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河南商水一高学年高一下学期期末考试数学试题
一、单选题
1. 已知i是虚数单位，则复数的虚部为（ ）
A.1 B.
C. D.
2. 下列说法正确的是（ ）
A. 向量与向量是相等向量.
B. 向量的模是一个正实数.
C. 与实数类似，对于向量，有，，三种关系.
D. 若两个向量是共线向量，则这两个向量所在的直线平行或重合.
3. 如图，下边长方体中由上边的平面图形围成的是
4. 已知一组数据为20，30，40，50，50，60，70，80，其平均数、第60百分位数和众数的大小关系是（ ）
A. 平均数>第60百分位数>众数
B. 平均数<第60百分位数<众数
C. 第60百分位数<众数<平均数
D. 平均数=第60百分位数=众数
5. 已知甲、乙两名同学在高一的6次数学周测的成绩统计如图，则下列说法不正确的是（ ）
A. 甲的中位数高于乙的中位数
B. 若甲、乙两组数据的平均数分别为，，则
C. 甲成绩的极差大于乙成绩的极差
D. 甲成绩比乙成绩稳定
6. 某校课外活动兴趣小组设计一控制模块，电路如右图所示，当且仅当电子元件，至少有一个正常工作，且电子元件正常工作，控制模块才能正常工作。已知电子元件，，正常工作的概率分别为，，，则该控制模块能正常工作的概率为（ ）
A. B.
C. D.
7. 已知长方体，，，，则异面直线与所成角的余弦值为
A. B.
C. D.
8. 不透明口袋中装有编号为，，的三个小球，小球除编号外完全相同。现从中有放回的抽取次小球（每次取一个），记取出的个球的最小编号为的概率为（ ）
A. B.
C. D.
二、多选题
9. 已知向量，，则下列结论中正确的是（ ）
A.
B. 与可以作为所在平面的一组基底
C. ，
D.
10. 若，，，则（ ）
A. 事件与不互斥
B. 事件与对立
C. 事件与互相独立
D.
11. 如图所示，在棱长为的正方体中，为的中点，直线交平面于点，则下列结论正确的是（ ）
A. ，，三点共线
B. 平面
C. 直线与平面所成的角为
D. 到平面的距离为
三、填空题
12. 在复平面内，是原点，向量对应的复数是，若点关于虚轴的对称点为点，则点对应的复数是 。
13. 小明为了解自己每天花在体育锻炼上的时间（单位：），连续记录了6天数据：132，，128，，136，126，若该样本的中位数和平均数均为131，则该样本的标准差是 。
14. 已知圆柱的轴截面是周长为24的矩形，其上下底面的圆都在同一球面上，当圆柱的侧面积最大时，该球的体积为 。
四、解答题
15. 已知复数。
（1） 若复数是实数，求实数的值。
（2） 若在复平面内，复数表示的点在第四象限，求实数的取值范围。
16. 如图，圆锥的侧面展开图是半径为2的半圆，，为底面圆的两条直径，为的中点。
（1）求证：平面
（2）求圆锥的表面积。
17. 已知的周长为，且。
（1）求边的长；
（2）若的面积为，求角的度数。
18. 周口市举行“高一年级π节数学竞赛”，竞赛分为初赛和决赛两个阶段，为了解初赛情况，现从某中学高一年级随机抽取了200名学生，记录他们的初赛成绩，将数据按照，，，，分成5组，制成了如图所示的频率分布直方图。
（1）求频率分布直方图中的值，并估计高一年级初赛成绩的众数和平均成绩（同一组中的数据用该组区间的中点值代替）。
（2）按照分层抽样从和两组中随机抽取了5名学生，现从已抽取的5名学生中随机抽取2名，求至少有1名学生的成绩在内的概率。
19. 如图所示，四棱锥的底面是边长为1的菱形，，是的中点，底面，。
（1）证明：平面平面；
（2）求点到平面的距离；
（3）求平面和平面所成锐二面角的余弦值。
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 B D D D C C B C BD ACD ABC
12．
由题设可得点对应坐标，据此可得对应复数．
由题设可得对应坐标为，则，从而对应复数为．
13．
利用中位数与平均数的概念先确定，，再根据方差与标准差的算法计算即可．
由题意可知，所以，
将已知数据排序有，，，，
该组数据的中位数为第个和第个数据的平均数，
所以第个和第个数据的和为，不妨设．
则第个和第个数据应为，，则，，经验证符合题意，
则该组数据的方差为
，所
以标准差为．
故答案为：
14．
根据条件，利用基本不等式，得到圆柱底面半径和高，进而求出外接球的半径，再
利用球的体积公式，即可求解．
设圆柱底面半径为，高为，则轴截面周长为，即，
侧面积，
当，即，时等号成立，此时侧面积最大，
设圆柱外接球的半径为，又外接球直径等于轴截面对角线长，
所以，得到，
所以球的体积．
15．（1）或
（2）
解得或；所以实数的值为或；
（2）因为复数表示的点在第四象限，
所以，即，
解得或，
所以实数的取值范围为．
16．（1）证明见解析；（2）．
解： （1）连结，
∵，分别为，的中点，
∴，
又∵平面，平面，
∴平面；
（2）记底面圆的半径为，侧面展开图扇形的半径为，且，
则，
得，又侧面展开图为半圆，
，
，
17.(1)
（2）
（1） 解：由正弦定理知，
，
，
的周长为，
，
。
（2） 解：的面积，
，
由（1）知，，，
由余弦定理知，
，
。
18.（1），众数为85，平均成绩为77.5
（2）
，解得.
由频率分布直方图可知初赛成绩的众数为，
估计初赛成绩的平均数为：，
所以，众数为85，平均成绩为77.5.
（2）由（1）知，成绩在，的频率之比为，
则在中随机抽取了人，记为，，
在中随机抽取了人，记为，，，
从5人中随机抽取2人的样本空间为：
，共10个样本点，
设事件“有1名或2名学生的成绩在内”，
则，有7个样本点，
因此，
所以有1名或2名学生的成绩在内的概率为.
19.
（1）证明：连接，由四边形是边长为1的菱形，，
可知是正三角形.因为是的中点，所以，
又，所以
因为底面，平面，所以.
又平面，平面，， 所以 平面，
又平面，所以平面平面.
（2）因为 底面 ， 平面 ，所以 。
又 ，，所以 \( >\>。
因为正三角形 中，， 是 的中点，所以 \( >\\sqrt{3}}{2}>。
因为 平面 ， 平面 ，所以 ，
所以 (这里原公式可能输入有误，按照原始书写呈现的话是？还是原书写的？不过严格按图中，图中写的是吗？不，图中写的是？不对，图中实际是？或者图中是？哦，图中写的是？不，仔细看，图中是？不对，用户提供的图中，这一步的公式是？哦，用户给的图里，这里写的是？不，用户提供的图中，这行是？不对，重新看用户的图： 图中这行是：？不，用户的图里，这里的BE是吗？不，前面BE的计算是？不对，前面写的是“因为正三角形BCD中，，E是CD的中点，所以。”然后？哦，对，所以按照图中，这里的公式是？不，用户的图里，这行写的是？不对，用户的图中，这行的BE是吗？不，前面BE的计算是，所以，所以正确的LaTeX应该是？ 然后继续：
因为 ， 底面 ，
设点 到平面 的距离为 ，
所以 ，
而 (这里DE是CD的一半，，所以)
所以 ，即点 到平面 的距离为 。
（3）延长 、，交于点 ，连 ，则 为平面 和平面 的（这里图中可能漏了，按图中“的”后面可能还有，不过按图中）
取 中点 ，连 ，过 作 ，垂足为 ，连 。
由四边形 是边长为1的菱形，，
可知是正三角形，因为 是 的中点，所以 。
因为 底面 ， 平面 ，所以 。
又 平面 ， 平面 ，，
所以 平面 ，又 平面 ，所以 ，
又 ， 平面 ， 平面 ，，
所以 平面 ，而 平面 ，所以 ，
则 为二面角 的一个平面角。
因为 平面 ， 平面 ，所以 。
因为菱形 中，，， 为 的中点，
在 中，，，，，
所以 ，，又 ，
所以 中，，，
即平面 和平面 所成锐二面角的余弦值为 。
.

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