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高一数学
注意事项：
1. 答题前，务必将自己的个人信息填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 若复数满足，则的虚部为
A. B.
C. D.
2. 已知，，是同一平面内不同的三点，且，若，则
A. B.
C. D.
3. 已知一组数据，，，，，的极差为，则
A. 的最小值为
B. 的最小值为
C. 的最大值为
D. 的最大值为
4. 在正四面体中，，，分别为，，的中点，则异面直线与所成角的余弦值为
A. B.
C. D.
5. 已知两个随机事件，相互独立，，则
A. B.
C. D.
6. 在中，内角，，的对边分别为，，。若，，则边上的中线长度的取值范围是
A. B.
C. D.
7. 已知球与正四棱锥的四条侧棱和底面均相切，若，则球的表面积为
A. B.
C. D.
8. 已知是所在平面内一点，且，，的面积满足，则
A. B.
C. D.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9. 已知向量，，则下列说法正确的是
A.
B. 若，则
C. 若，则
D. 若，则
10. 已知，为异面直线，，为两个不同的平面，且，，则下列说法正确的是
A. 对于任意一点，都存在过点的平面与，都平行
B. 对于任意一点，都存在过点的直线与，都垂直
C. 若，，则
D. 若，则
11. 在长方体中，底面为正方形，，，，分别为棱，的中点，设过点，，的平面为，，则
A.
B. 截长方体所得截面为五边形
C. 截长方体所得截面的周长不超过12
D. 与平面所成的锐二面角的正切值为5
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12. 某新能源科技公司研发团队共有36名成员，其中女性成员12人。现按比例采用分层随机抽样的方法抽取6人参加国际清洁能源峰会，则被选中的男性成员人数为 。
13. 已知复数满足，则的最小值为 。
14. 若对任意的，都有，则称是完美集合。从集合的所有非空子集中任选1个，该集合不是完美集合的概率是 。
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.（13分）
如图，是圆的直径，垂直于圆所在的平面，是圆周上一点，且，。
（1）求证：；
（2）求点到平面的距离。
16.（15分）
在一个不透明的袋子中装有6个小球，其中有3个红球（分别标有数字1，2，3），2个黄球（分别标有数字1，2），1个白球（标有数字1）。现从袋中随机一次性摸出3个小球，记事件“3个小球的颜色均不相同”，“取出的小球上的数字分别为1，2，3”，“取出的3个小球上的数字之和大于5”。
（1）求；
（2）判断事件，是否相互独立，并说明理由。
17.(15分)
某市组织数学建模大赛，从参加比赛的800名学生中随机抽取100名学生的成绩进行样本分析(满分为150分，按照，100)，，110)，…，，分成六组)，并绘制成如图所示的频率分布直方图，其中 .
（1）求图中 的值，并估计样本数据的众数；（同一组数据用该组区间的中点值作代表）
（2）根据成绩，准备给成绩较高的15%的学生颁发一等奖，估计获得一等奖学生的最低分；
(3)若落在，110)中的样本数据的平均数是105，方差是5，落在，120)中的样本数据的平均数是117，方差是2，求落在，120)中的样本数据的平均数 和方差 .
18.(17分)
在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 .
(1)求C.
（2） .
(ⅰ)若的周长为 ，角C的平分线交AB于点D，求CD的长；
(ⅱ)若为锐角三角形， ，求CE的取值范围.
19.(17分)
如图，在四棱锥中，底面ABCD为梯形， ， ， ，为等边三角形， ， ， .
（1）求直线PC与平面ABCD所成角的正弦值.
（2）若M为棱AP上一点，且 平面PCD，
（ⅰ）试确定点M的位置；
（ⅱ）求平面PCD与平面PAB所成锐二面角的正弦值.
高一数学·答案
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.
1.A 2.D 3.C 4.B 5.C 6.C7.A 8.D
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 每小题全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.ABC 10.BC 11.ABD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.4 13.2 14.
四、解答题：本题共5小题，共77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. （1）因为点C在底面圆周上，AB是圆O的直径，
所以，即， ………………………………………………………………………… （2分）
因为PA垂直于圆O所在的平面，所以， ……………………………………………………………………… （3分）
又，所以平面PAC， ………………………………………………………………………… （4分）
又平面PAC，所以. ………………………………………………………………………………… （5分）
（2）方法一：如图，过点A作，交PC于点H，
由（1）知平面PAC，所以，
又，所以平面PBC，则AH的长度即是点A到平面PBC的距离. …………………… （7分）
在中，， ……………………………………………………………… （9分）
由，即，
解得，即点A到平面PBC的距离为. ……………………………………………………………… （13分）
方法二：由题可得 PC=PA2+AC2=82+62=10 （6分）
设点到平面的距离为，
由题意知VP-ABC=VA-PBC，即13S ABC×PA=13S PBC×h， （9分）
即，解得，
即点A到平面PBC的距离为245 (13分)
16. 不妨记标有数字，，的个红球分别为，，，标有数字，的个黄球分别为，，标有数字的个白球为，
则一次性摸出3个小球的情形有(R1,R2,R3)，(R1,R2,Y1)，(R1,R2,Y2)，(R1,R2,W1)，(R1,R3,Y1)，(R1,R3,Y2)，(R1,R3,W1)，(R1,Y1,Y2)，(R1,Y1,W1)，(R1,Y2,W1)，(R2,R3,Y1)，(R2,R3,Y2)，(R2,R3,W1)，(R2,Y1,Y2)，(R2,Y1,W1)，(R2,Y2,W1)，(R3,Y1,Y2)，(R3,Y1,W1)，(R3,Y2,W1)，(Y1,Y2,W1)，即样本空间Ω包含的基本事件共有20个 （3分）
（1）事件包含的基本事件有，，，，，，，共有个，
所以P(C)=720 (6分)
（2）事件A包含的基本事件有(R1,Y1,W1)，(R1,Y2,W1)，(R2,Y1,W1)，(R2,Y2,W1)，(R3,Y1,W1)，(R3,Y2,W1)，共有6个，所以P(A)=620=310 （9分）
事件B包含的基本事件有(R1,R2,R3)，(R1,R3,Y2)，(R2,R3,Y1)，(R2,R3,Y2)，(R2,R3,W1)，(R3,Y1,Y2)，(R3,Y2,W1)，共有6个，所以P(B)=620=310， （11分）
事件A∩B包含的基本事件为(R3,Y2,W1)，则P(A∩B)=P(AB)=120， （13分）
而P(A)·P(B)=310×310=9100, (14分)
所以P(AB)≠P(A)·P(B),故事件A，B不相互独立 (15分)
17. （1）依题意可知，，
又a=2b,解得a=0.020 (3分)
估计样本数据的众数为125 (4分)
（2）由（1）可知，即成绩落在中的频率为，
成绩落在中的频率为，
则获得一等奖学生的最低分应落在[130,140)中 （7分）
设获得一等奖学生的最低分为，则有，
解得，即估计获得一等奖学生的最低分约为138分. …………………………………………（10分）
（3）， ……………………………………………………（12分）
. ……………………………………………………（15分）
18. （1），即，………………………………………………（1分）
由正弦定理可得，
又，
所以， …………………………………………………………………………（3分）
因为，所以，
所以，即，
又，所以. …………………………………………………………………………（5分）
（2）（ⅰ）因为，的周长为，所以，
由余弦定理可得，即，
即，得， …………………………………………………………………………（7分）
所以的面积为，………………………………………………（8分）
则，
所以. …………………………………………………………………………（10分）
（ⅱ）因为，所以是的中点，所以，
则，
又，所以，………………………………………………（12分）
由正弦定理可得，
所以，，
所以
. ………………………………………………………………（14分）
因为△ABC为锐角三角形，所以 解得
所以，所以
所以，所以，则CE的取值范围是. ……………………………………………（17分）
9. （1）因为CD⊥AD，CD⊥AP，AD∩AP=A，
所以CD⊥平面PAD，…………………………………………………………………………………………（2分）
又CD 平面ABCD，所以平面ABCD⊥平面PAD. ………………………………………………………………（3分）
如图1，取AD的中点E，连接PE，CE，则PE⊥AD，
又平面ABCD∩平面PAD=AD，所以PE⊥平面ABCD，
所以∠PCE即为直线PC与平面ABCD所成的角，…………………………………………………………………（5分）
因为BC，AD，CD，
所以，，，
则，
即直线PC与平面ABCD所成角的正弦值为. ………………………………………………………………（7分）
（2）（ⅰ）M为棱AP上靠近点P的一个三等分点.
证明：如图2，过点M作MN∥AD交PD于点N，连接CN，
因为BC∥AD，所以MN∥BC，
又BM∥平面PCD，所以BM∥CN，
所以四边形BCNM为平行四边形，MN=BC，
故M为棱AP上靠近点P的一个三等分点时满足题意 （10分）
（ⅱ）如图2，过点作交于点，连接，
则，，，
又平面，平面，所以平面，
同理可证平面，
又BO∩MO=O,所以平面BOM∥平面PCD (12分)
过点作于点，过点作交于点，连接，
由（1）知平面，因为，所以平面，
又平面，所以，
又，，所以平面，
又平面，所以，
又，，所以平面，所以，
则∠AGH即为平面BOM与平面BAM所成锐二面角的平面角， （15分）
在中，，，则，则，
在中，，所以，
在中，，
在中，，
即平面PCD与平面PAB所成锐二面角的正弦值为427 （17分）

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