资源简介

湖南师范大学附属中学2025－2026学年高一下学期6月阶段检测
数学试题
★祝大家学习生活愉快★
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，每小题只有一个选项符合要求
1. 若(1?2i)(a+6i)∈R，则实数a等于
A. ?3　　　　 B. ?2　　　　
C. 2　　　　 D. 3
2. 如图，正方形O'A'B'C'的边长为2，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的面积

A. 42　　　 B. 82　　　
C. 22　　　 D. 4
3. 已知一组数据x1，x2，?，xn的平均数为x?，方差为s2，则数据3x1+2，3x2+2，?，3xn+2的平均数和方差分别为
A. 3x?+2，9s2　　 B. 3x?+2，9s2+4　　
C. 3x?，9s2+4　　 D. 3x?+2，3s2+2
4. 设a，b是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则α∥β的一个充分条件是
A. 存在无数条直线与α，β都平行
B. 存在无数个平面与α，β都垂直
C. 存在两条平行直线a，b，a?α，b?β，a∥β，b∥α
D. 存在两条异面直线a，b，a?α，b?β，a∥β，b∥α
5. 从1，2，3，4，5中随机选取三个不同的数，则这三个数之积为偶数且它们之和大于等于10的概率为
A. 15　　　　 B. 310　　　　
C. 25　　　　 D. 49
6. 如图，圆台的侧面展开图为半圆环，图中线段AB=8，C，O，D为线段AB的四等分点，则该圆台的体积为

A. 733π　　 B. 73π　　
C. 533π　　 D. 53π
7. 已知函数f(x)的定义域为R，f(x)+f(?x)=0，f(x+1)为偶函数，且f(1)=2，则f(2025)?f(2028)
=
A.1　　　　　 B.2　　　　　 C.3　　　　　 D.4
8. 已知平面向量a，b，c，且|c|=2，向量a与c所成的角为60°，且|a+2tc|≥|a?c|对任意实数t恒成立，则
|2ta+b|+|b+c|的最小值为
A. 43　　　 B. 213　　　
C. 45　　　 D. 221
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全
部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9. 已知事件A，B满足P(A)=0.4，P(B)=0.2，则下列说法正确的是
A. 若A与B互斥，则P(A∪B)=0.52　　
B. 若B?A，则P(AB)=0.08
C. 若A与B相互独立，则P(A?B?)=0.48　
D. 若P(A∪B)=0.52，则A与B相互独立
10. 已知函数f(x)=3sin(ωx+φ)(x∈R,ω>0,|φ|<π2)的部分图象如图所示，则下列说法正确的是
A. f(x)=3sin13x+π12
B. f3π4=334
C. 不等式f(x)≥32的解集为6kπ+π4,6kπ+9π4,k∈Z
D. 将f(x)的图象向右平移π12个单位长度后所得函数的图象在
?7π6,5π6上不单调
11. 传说古希腊数学家阿基米德的墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等。“圆柱容球”是阿基米德最为得意的发现。如图是一个圆柱容球，O1，O2为圆柱下、上底面的圆心，O为球心，EF为底面圆O1的一条直径，若球的半径r=2，则
A. 球与圆柱的表面积之比为2:3
B. 平面DEF截得球的截面面积最小值为165π
C. 四面体CDEF的体积的取值范围为0,163
D. 若P为球面和圆柱侧面的交线上一点，则PE+PF的取值范围为[2+25,43]
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分
12. 已知向量a=(3,1)，b=(1,2)，c=ka?b，若b∥c，则k=????????????。
13. 某校组织了“人工智能知识”测试，现随机抽取了100名学生的测试成绩(单位：分)，这100名学生的成绩都分布在区间[40，100]内，绘制成如图所示的频率分布直方图.则这100名学生成绩的61%分位数为____.
14. 在?ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sin2B=sinA·sinC. 若关于x的不等式(x+1+sin2B)2+2t·sinB+π42?1有解，则实数t的取值范围为____.
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
15. 已知集合A={x∣|x?a|<2}，B=x∣x?1x+2?0.
（1） 若a=2，求A，B及A∩(?RB)；
（2） 若“x∈B”是“x∈A”的充分条件，求实数a的取值范围.
16. 已知奇函数f(x)=a·2x?22x+1的定义域为[?a?2,b].
（1） 求实数a，b的值；
（2） 当x∈[2,3]时，2+mf(x)+2x>0恒成立，求实数m的取值范围.
17. 在?ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且sinC+3cosC=a，b=3.
（1） 求角B；
（2） 若?ABC的面积为34，求a+c的值；
（3） 若?ABC为锐角三角形，求?ABC面积的取值范围.
18. 如图，在四棱锥P?ABCD中，PB=PD，PC=3，PA⊥PC，M，N分别为PA，BC的中点，底面四边形ABCD是边长为2的菱形且∠DAB=60°，AC交BD于点O。
（1） 求证：MN∥平面PCD；
（2） 求证：平面PAC⊥平面ABCD；
（3） 求二面角B?PC?D的平面角的余弦值。
19. 设P，Q是两个非空数集，若定义在?上的函数f(x)对任意a,b∈?，当a?b∈P时，f(a)?f(b)∈Q，则称f(x)为P到Q的双界函数。
（1） 设P=[2,3]，Q=[9,18]，f(x)=kx+m。
（i） 证明：当k=6时，f(x)是P到Q的双界函数；
（ii） 若f(x)是P到Q的双界函数，求实数k的取值范围。
（2） 若P={3}，Q={4}，f(x)是P到Q的双界函数，当x∈[0,3)时，f(x)=x+ex，求f(x)在[2028,+∞)上的最小值。
（3） 设集合A=B=n·12m∣其中m∈?,n∈??。若P=Q=12m+1,12m，f(x)是P到Q的双界函数，证明：f(x)是A到B的双界函数。
参考答案
1.D
(1?2i)(a+6i)=a+6i?2ai+12=(a+12)+(6?2a)i，
由(1?2i)(a+6i)∈R可得6?2a=0，解得a=3。
2.B
在直观图中，O'A'=2，O'B'=22，则在原图形平行四边形OABC中OA=2，OB=42，如图，
所以原图形的面积为OA×OB=2×42=82。
3.A
因为一组数据x1，x2，?，xn的平均数为x?，方差为s2，
所以数据3x1+2，3x2+2，?，3xn+2的平均数为3x?+2，方差为9s2。
4.D
A，如图，作长方体ABCD?A1B1C1D1，取平面ABCD，平面DCC1D1分别为平面α，β。
因为α∩β=DC，且A1B1∥DC，且A1B1?α，A1B1?β，则A1B1∥α，A1B1∥β，
显然可作无数条与A1B1平行且不在平面α，β内的直线，即存在无数条直线与α，β都平行，但α，β不平行，错误；
B，因为平面BCC1B1与平面α，β均垂直，且显然可作无数个与平面BCC1B1平行的平面，即存在无数个平面与α，β都垂直，但α，β不平行，错误；
C，若α与β相交，可在α内取a平行于交线，在β内取b也平行于交线，
满足a∥b，a∥β，b∥α，但无法推出α∥β，错误；
D，异面直线a?α，b?β，a∥β，b∥α，可在β内作出a'∥a，在α内作出b'∥b，
可得a'，b是β内的相交直线，a，b'是α内的相交直线，且都平行于另一个平面，
根据面面平行判定定理可推出α∥β，符合要求。
5.C
从1，2，3，4，5中随机选取三个不同的数
有(1,2,3)，(1,2,4)，(1,2,5)，(1,3,4)，(1,3,5)，(1,4,5)，(2,3,4)，(2,3,5)，(2,4,5)，(3,4,5)，共
10种情况，
其中三个数之积为偶数且它们之和大于等于10的有(1,4,5)，(2,3,5)，(2,4,5)，(3,4,5)，共4种情况，
所以这三个数之积为偶数且它们之和大于等于10的概率为410=25，故C正确.
6. A
由圆台的侧面展开图可求得圆台的上底面半径为1，下底面半径为2，母线长为2，
从而圆台的高为3，所以圆台的体积V=13π×(12+22+1×2)×3=733π.
7. B
因为函数f(x+1)为偶函数，所以f(x+1)=f(?x+1)，则f(x+2)=f(?x)，
又因为f(?x)=?f(x)，所以f(x+2)=f(?x)=?f(x)，则f(x+4)=?f(x+2)=f(x)，
所以函数f(x)是周期为4的周期函数，
由f(x)+f(?x)=0中，令x=0，得到f(0)=0，
所以f(2025)=f(4×506+1)=f(1)=2，f(2028)=f(4×507)=f(0)=0，
故f(2025)?f(2028)=2?0=2.
8. B
由题意得，a·c=|a|·|c|cos60°=|a|，由|a+2tc|≥|a?c|，得|a+2tc|2≥|a?c|2，
即a2+4ta·c+4t2c2≥a2?2a·c+c2，化简得16t2+4|a|t+2|a|?4≥0.
令f(t)=16t2+4|a|t+2|a|?4，其图象开口向上，要使f(t)≥0恒成立，
则Δ=16|a|2?4×16×(2|a|?4)≤0，解得|a|=4，
又|2a+b|+|b+c|≥|(2a+b)?(b+c)|=|2a?c|，
|2a?c|=4a2?4a·c+c2=213，所以|2a+b|+|b+c|的最小值为213.
9. CD
对于A，若A与B互斥，则P(A∪B)=P(A)+P(B)=0.6，故错误；
对于B，若B?A，则P(AB)=P(B)=0.2，故错误；
对于C，若A与B相互独立，则A?与B?也相互独立，
所以P(A?B?)=P(A?)P(B?)=[1?P(A)][1?P(B)]=0.6×0.8=0.48，故正确；
对于D，P(A∪B)=P(A)+P(B)?P(AB)=0.6?P(AB)=0.52，可得P(AB)=0.08，
所以P(AB)=P(A)P(B)，则A与B相互独立，故正确.
10. AC
对于A，由图象可知，最小正周期T=4(11π4?5π4)=6π=2πω，所以ω=13，
因为图象过点(5π4,3)，所以3=3sin(13×5π4+φ)，又|φ|<π2，所以φ=π12，
所以f(x)=3sin(13x+π12)，故A正确；
对于B，f(3π4)=3sin(13×3π4+π12)=3sinπ3=332，故B错误；
对于C，令f(x)≥32，则sin(13x+π12)≥12，所以π6+2kπ≤13x+π12≤5π6+2kπ,k∈Z，解得π4+6kπ≤x≤9π4+6kπ,k∈Z，
所以不等式f(x)≥32的解集为6kπ+π4,6kπ+9π4， k∈?，故C正确；
对于D，将f(x)的图象向右平移π12个单位长度后，得到y=3sin13x+π18的图象，当x∈?7π6,5π6时，13x+π18∈?π3,π3，
此时函数y=3sin13x+π18在区间?7π6,5π6上单调递增，故D错误。
11.ABD
对于A，由球的半径为r，可知圆柱的底面半径为r，圆柱的高为2r，
则球的表面积为4πr2，圆柱的表面积为2πr2+2πr·2r=6πr2，所以球与圆柱的表面积之比为2:3，故A正确；
对于B，矩形ABCD所在截面如图所示，过点O作OG⊥DO1于点G，则由题可得OG=12×2×425=255，
设点O到平面DEF的距离为d1，平面DEF截得球的截面圆的半径为r1，
则d1≤OG，r12=r2?d12=4?d12≥4?45=165，所以平面DEF截得球的截面面积最小值为165π，故B正确；
对于C，由题可知四面体CDEF的体积等于2VE?DCO1，点E到平面DCO1的距离d∈(0,2]，
又SDCO1=12×4×4=8，所以2VE?DCO1=23×8d=16d3∈0,323，故C错误；
对于D，由题可知点P在过球心与圆柱的底面平行的截面圆上，
设P在底面的投影为P'，则PP'=2，PE=22+P'E2，PF=22+P'F2，
P'E2+P'F2=16，设t=P'E2，则t∈[0,42]，PE+PF=22+t+22+16?t，
所以(PE+PF)2=22+t+22+16?t2=24+2?t2+16t+80=24+2?(t?8)2+144∈[24+85,48]，
所以PE+PF∈[2+25,43]，故D正确。
12.0
因为向量a=(3,1)，b=(1,2)，所以c=ka?b=(3k?1,k?2)，
又b∥c，则2×(3k?1)?1×(k?2)=0，解得k=0。
13.82
设这100名学生成绩的61%分位数为x，
因为前4组频率之和为10×(0.005+0.01+0.015+0.025)=0.55<0.61，
前5组频率之和为10×(0.005+0.01+0.015+0.025+0.03)=0.85>0.61，
所以这100名学生成绩的61%分位数落在第5组[80,90)内，
所以x?8010=0.61?0.550.3，解得x=82，所以这200名学生成绩的61%分位数为82。
14. ?22,22
在?ABC中，由正弦定理及sin2B=sinAsinC，得b2=ac，
由余弦定理，得cosB=a2+c2?b22ac=a2+c2?ac2ac?2ac?ac2ac=12，又因为B∈(0,π)，所以0记m=2sinB+π4=sinB+cosB，则m2=(sinB+cosB)2=1?2sinBcosB=1?sin2B，sin2B=m2?1。
因为0则(x+1+sin2B)2+2t·sinB+π42?1等价于(x+m2)2+(tm)2?1，
即x2+2m2x+m4+t2m2?1?0有解，故有Δ=4m4?4(m4+t2m2?1)?0，
化简得t2m2?1，即t2?1m2恒成立，又1可得t2?12，解得?22?t?22。
所以实数t的取值范围为?22,22。
15.（1） 当a=2时，由|x?2|<2，解得0由x?1x+2?0?{(x?1)(x+2)?0x+2≠0，解得?2所以?RB=(?∞,?2]∪(1,+∞)，则A∩(?RB)=(1,4)。
（2） 由|x?a|<2，解得a?2又“x∈B”是“x∈A”的充分条件，所以B?A，
已知B=(?2,1]，可得{a?2??2a+2>1，解得?1所以实数a的取值范围为(?1,0]。
16.（1） 因为函数f(x)=a·2x?22x+1为定义域为[?a?2,b]的奇函数，
所以f(?x)=?f(x)，即a·2?x?22?x+1=?a·2x?22x+1，
所以a?2x+12x+1=?a·2x+22x+1，整理得(a?2)(2x+1)=0，解得a=2，
因为函数的定义域为[?a?2,b]，则?a?2+b=0，解得b=4。
所以a=2，b=4。
（2） 由（1）可知f(x)=2(2x?1)2x+1，
当x∈[2,3]时，2+mf(x)+2x>0即2+m·2(2x?1)2x+1+2x>0恒成立，
可得?m<(2x+2)(2x+1)2(2x?1)恒成立，即当x∈[2,3]时，?m<(2x+2)(2x+1)2(2x?1)恒成立，
所以，?m<(2x+2)(2x+1)2(2x?1)min，
令t=2x?1，t∈[3,7]，则?m<(2x+2)(2x+1)2(2x?1)=(t+2)(t+3)2t=t2+5t+62t=t2+3t+52。
令g(t)=t2+3t+52，t∈[3,7]，根据对勾函数性质知g(t)在区间[3,7]上单调递增，
所以g(t)max=g(3)=5，所以?m<5，则m>?5，
则实数m的取值范围为(?5,+∞)。
17.（1） 由正弦定理得a=bsinAsinB，
由sinC+3cosC=a及b=3，得sinC+3cosC=bsinBsinA=3sinBsinA，
即sinBsinC+3sinBcosC=3sinA，
因为sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC，
所以sinBsinC+3sinBcosC=3sinBcosC+3cosBsinC，
所以sinBsinC=3cosBsinC。因为C∈(0,π)，sinC≠0，
所以sinB=3cosB，所以tanB=3，
因为B∈(0,π)，所以B=π3。
（2） 由余弦定理得b2=a2+c2?2accosB，即3=a2+c2?2accosπ3。所以a2+c2?ac=3。
又?ABC的面积为S=12acsinB=12acsinπ3=34，所以ac=1。
所以(a+c)2=a2+c2+2ac=3+3×1=6，所以a+c=6。
（3） 由（1）知B=π3，b=3，则2R=asinA=csinC=bsinB=3sinπ3=2，
所以a=2sinA，c=2sinC，所以S?ABC=12acsinB=34·2sinA·2sinC=3sinAsinA+π3
=3sinA12sinA+32cosA=312·1?cos2A2+32·12sin2A=34(1?cos2A)+34sin2A=34?32cos2A+π3
由{0所以2A+π3∈2π3,4π3，所以cos2A+π3∈?1,?12，所以32<34?32cos2A+π3≤334，
所以?ABC面积的取值范围是32,334。
18.（1） 取PD的中点E，连接ME，CE，如图。
∵M为PA的中点，
∴ME=12AD，ME∥AD，
∵N为BC的中点且四边形ABCD为菱形，
∴NC∥AD，NC=12AD.
∴NC∥ME，NC=ME，
∴ 四边形 MNCE 为平行四边形，
∴MN∥EC，
又 ∵MN? 平面 PCD，CE? 平面 PCD，
∴MN∥ 平面 PCD.
（2） 如图，连接 PO，
∵PB=PD，O 是 BD 的中点，
∴PO⊥BD，
由菱形 ABCD 知 AC⊥BD，又 PO∩AC=O，PO，AC? 平面 PAC，
∴BD⊥ 平面 PAC，
∵BD? 平面 ABCD，
∴ 平面 PAC⊥ 平面 ABCD.
（3） 如图，过点 B 作 BF⊥PC 于点 F，连接 DF，OF.
∵BD⊥ 平面 PAC，PC? 平面 PAC，
∴BD⊥PC.
∵BF⊥PC，BD，BF? 平面 BDF，BF∩BD=B.
∴PC⊥ 平面 BDF，
∴PC⊥DF，PC⊥OF.
∴∠BFD 为二面角 B?PC?D 的平面角.
∵PC⊥OF，PA⊥PC，PC，PA，OF 共面，
∴OF∥PA，
∵O 是 AC 的中点，
∴F 是 PC 的中点，
又 ∵BF⊥PC，
∴PB=BC=2，FC=12PC=32，
∴BF=BC2?FC2=72.
∵F 是 PC 的中点，又 DF⊥PC，
∴DF=DC2?FC2=72，
∴cos∠BFD=BF2+DF2?BD22BF·DF=?17，
∴ 二面角 B?PC?D 的平面角的余弦值为 ?17.
.（1）（ⅰ）当k=6时，f(x)=6x+m，f(a)?f(b)=6a+m?(6b+m)=6(a?b)，
当a?b∈P，即2?a?b?3时，则12?6(a?b)?18，即f(a)?f(b)∈[12,18]，
显然[12,18]?[9,18]，因此f(a)?f(b)∈Q，
所以当k=6时，f(x)是P到Q的双界函数.
（ⅱ）f(a)?f(b)=k(a?b)，f(x)是P到Q的双界函数，
则当a?b∈P，即2?a?b?3时，9?k(a?b)?18恒成立.
由9?f(a)?f(b)?18，得{k?9a?bk?18a?b恒成立，而3?9a?b?92，6?18a?b?9，
由k?9a?b恒成立，得k?92；由k?18a?b恒成立，得k?6，因此92?k?6，
所以实数k的取值范围为92,6.
（2） 依题意，当a?b=3时，f(a)?f(b)=4，则f(b+3)?f(b)=4，即f(x+3)=f(x)+4，
而函数y=x+ex在[0,3)上单调递增，则当k∈Z时，f(x)在[3k,3k+3)上单调递增，
当x∈[3k,3k+3)时，f(x)min=f(3k)，k∈Z，
当x∈[2025,2028)时，f(x)min=f(2025)；当x∈[2028,2031)时，f(x)min=f(2028)，?，
又f(2025)f(2028)=f(2025)+4=f(2022)+4×2=?=f(0)+4×676，
由f(0)=0+e0=1，得f(2028)=1+2704=2705，所以f(x)在[2028,+∞)上的最小值为2705.
（3） 依题意，12m+1?a?b?12m时，12m+1?f(a)?f(b)?12m，
令a=x+12m，b=x+12m+1，则12m+1?f(a)?f(b)=fx+12m?fx+12m+1?12m，
令a=x+12m+1，b=x，则12m+1?f(a)?f(b)=fx+12m+1?f(x)?12m，
两式相加，得2·12m+1?fx+12m?f(x)?2·12m，即12m?fx+12m?f(x)?12m?1，
令a=x+12m，b=x，则12m+1?f(a)?f(b)=fx+12m?f(x)?12m，
因此fx+12m?f(x)=12m，
则fx+n·12m=fx+(n?1)·12m+12m=fx+(n?2)·12m+2·12m
=?=f(x)+n·12m，所以fx+n·12m?f(x)=n·12m，
所以f(x)是A到B的双界函数.

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