个顶点均有3个面角，每个面角均为 ，则其各个顶点的曲率均为 。在三棱锥 中， 底面 ，，，，，则三棱锥 在顶点 处的曲率为 。
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(13分)
如图，正方形 是圆柱的一个轴截面， 是下底面圆周上异于 ， 的点.
(1)证明:.
（2）若该圆柱的表面积为 ，以正方形 为一个底面作正四棱台 ，该正四棱台的高为3，且 ，求该正四棱台的体积.
16.(15分)
已知向量 ，.
（1）当 时，证明：，.
（2）当 时，证明： 为定值.
（3）当 时，若 与 的夹角为锐角，求 的取值范围.
17.(15分)
在 中，，，， 平分 ，且 交 于点 .
（1）求 的长；
（2）若 为 边上一点，且 ，求 的周长.
18.(17分)
如图，在四棱锥 中，底面 是菱形，，，，且 。
（1）证明：平面 。
（2）求 与平面 所成角的大小。
（3）设球 为三棱锥 的外接球， 为球 球面上的动点，求线段 的长度的最大值。
19.(17分)
在正三棱柱 中，，点 在线段 上，且 ， 是棱 的中点。
（1）证明：平面 。
（2）证明：平面 平面 。
（3）设二面角 的大小为 ，证明：。
高一数学测评参考答案
1.D八棱台共有 条棱.
2.A因为 ，所以复数 在复平面内对应的点位于第一象限.
3.D ，， 均正确.垂直同一个平面的两个平面可能平行，也可能相交，故D错误.
4.D .
5.B设几何体 与 的体积分别为 ，，则 ，因为 ，所以 ，故 的取值范围是 .
6.C取 的中点 ，连接 ，（图略）.依题意可得 ，，.因为平面 平面 ，平面 平面 ，，所以 平面 .又 平面 ，所以 ，则 .
7.A如图，取棱 上更靠近 的三等分点 ，连接 ，.易证 ，，所以平面 截正方体的截面为平行四边形 .易证 ，则该平行四边形为矩形.因为 ，，所以该截面的面积为 .
8.B在 中，.依题意可得 为 外接圆的圆心.设该外接圆的半径为 ，则 ，则 .因为 平面 ，所以 与平面 所成的角为 ，而 ，故 与平面 所成角的正切值为 .
9.ACD因为 ，所以 ，所以 ，， 的虚部为 ， 为纯虚数.
10.BC因为 ，，，所以 ，.在平面直角坐标系上作出四边形 ，如图所示，则 ，，则 ，四边形 显然不是矩形，， 均错误， 正确.由 ，，
），得，C正确.
11.BCD将四棱锥补成一个正方体（图略），则四棱锥的外接球为该正方体的外接球，因为点是该正方体的一个顶点，所以点在四棱锥外接球的球面上，A错误.
四棱锥的体积，侧面积，表面积，则四棱锥内切球的半径，则该内切球的表面积为，B正确.
连接，易证，，则四边形和四边形均为平行四边形，设，，则，分别为，的中点，设，的中点分别为，，连接，，，，则四棱锥和四棱锥的公共部分为几何体，其体积为四棱锥和三棱柱的体积之和，即，C正确.
因为几何体为三棱柱，所以它的五个面所在平面将空间分成个部分，D正确.
12.12设上、下底面圆的半径分别为，，圆台的高为，则，，所以.
13. 取棱的中点，连接，，.易证，则，则为异面直线与所成的角（或其补角）.依题意可得底面为正方形，设，则，，所以，故异面直线与所成角的余弦值为.
14. 因为底面，所以，.因为，，，所以，，则.因为，
，所以，则. 故三棱锥在顶
点处的曲率为.
15.（1）证明：连接. 1分
由题意知，是圆柱的母线，则平面. 2分
因为平面，所以. 3分
又是底面圆的直径，所以. ........4分
因为，所以平面. ......5分
又平面，所以. ......6分
（2）解：设，则该圆柱的表面积为， ......8分
解得，则. 9分
故该正四棱台的体积为. ......13分
16.（1）证明：当时，若，则， 2分
解得， ......3分
故，. 4分
（2）证明：当时，， 7分
则为定值. ......8分
（3）解：当时，，.......9分
因为与的夹角为锐角，所以且与不共线，......11分
则，且， 13分
解得. 15分
17. 解：（1）由，得， ......2分
因为，所以. ......3分
由等面积法得. 5分
因为，平分，所以，......6分
则. ......8分
（2）因为，，所以. ......10分
由余弦定理得 ，
13分
则 DE=2217， 14分
故△ADE的周长为 1027+3+2217=102+221+217。 15分
18.(1)证明：因为底面ABCD为菱形，，所以为等边三角形，
则 AC=AB=2。 1分
因为 PA2+AC2=(3)2+22=7=PC2，所以 PA⊥AC。 2分
同理可得 PA⊥AB。 3分
又因为 AC∩AB=A，所以 PA⊥平面ABCD。 4分
（2）解：（方法一）取CD的中点E，连接AE，PE。由（1）知，，
则 AE⊥CD，且 AE=3。 5分
又 平面ABCD，平面ABCD，所以 。......6分
因为 AE∩PA=A，所以 CD⊥平面PAE。 7分
因为 CD 平面PCD，所以平面 PCD⊥平面PAE。 8分
所以直线PA在平面PCD上的射影为直线PE，则 为PA
与平面PCD所成的角。 9分
又 PA⊥平面ABCD，AE 平面ABCD，所以 PA⊥AE。 10分
因为 ，所以 ，即PA与平面PCD所成角的大小为 。......11分
（方法二）因为 PA⊥平面ABCD，AD 平面ABCD，所以 PA⊥AD， 5分
则 PD=PA2+AD2=7=PC。取CD的中点E，连接PE，则 PE⊥CD， 6分
则 PE=PC2-CE2=6，所以 S PCD=12CD·PE=6。 7分
设点A到平面PCD的距离为d，则由 ，得 ，得
d=62。 9分
设PA与平面PCD所成的角为 θ，则 sinθ=dPA=22， 10分
所以 θ=π4，即PA与平面PCD所成角的大小为 π4。 11分
(3)解：设 ，依题意可知G为的外心，且 ，.......
12分
则 OG⊥平面ACD。 13分
又 平面 ，所以 。因为 ，所以 ， 14分
则球 的半径 。 15分
因为 ， 16分
所以线段 的长度的最大值为 。 17分
19.略

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