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202学年度高二第二学期6月学业水平质量监测
数学试题
注意事项
1.本试卷共4页，满分为150分，考试时间为120分钟。考试结束后，请将答题卡交回。
2.答题前，请务必将自己的姓名、考试号等用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在答题卡的规定
位置。
3.作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦
干净后，再选涂其他答案。作答非选择题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指
定位置作答，在其他位置作答一律无效。
一、单项选择题（共8小题 满分40分）
1. 已知直线的方向向量为，平面的法向量为，若，则实数的值为（ ）
A. B.
C. D.
2. 若随机变量，且，则（ ）
A.0.4 B.0.5 C.0.6 D.0.7
3. 二项式的展开式中的常数项为（ ）
A. B.160
C. D.
4. 设，为两个事件，已知，，，则（ ）
A. B.
C. D.
5. 从装有除颜色外完全相同的3个白球和个黑球的布袋中随机摸取一球，有
放回地摸取5次，设摸得白球数为，已知，则（ ）
A. B.
C.1 D.
6. 已知变量和的统计数据如表，若由表中数据得到回归直线方程为
，则时的残差为（ ）
4 4.5 5 5.5 6
7 6 4 2 1
A.0.2 B..3
C.0.4 D..2
7. 已知正方体中，是的中点，则平面与平面的夹角余弦值是（ ）
A. 　　 B. 　　
C. 　　 D.
8. 在直三棱柱中，点满足，若经过，，三点的平面将棱柱分为，两部分（的体积较小），则与的体积之比为（ ）
A. 　　 B. 　　
C. 　　 D.
二、多项选择题（共3小题 满分18分）
9. 若，，是空间中互不重合的三条直线，，是两个不重合的平面，则下列结论正确的是（ ）
A. 若，，则
B. 若，，则
C. 若，，则
D. 若，，，，，则
10. 甲、乙、丙、丁、戊共5位志愿者被安排到，，，四所山区学校参加支教活动，要求每所学校至少安排一位志愿者，且每位志愿者只能到一所学校支教，则下列结论正确的是（ ）
A. 不同的安排方法共有种
B. 甲志愿者被安排到学校的概率是
C. 若学校安排两名志愿者，则不同的安排方法共有60种
D. 在甲志愿者被安排到学校支教的前提下，学校有两名志愿者的概率是
11. 在正四棱柱中，，，点在棱上，且，点在上底面运动，则（ ）
A. 存在点，使得
B. 三棱锥体积的最大值为2
C. 若平面，则的最小值为
D. 以为球心，半径为2的球面与该正四棱柱表面的交线的总长度为
三、填空题（共3小题 满分15分）
12. 若，则的值为 。
13. 在正四棱锥中，，，，分别是棱，的中点，则点到直线的距离是 .
14. 如图，是边长为的正三角形的一条中位线，将沿翻折至，当三棱锥的体积最大时，四棱锥外接球的表面积为 .
四、解答题（共5大题 满分77分）
15.（13分）已知数列满足：，。
（1）若，求证：为等差数列。
（2）求数列的前项和。
16.（15分）2025年11月，教育部等五部门联合印发《关于实施学生体质强健计划的意见》，明确要求“中小学生每天综合体育活动时间不少于2小时”。某中学为了解政策落实情况及其对学生视力的影响，从全校学生中随机抽取了150名学生进行调查，统计了他们每天综合体育活动时间与视力情况，得到如下列联表。
未患近视 患近视 合计
每天综合体育活动时间小时（未达标） 70
每天综合体育活动时间小时（达标） 40 60
合计 60
完成上表，并根据完成的表格解决下列问题：
（1）根据小概率值的独立性检验，分析患近视是否与每天综合体育活动时间有关；
（2）从未患近视的学生调查者中按分层抽样的方法随机抽取6人，再从这6人中随机抽取3人做进一步的访谈，记抽到的3人中“每天综合体育活动时间小时（未达标）”的人数为，求的分布列和数学期望。
附：，其中。
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
17.（15分） 已知函数，.
（1）若，求的图象在点处的切线方程；
（2）求函数的单调区间；
（3）若，都有，求实数的取值范围.
18.（17分） 已知椭圆的焦距为，且经过点.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若直线交椭圆于、两点，点满足：
（i） 若，且，求直线的方程；
（ii） 记四边形的面积为，若点恰好在椭圆上，求的值.
19.（17分）如图， 正四棱台中， ， ， .
（1）求证：平面；
（2）若点在平面内，且直线与平面所成的角的正切值为.
（i） 求的轨迹的长度；
（ii） 求三棱锥体积的最大值.
202学年度高二第二学期6月学业水平质量监测
数学参考答案
1 2 3 4 5 6 7 8
D A C D D D D D
9 10 11
AD BCD BCD
12.4或9.
13.
14.
15.（1） 因为，所以，
即，，又，
所以是以1为首项，2为公差的等差数列；
（2） 由 （1） 可得，则，
所以，
所以
.
16.（1） 根据题意，补全列联表：
未患近视 患近视 合计
每天综合体育活动时间<2小时（未达标） 20 70 90
每天综合体育活动时间小时(达标) 40 20 60
合计 60 90 150
零假设：患近视与每天综合体育活动时间无关，
，
因为，所以零假设不成立，
所以根据小概率值的独立性检验，推断患近视与每天综合体育活动时间
有关；
（2）从未患近视的人中分层抽样抽取人，抽取未达标人数为，抽取
达标人数为，
的所有可能取值为，，，
，，，
所以的分布列为
。
17.（1）若，则，则，。
因为，所以切点坐标为，切线斜率为，
曲线在点处的切线方程为。
化简可得：。
（2）因为，定义域为，
所以，
当时，恒成立，
所以函数在单调递增；
当时，令，解得，
当时，，函数单调递增，
当时，，函数单调递减。
综上，当时，单调递增区间为，无单调递减区间；当时，单调递
增区间为，单调递减区间为．
（3） 若，都有，即，
即在上恒成立，令，，
由题意，只需当时，即可，
令，
因为当时，，所以在上单调递增，
当时，，所以在上单调递减，
，．
综上所述，实数的取值范围是．
18.（1） 因为椭圆的焦距为，所以，所以，
所以，
由椭圆过点，所以，所以，
化简得，解得或（舍去），所以，
所以椭圆的标准方程为；
（2） 设，，，
由，得，
即，
所以，
所以，且，，
所以．
（i） 因为，，所以，
又，所以，
化简得，解得或（舍去），所以，
所以直线的方程为或；
（ii） 因为，
又原点到直线的距离为，
由知四边形是平行四边形，
所以面积。
因为点在椭圆上，所以，
解得，
所以。
19.（1） 连结交于，连接，交于点，连结，
在等腰梯形中，，分别为，中点，可得，
在正方形中，，又，，平面，
所以平面，因为平面，所以，
作，为垂足，在等腰梯形中，，
，得，由得，
在中，，所以即，
又，平面，，所以平面。
（2）（i） 因，分别为正四棱台的两底面的中心，
则平面，且，
以为原点，分别以，，为，，轴，建立空间直角坐标系，
，，，，，，，
则，，，
设平面的一个法向量，
则，故可取，
设在平面上的投影为点，则，
设直线与平面所成角为，则，解得，
所以的轨迹是以为圆心，为半径的圆，则的轨迹长度为。
（ii） 解法一：设的坐标为，
因，即，得，，
设，
即，
，解得，，从而，
记点到的距离为，则，
所以点到距离的最大值为，所以，
又，
记点到平面距离为，则，
所以。
解法二：
连结，因为且，所以为平行四边形，则，
又平面，平面，所以平面，
所以点和点到平面的距离相等，即为，
设，
记点到距离为，
则，
又，
由可得，
配方得，
令可得当时，有，所以的
最大值为，
所以，
所以

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