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哈三中2025—2026学年度下学期
高二学年6月月考数学试题
考试说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分.考试时间为120分钟：
第Ⅰ卷（选择题，共58分）
一、单选题：共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，，则（ ）
A.{0，.{0，.{0，1，.{1，3，5}
2. 命题，的否定是（ ）
3. 设为等差数列的前项和，已知，则的值为（ ）
A.-3 B.0 C.5 D.8
4. 命题为假命题的一个充分不必要条件是（ ）
A. B.
C. D.
5. 若函数在区间上存在减区间，则实数的范围是（ ）
A. B.
C. D.
6. 已知，，，则（ ）
A. B.
C. D.
7. 近日，毛绒卡通玩偶拉布布（LABUBU）火爆全球.已知某款拉布布的头部形状可视为球形，某厂家利用3D打印技术制作该头部模型，一批发商向该厂家定制半径为（单位：dm）的拉布布头部模型.已知每个这样的模型的打印成本为元，厂家可制作的模型的最大半径为1dm，若批发商以3元/的价格收购，则该厂家售卖单个模型最多可以获利（ ）
A. 元
B. 元
C. 元
D. 元
8. 如图所示的一系列正方形图案称为 “谢尔宾斯基地毯”，在个大正方形中，着色的小正方形的个数依次构成一个数列的前4项，则下列结论正确的为（ ）
A. B.
C. D.
二、多选题：共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列命题正确的是（ ）
A. 若，则或
B. 若，，则
C. 若，，，则的最小值为9
D. 若，则的最大值为18
10. 已知数列的前n项和为，，，则下列结论正确的有（ ）
A.
B. 数列是等差数列
C.
D.
11. 已知函数有三个极值点，，（），则 （ ）
A.
B.
C. 若，，成等差数列，则，，成等比数列
D. 若，，成等差数列，则数列，，的公差为
第Ⅱ卷（非选择题，共92分）
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.将答案填在答题卡相应的位置上.
12. 已知数列满足，且 ，则 .
13. 已知函数有极小值，且极小值小于0，则实数a的取值范围为 .
14. 已知函数，若存在，使得成立，则实数m的取值范围是 .
四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知函数，当时，f(x)有极小值0.
（1） 求实数a，b的值：
(2) 求函数f(x)在区间，上的最值.
16. 已知数列满足，且 .
(1) 证明数列是等比数列，并求数列的通项公式：
(2) 求数列 的前n项和Sn.
17. 已知双曲线的右焦点F到一条渐近线的距离为1，且点P（2，1）在双曲线C上.
（1） 求双曲线C的方程；
(2) 斜率为的直线与双曲线C的右支交于M、N两点(异于点P).求证：直线MP，NP的斜率之和为定值.
18. 已知函数f(x).
(1) 若，求函数f(x)在处的切线方程；
（2） 若对任意的x >1恒成立，求整数m的最大值；
（3） 设有两个极值点，求g（x2）的范围.
19. 已知函数.
（1） 求证：；
（2） 求证：；
（3） 设，是函数的两个零点，当时，求的取值范围。
哈三中2025—2026学年度下学期
高二学年6月月考数学试题
考试说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分.考试时间为120分钟：
第Ⅰ卷（选择题，共58分）
一、单选题：共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，，则
A.{0，.{0，.{0，1，.{1，3，5}
【答案】A
因为，所以 ，即 ， 所以，
所以 .
2. 命题，的否定是（ ）
【答案】C
命题，的否定是，，
故选：C
3. 设为等差数列的前n项和，已知，则的值为（ ）
A. .0　　　　　　　
C.5　　　　　　　
D.8
【答案】D
设数列的公差为d，
因为，且，
所以，解 得．
因此．
4. 命题“”为假命题的一个充分不必要条件是（ ）
A.a >.a >.
D.
【答案】B
原命题“”为假命题，等价于它的否定“”为
真命题．
即对于，成立
设，开口向上，对称轴为， 故f(x)在，上单调递减，
最小值为f(1)，因此原命题为假等价于，即原命题为假对应集合为．
充分不必要条件对应集合是A的真子集，选项中仅有，满足条件．
因此命题“”为假命题的一个充分不必要条件是．
5. 若函数f（x）= 在区间（1，2） 上存在减区间，则实数a的范围是（ ）
A.
D.
【答案】A
函数（x）= 的定义域为，求导得．
函数f（x） 在区间（1，2）上存在减区间，
等价于存在(1，2)， 使得成立．
即在(1，2) 上有解．
当x ∈（1，2） 时，，
故a<1， 即实数a的取值范围是（-∞，1）.
6. 已知，，，则（ ）
A.b > c > a B.b > a > c
C.c > b > a D.a > b > c
【答案】A
已知，，，
令，有，
当x≥e时，f’(x)， 则f(x) 在，+∞)上单调递减．
因为，所以，即b > c >a.
7. 近日，毛绒卡通玩偶拉布布（LABUBU）火爆全球．已知某款拉布布的头部形状可视为球形，某厂家利用3D打印技术制作该头部模型，一批发商向该厂家定制半径为r（单位：dm）的拉布布头部模型．已知每个这样的模型的打印成本为元，厂家可制作的模型的最大半径为1dm ，若批发商以3元/的价格收购，则该厂家售卖单个模型最多可以获利（ ）
A. π 元
B. 元
C. 元
D. 元
【答案】D
由题意可得利润，
所以，且。
令，，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
利润在时取得最大值，此时，
该厂家售卖单个模型最多可以获利元。
故选：D。
8. 如图所示的一系列正方形图案称为“谢尔宾斯基地毯”，4个大正方形中，着色的小正方形的个数依次
构成一个数列的前4项，则下列结论正确的为（ ）
【答案】C
由图可知，，即，所以B错误：
所以，
所以数列是以为首项，8为公比的等比数列。
所以，所以，所以，所以A错误；
，所以C正确；
因为，所以，
所以
，
所以，所以D错误．
二、多选题：共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 下列命题正确的是（ ）
A. 若，则x<2或x>5
B. 若a>b，c>d，则ac > bd
C. 若a>0，b>0，，则的最小值为9
D. 若，，，，则的最大值为8
【答案】AC
A，分式不等式等价于()()<0， 整理得()()>0， 解得x<2或x>5，
A正确；
B，举反例：若，，，， 满 足a >b，c >d，但 ，不等式不成立，B错误；
C. 已 知a >0，b >0，， 则 ，
等号成立当且仅当，，最小值为9，C正确；
D. 设()()， 解得，. 即，
已知a，，，，则，，最大值为16，D错误．
10. 已知数列的前n项和为，，，则下列结论正确的有（ ）
A.
B. 数列是等差数列
C.
D.
【答案】BCD
由，，
令n ， 得，故；
令n ， 得，故，因此选项A错误．
由，当时，，
两式相减得，
故数列是首项为1，公差为3的等差数列，选项B正确．
，
其中，，，
由的通项公式，
得，故，选项C正确
对于，，
每一组的和为（，，，），
故，选项D正确．
11. 已知函数有三个极值点，，（），则（ ）
A.
B.
C. 若，，成等差数列，则，，成等比数列
D. 若，，成等差数列，则数列，，的公差为
【答案】ACD
函数有三个极值点，等价于导函数有三个不同零点，
即有三个不同实根，令，即与有三个不同的交点．
由于，
当 时，，在上单调递增；
当 时，，在 上单调递减；
当 时，，在上单调递增
在 处取最小值，要使有三个不同解，需，A正确．
已知，，取对数相减得，
由对数平均不等式，得，B错误．
若，，成等差数列，则．
因为，，，
两式相乘得，
代入得，
满足等比中项性质，故成等比数列，C正确．
设等差数列公差为，则，，
由C的结论得，舍去 得．
又，代入， 得，
两边取对数得，D正确．
第Ⅱ卷（非选择题，共92分）
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．将答案填在答题卡相应的位置上．
12. 已知数列满足，且，则 。
【答案】3
由题意可，，，，
以此类推，可知。
13. 已知函数有极小值，且极小值小于0，则实数的取值范围为 。
【答案】
可，
当时，可知，在上恒成立，函数在上单调递增，无极小值；
当时，令，解得。
所以时，，函数在上单调递减，
时，，函数在上单调递增，
在处取得极小值，极小值为，
可得，因为，所以，解得。
即实数的取值范围是。
14. 已知函数，若存在，使得成立，则实数的取值范围是 。
【答案】
要使得存在满足，
先将不等式进行等价变形为 ，
两边同乘 得 ，
整理为关于的不等式 ，即 ，，
令 ，问题转化为存在使 得，即 。
对求导 ，令 ，则 ，即 ，
由 、、在上单调递增，且 ，，
根据函数的单调性知 在上单调递增，而 ，
所以，当时；当 时，
所以在上单调递增，在 上单调递减，
观察到 时，代入得 ，恰与 等价，此时 ，
故极值点满足 ，即 ，故 ，
因此，存在使成立，当且仅当，则 实 数的取值范围是。
四、解答题：本大题共\（5\）小题，共\（77\）分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15. 已知函数 ，当时，有极小值。
1. 求实数， 的值；
2. 求函数在区间上的最值。
【答案】（1） ，
（2）最小值为，最大值为
【小问1】
，，
当时，有极小值.，
，，，，
的解为或.在上是单调递增函数；
的解为.在上是单调递减函数，
在处取得极小值，满足题意，故.
【小问2】
由（1），，，
又.在上的解为.在上是单调递增函数；
在上的解为.在上是单调递减函数；
在上的最小值为，
又，，
在上的最大值为.
综上可知，在上的最小值为，最大值为.
16. 已知数列满足，且，.
（1）证明数列是等比数列，并求数列的通项公式；
（2）求数列的前项和.
【答案】（1）证明：因为，，
所以，则.
又，所以是首项为2，公比为2的等比数列.
所以，即.
【小问1】
略
【小问2】
由（1）知，的前n项和
.
17. 已知双曲线（，）的右焦点F到一条渐近线的距离为1，且点P（2，1）在
双曲线C上.
（1）求双曲线C的方程；
(2)斜率为的直线与双曲线C的右支交于M、N两点(异于点P).求证：直线MP、NP的斜率之
和为定值.
【答案】（1）
（2）如图，设点、，设直线MN的方程为，
因为点P不在直线MN上，则，可得，
联立，消去y可得，
则，解得m <或m > 1，
由题意可得，所以m > 1且.
所以
，
即直线MP，NP的斜率之和为0.
【小问 】
双曲线C的右焦点为F（c，0），渐近线方程为，即，
所以焦点F到一条渐近线的距离为，
因为点P（2，1）在双曲线C上，所以，解得，
故双曲线C的标准方程为
【小问2】
略．
18. 已知函数．
（1） 若，求函数f（x） 在处的切线方程：
（2） 若对任意的恒成立，求整数m的最大值：
（3） 设有两个极值点，求的范围．
【答案】（1） ；
（2）3； ．
【小问1】
当时，函数f(x)=，求导得，则，而f(1)，
所以函数f（x）的图象在处的切线方程为， 即．
【小问2】
对任意的，不等式恒成立，
令函数，，求导得，
令函数， ， 求导得，函数在上单调递增。
而u(3) < 0，u(4) > 0， 则存在， 使得， 即，
当时，u（x） < 0，h’（x） < 0； 当x > x 时， ，，
函数h（x）在（1，x ）上单调递减， 在（x ， +∞）上单调递增，
则， ，
所以整数m的最大值是3.
【小问3】
函数的定义域为（0， +∞）， 求导得，
由函数g（x）有两个极值点，， 得方程有两个不等的正根，，
则， 即，，， 且，
，， 令函数，，
求导得， 函数φ（t）在（1， +∞）上单调递减， 则，
所以g（x ）的取值范围是.
19. 已知函数.
1. 求证： ；
2. 求证： ；
3. 设，是函数h(x)(x)()的两个零点， 当时， 求的取值范围.
【答案】
1. 令函数， 求导得， 当0 < x < 1时， ；
当x > 1时，g’（x） > 0， 函数g（x）在（0，1）上单调递减， 在（1， +∞）上单调递增，
则， 即，因此，
所以。
（2） 由 （1）得，当且仅当时取等号，取，得
，
因此，，
则，于是，
所以。
（3） 。
【小问1】
略
【小问2】
略
【小问3】
依题意，函数的定义域为，由， 得，令函数，
求导得，当 或 时，，当 时，，
函数在上单调递减，；函数在上单调递减，（ ，
函数在上单调递增，，，是函数的两个零点，
得（ ，， ，则（ ，
令（ ，则 ，即（ ，，，
则（ ，，由（ ，
得（ ，令函数（ ，，求导得（ ，
令函数\（ ，，求导得\（ ，
函数上单调递增，则当时，（ ，即（ ，
函数在上单调递增，又（ ，不等式（ ，
因此，令函数\（ ，，求导得，
函数在上单调递增，则，即（ ，不等式（ 恒
成立，
所以。

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