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河南开封市学年高一下学期期末考试数学试题
学校： 姓名： 考号： 班级：
一、单选题
1. 中国古代科举制度始于隋而成于唐，兴盛于明、清两朝.明代会试分南卷、北卷、中卷，按的比例录取，若某年会试录取人数为，则北卷录取人数为（ ）
A. B.
C. D.
2. 若，则（ ）
A. B.
C. D.
3. 已知向量，，且，则实数（ ）
A. B.
C. D.
4. 在中，若，则（ ）
A. B.
C. D.
5. 已知样本数据，，，，的平均数为，方差为，则，，，，的平均数为（ ）
A. B.
C. D.
6. 如图，一个平面图形的直观图是等腰梯形，，该直观图的高为，则原平面图形的周长为（ ）
A. B.
C. D.
7. 如图，在中，，，为上一点，且满足，若，，则的值为（ ）
A. B.
C. D.
8. 已知正四棱锥的外接球O的表面积为，点P在底面ABCD的射影为O'，当取最大值时，正四棱锥的体积为（ ）
A.
B. 或
C. 或
D.
二、多选题
9. 为了解某地20000名学生的高三模拟考试数学成绩，从中抽取了200名学生的数学成绩进行调查分析，下列说法正确的有（ ）
A.20000名学生的数学成绩是总体 B.200名学生是样本
C. 每名学生是个体 D. 样本容量是200
10. 下列说法中正确的是（ ）
A. 在中，，，°，则的面积为
B. 已知向量，，则
C. 在中，若，则是等腰三角形
D. 已知向量，，与的夹角为钝角，则x的取值范围是
11. 如图，在正方体中，M是线段上的一点，则下列说法正确的是（ ）
A.
B. 平面
C. 异面直线与所成的角的取值范围是
D. 二面角的正弦值为
三、填空题
12. 光明中学举办演讲比赛，其中8人比赛的成绩为：85，86，88，89，90，92，94，98（单位：分），则这8人成绩的第60百分位数和第70百分位数的和为 。
13. 如图，在正三棱柱中，，，则直线与直线所成角的正切值为 。
14. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，若S为的面积，则的最大值为 。
四、解答题
15. 已知复数（）。
（1） 若复数z在复平面内对应的点在第四象限，求实数m的取值范围；
（2） 若z为正实数，是关于x的实系数一元二次方程的一个根，求的值。
16. 如图，在四棱锥中，平面平面ABCD，四边形ABCD是梯形，，，，E是棱PC上的一点，且。
（1） 求证：平面BDE；
（2） 若是锐角三角形，且，求证：平面PBC。
17. 对某高校学生参加“走进敬老院送温暖”的活动次数进行统计，随机抽取N名学生，得到这N名学生参加此活动的次数，根据此数据作出如下频率分布表和频率分布直方图。
分组 频数 频率
10 0.20
24 n
14 0.28
m p
合计 N 1
（1）求出表中N，p及图中a的值：
(2)若该校有学生3000人，试估计该校学生参加此活动的次数在区间，20)内的人数；
（3）估计该校学生参加此活动次数的众数、中位数及平均数.（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表，所有结果保留一位小数）
18. 如图，在正三棱柱中，D，E分别是和的中点.
（1）证明：平面平面；
（2）若，平面与平面ABC的锐二面角的余弦值为，求该三棱柱的体积.
19. 在中，设A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知，且三角形外接圆半径为.
（1） 求C的大小；
（2） 若的面积为，求 的值；
（3） 设的外接圆圆心为O，且满足，求m的值.
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 B C D A B A C B AD AC ABD
1.B
由题意，会试南卷、北卷、中卷的录取比例为11：7：2，
因此北卷录取人数占总录取人数的比例为，
已知该年会试录取总人数为300，故北卷录取人数为．
2.C
原式，
，， 则()+().
3.D
已知，，故，
根据两非零向量垂直的充要条件可得：，
则 ()，整理得，解得．
4.A
由正弦定理，，
不妨设，，，
则由余弦定理，，
因为，所以°．
5.B
∵样本数据，，，，的平均数为4， ∴．
又∵ 该样本的方差为2，根据方差公式可得，
将平方项展开得，
将代入上式：，
化简计算得，
∴ 数据，，，，的平均数为.
6.A
过点作于点D，故，因为，所以，，同理过点作于点E，可得，所以，所以原平面图形OABC如图所示，其中，，，，故原平面图形的周长为，故选：A.
7.C
因为，所以，
所以，
因为C，P，D三点共线，所以，即，
所以，又，
所以
故选：C
8.B
设正四棱锥外接球的半径为R，则有，所以.
因为为点P在平面ABCD上的投影，则有平面ABCD.
因为P是正四棱锥，则点O一定在直线上.
如图1所示，连接OA，因为，所以.
设，则，所以.
则.
当且仅当，即时等号成立，即，.
当点O在正四棱锥的内部时，即点O在线段上时，正四棱锥的高为
.
则正四棱锥的体积.
当点O在正四棱锥的外部时，如图2所示，即点O在线段的延长线上时，正四棱锥的高为
.
则正四棱锥的体积.
则正四棱锥的体积.
9.AD
总体是指所要考察的对象的全体，本题考察对象为学生的高三模拟考试数学成绩，因此20000名学生的数学成绩是总体，A选项正确，
又因为样本是从总体中抽取的一部分用于考察的个体，
因此本题的样本为抽取的200名学生的数学成绩，而非200名学生本身，B选项错误，
个体是总体中的每一个考察对象，因此本题的个体为每名学生的数学成绩，而非每名学生本身，C选项错误，
样本容量是样本中所包含的个体的数目，无单位，本题抽取了200名学生的数学成绩，因此样本容量为200，D选项正确.
10.AC
，，，，故A正确；
，，，，故B错误；
记BC的中点为D，由于，
因此中线AD垂直于BC，所以，是等腰三角形，故C正确；
a与b的夹角为钝角，
\therefore \vec{a}\cdot\vec{b}=2x - 1\lt 0\Rightarrow x\lt \frac{1}{2}\)且\(x\neq - 2,\therefore x\in(-\infty,-2)\cup\left(-2,\frac{1}{2}\right)\)，故D错误.
故选：AC.
11.ABD
如图，以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，
为z轴，建立空间直角坐标系，且设正方体边长为2，
故D（0，0，0），D （0，0，2），A（2，0，2），M（x，2，z），C（0，2，0），A（2，0
所以，，
对于A，B（2，2，0），C （0，2，2）， 故，
，因为，共线，
所以 ()，故，
故2x，而，
所以，故A正确，
对于B， 而， 化简得，
故，，
而，，
设面ACD 的法向量为， 可得，
所以，令，解得，，
故， 则，
可得A 平面ACD ，故B正确，
对于C， ，，
设异面直线A M与AD 所成的角为，
所以，
当时，，
而时，令，
因为，可得
故得到故错误，
对于，已知面的法向量为，
设面的法向量，所以
故令，解得，，
故，设二面角为，
故， 而，
而，解得，故正确．
故选：
12.
，所以第百分位数是．
，所以第百分位数是．
所以第百分位数和第百分位数的和为．
13. ，
在正三棱柱中，连接交于点，取的中点，连接，
显然是的中点，则，是与所成的角或其补角，
在中，，，，
，，
所以直线与直线所成角的正切值为。
故答案为：
14. /
由题设及正弦定理边角关系，，
即，而，故，
又，则，故，
而，
所以，当且仅当时等号成立，
故的最大值为。
故答案为：。
15.(1)
(2)19
（1）若复数z在复平面内对应的点在第四象限，
则，解 得(2)由于z为正实数，所以，解 得，所 以，
而z-是 方 程的一个根，
所以3也是方程的一个根，
所以，即，，
所 以．
16.（1）连 接AC，交BD于 点F，连 接EF，如 图 所 示 ．
因为A，所 以，所 以，
又PE，所 以，所以，
又EF 平 面BDE，PA 平 面BDE，所以 平 面BDE；
(2)在中，过点P作DC的垂线，垂足为O，如图所示．
因为平面平面ABCD，平 面 平 面，
PO⊥DC ， 平 面PDC，所 以，
又BC 平 面ABCD，所 以，又，，PO， 平 面PDC，
所以B平面PDC，
又DE 平 面PDC，所 以，
又DE，，PB， 平 面PBC，所 以．
17.(1)，.04，.008
(2)1440
（3）众数是17.5， 中位数的为18.1， 平均数是18.3
(1) 由分组，15)对应的频数是10， 频率是0.20， 可知，所以，
所以1， 解得，
所以，；
(2)估计该校学生参加此活动的次数在区间，20)内的人数为人：
（3）估计该校学生参加此活动次数的众数是.
因为，
所以估计该校学生参加此活动次数的中位数x满足，
解得x.125 ，所以该校学生参加此活动次数的中位数的为18.1，
由12.........3，
所以估计该校学生参加此活动次数的平均数是18.3.
18.（（1）证明：连接A C，则与 相交于E，
由于三棱柱为正三棱柱，
故，为等边三角形，
故，，
结合E是A C与的中点，所以，，
又AC与相交于E，且，平面，
故平面，
平面，故平面平面，
（2） 延长与CB的延长线交于点F，连接AF，
则平面与平面ABC相交于直线AF，
由于D是BB 的中点，故，即B是CF的中点，
因此，故，
又CC 平面ABC，AFC平面ABC，
故，
，，平面，
故AF 平面ACC A ， AC 平面ACC A ，
故，又 ，因此为平面与平面ABC所成的角，
，，故，
因此，
故三棱柱的体积为
19.(1)π；(2) ；(3) .
(1)因为，由正弦定理可得
sin(),
因为B、(0，π)，则，，故；
，可得，则 ，
，
，
，
因为
所以，，
因此，；
（3） 取AC的中点D，则，如下图所示：
，同理可得
，
设的外接圆半径为，
因为，故，
即，即，
则有，
整理可得。

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