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2025—2026学年度下学期2025级
6月月考数学试卷
考试时间：2026年6月18日
一、选择题：本题共\（8 \）小题，每小题\（5 \）分，共\（40 \）分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．复数（是虚数单位）在复平面上所对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．已知，为两条不同的直线，，为两个不同的平面，下列命题为真命题的是（ ）
A．若，，，，则
B．若，，则
C．若，，，则
D．若，，，则
3．已知函数在上单调递增，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
4．不等式的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
5．已知，为锐角，，，则（ ）
A．
B．
C．
D．或
6．设，是平面内两个不共线的向量，，，，，若，，三点共线，则的最小值是（ ）
A． B．
C． D．
7．如图，三棱锥中，，为等腰直角三角形，斜边，为的中点，则直线，所成角的余弦值为（ ）
A． B．
C． D．
8．在中，，，则的面积的最大值为（ ）
A． B．
C． D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．设为复数，则下列结论中正确的是（ ）
A．
B．复数与分别表示向量与，则表示向量的复数为
C．若为虚数，则也为虚数
D．若复数满足，则复数对应的点所构成的图形面积为
10．满足，且，则（ ）
A．三个内角、、满足关系
B．的周长为
C．若的角平分线与交于，则的长为
D．设为外接圆上任意一点，则的最大值为
11．如图；正方体的棱长为2，是侧面上的一个动点（含边界）；点在上；则下列结论正确的有（ ）
A．若；沿正方体的表面从点到点的最短距离为
B．若，三棱锥的外接球表面积为
C．若；，则点的运动轨迹长度为
D．若；平面被正方体截得截面面积为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．若圆台的上下底面半径分别为1和4，侧面积为，则圆台的体积为 ．
13. 已知函数 ，若方程 有4个根 ，，，，且 ，则实数 的取值范围是 ， 的取值范围是 。
14. 已知正的顶点在平面内，点，均在平面外（位于平面的同侧），且在平面上的射影分别为，，，设的中点为，则直线与平面所成角的正弦值的取值范围是 。
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15. 已知集合 ，
（1）求集合 ；
（2）若 ，，求实数 的取值范围。
16. 已知向量 ，，且 ，
（1）求 及 ；
（2）若 的最小值是 ，求实数 的值。
17. 已知中，，，分别为角，，的对边，且 。
（1）求角；
（2）若 ，， 为角的平分线，求 的长；
（3）若 ，求锐角面积的取值范围。
18. 我国古代数学名著《九章算术》在“商功”一章中，将“底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥”称为“阳马”．现有如图所示一个“阳马”形状的几何体，底面是正方形，底面，，为线段的中点，为线段上的动点．
1. 平面与平面是否垂直？若垂直，请证明，若不垂直，请说明理由；
2. 求二面角的大小；
3. 若直线平面，求直线与平面所成角的正弦值．
19. 类比思想在数学中极为重要，例如类比于二维平面内的余弦定理，有三维空间中的三面角余弦定理：如图1，由射线，，构成的三面角，记，，，二面角的大小为，则．如图2，四棱柱中，为菱形，，，，且点在底面内的射影为的中点．
1. 求的值；
2. 直线与平面内任意一条直线夹角为，证明：；
3. 过点作平面，使平面平面，且与直线相交于点，若，求值．
高一年级6月月考数学答案
A C B A B A A B
【答案】B在 中，设 ，，.
8.根据正弦定理 ， 为三角形外接圆半径.
将条件 转化为边的关系：左边：
右边：，等式两边相等得：
，化简得 .结合余弦定理 ，
代入上式得：，整理得 .三角形面积
.由，得，
代入面积公式：，
由基本不等式 ，得 ，即 （当且仅当 时取等号），
此时 取得最大值 ，故
9.BCD 10.ABD 11.BCD
12. 13. ①. ②. 14.【答案】
如图，取的中点为，连接，，，则可知，所以，即为直线与平面所成的角.设边长为2，则，设，
，，，则，
，.
因为，所以.
又是的中点，所以.又
，
所以有，整理可得.因为，，所以有.
在中，有.令，，根据对勾函数的单调性可知，在上单调递减，在上单调递减.又，，所以，所以，.故答案为：.
15. 【答案】（1）； （2）.
【小问1】不等式，解得，即，
当时，，则，即，所以.
【小问2】由（1）得，，
当，即时，，满足，则；
当，即时，由，得，解得，
综上，，所以实数的取值范围是.
16. 【答案】解：（1） 由题意可得，，
.
，，.
（2） 由（1）得，再结合可得：
当时，则时，取得最小值，为，这与已知矛盾；
当时，则时，取得最小值，为，
由已知得，解得，又，所以；
当时，则时，取得最小值，为，由已知得，，这与相矛盾，综上所述，为所求.
17. 【答案】解：（1） 由，得，
，，.，；
（2）设，由，得，解得，即角平分线的长度为；
（3） 设外接圆半径为，由，可得，即，，的面积，，，，，，，，，，，。
18.（1）平面平面.理由如下：证明：因为平面，平面，所以，因为，又，，平面，所以平面，故，在中，，为的中点，所以，因为平面，平面，，所以平面，又平面，所以平面平面；
（2）不妨设，计算可得，，又，，，所以，则，作于，连结，又，，可知，所以，所以是二面角的平面角，
在中，由，得，则，，连结，知，在中，根据余弦定理，得 ，所以；
（3）因为直线平面，平面，平面平面，
所以直线 直线 ，又 为线段 的中点，所以 为线段 上的中点，
由（2）知 ，所以 ，设 与 交点为 ，连结 ，
由（1）知，平面 平面 ，平面 平面 ，所以 平面 ，
所以直线 与平面 所成角为 ，又由 ， 为 上的中点，可得 为 的
中点，可知，，又 ，所以 ，
即直线 与平面 所成角的正弦值为 。
19. （1）连接 ，由已知得 平面 ，，
又 平面 ，所以平面 平面 ，所以二面角
的大小为 ，因为 为菱形，，所
以 ，又 ，所以 ，
在 中，，由三面角余弦定理可
得
。
（2）依题意可得 ，设平面 内任一条直线为 ，若 过
点时，记 与 的夹角为 （），则 ，
因为 ，所以 ，
又 ，所以 ；若 不过 点时，过 点作 使得 ，
记 与 的夹角为 （），
则 ，因为 ，所以 ，
又 ，所以 ；综上可得 。
（3）连接 ，，因为 ， 平面 ， 平面
所以 平面 ，同理可证 平面 ，
又 ，， 平面 ，所以平面 平面 ，
因为平面 平面 ，所以平面 平面 ，
又平面 平面 ，又平面 平面 ，
所以 ，又 即 ，所以四边形 为平行四边形，
所以 ，显然 在 的延长线上，因为 ，所以 ，
所以 ，即 。

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