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南师附中、天一、海安、海门2027届高二年级6月测试
数学试题
注意事项：
1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，每小题只有一个选项符合要求
1. 设集合A=x∣x+2x?2<0，B=x∣log2(x+1)<2，则A∩B=
A. [?2,2]　　　　 B. [?2,2)　　　　
C. (?1,2]　　　　 D. (?1,2)
2. 若随机变量X?N(3,σ2)，且P(X?6)=0.8，则P(X?0)的值为
A.0.2　　　　　　 B.0.32　　　　　　 C.0.4　　　　　　 D.0.8
3. 已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，若m∥α，n∥β，则“m⊥n”是“α⊥β”的
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件　　　 D. 既不充分也不必要条件
4. 若命题“??x∈R，使得mx2?2mx?3?0”是假命题，则实数m的取值范围是
A. [?3,0)　　　　 B. (?3,0)　　　　
C. [?3,0]　　　　 D. (?3,0]
5. 为研究空气相对湿度x和土壤含水量y之间的关系，某课题研究小组采集了9组数据，绘制散点图如图所示，并对x，y进行线性回归分析。若在此图中加上点P后，再次对x，y进行线性回归分析，则下列说法正确的是
A. x，y不具有线性相关性　　　　　　　　
B. x，y线性相关性变强
C. 相关系数r变小　　　　　　　　　　　　　
D. x，y负相关
6. 某校高二年级开设数学、物理、化学、生物四个竞赛课程，小李，小王，小陈三名同学，每人至少选一个课程，至多选两个课程，且每个课程恰有1人选择，则不同的选择方法种数为
A.72　　　　　　 B.36　　　　　　 C.18　　　　　　 D.24
7. 某平台有10%的文章由AI生成，为识别AI文章，平台使用一款AI检测系统.该系统对AI生成文章的识别率为90%，但对人类撰写的文章会有5%的概率误判为AI生成.现从平台上随机抽取一篇文章，如果被该系统判定为AI生成，那么这篇文章实际是AI生成的概率为
A. 13　　　 B. 12　　　
C. 23　　　 D. 910
8. 已知平行六面体ABCD?A1B1C1D1的底面是边长为2的正方形，A1A=3，∠A1AB=∠A1AD=60°.动点M满足AM→=AA1→+xAB→+yAD→，x,y∈[0,1]，且CM∥平面A1BD，则|CM→|的最小值为
A.1　　　 B. 5　　　
C. 3　　　 D. 7
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部选对的得部分分，有选错的得0分。
9. 设a>0，b>0，且1a+1b=1，则
A. ab≤4　　 B. a+b≥4　　
C. a+4b≥9　　 D. 2a+2b≥8
10. 已知f(x)=(x?3)2026=a0+a1(x?1)+a2(x?1)2+?+a2026(x?1)2026，则A. a1=?2026·22025
　　　　　　　　　　B. a0+a2+a4+?+a2026=1+32026
　　　　　　　　　　C. a1+2a2+3a3+?+2026a2026=?2026
　　　　　　　　　　D. 今天是星期二，f(1)天后是星期三
11. 已知函数f(x)=|lnx|+ax+ax(a>0)，g(x)=ex+e?x?lna?lnxa?ax，则下列选项正确的是
A. f1x=f(x)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
16. 如图，在四棱锥P?ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，AB=AD=12CD=1，M为棱CD的中点，PD⊥平面ABCD。
（1） 求证：CB∥平面PMA；
（2） 若二面角P?CB?D的大小为60°，求点A到平面PBC的距离。
17. 某社团调研男女同学课余运动偏好，统计数据如下列联表：
喜爱球类
喜爱慢跑
合计
男生
24
16
40
女生
12
28
40
合计
36
44
80
（1） 依据小概率值α=0.05的独立性检验，判断是否认为运动偏好与性别有关；
（2） 从男生中按喜爱的运动分层抽样抽取10人，再从这10人中随机选6人，设X为6人中喜爱球类与喜爱慢跑人数之差的绝对值，求X的分布列与数学期望。
附：χ2=n(ad?bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n=a+b+c+d。
α
0.1
0.05
0.01
xα
2.706
3.841
6.635
18. 已知函数f(x)=xe2x?2sinx?ax.
（1） 当a=1，求函数f(x)在x=0处的切线方程；
（2） 若函数f(x)在(0,+∞)单调递增，求a的取值范围；
（3） 当a≤1，求证：f(x)>lnx.
19. 某工厂生产某种商品的成本为每件2a元(a>0)，正常售价为每件4a元. 该商品的市场需求量为随机变量X（单位：万件），当产量大于市场需求量时会造成商品积压，积压的商品必须降价处理，按每件a元售出 （假设降价后所有积压商品均可售出）. 根据一段时间的统计，得到该商品的市场需求量X的频率分布表如下：
X（万件）
1
2
3
4
5
6
7
频率
0.01
0.02
0.04
0.07
0.10
0.12
0.13
X（万件）
8
9
10
11
12
13
14
频率
0.12
0.11
0.09
0.07
0.05
0.03
0.04
以该商品需求量的频率代替其概率. 设计划产量为n（n为正整数，1≤n≤14）万件时，该商品的总利润为随机变量Wn（单位：万元）.
（1） 求P(X≤10|X≥5)；
（2） 当n=5时，求W5的分布列 （用含a的式子表示）；
（3） 证明：E(Wn)=3a∑k=1nP(X≥k)?a·n，并求计划产量n的值，使总利润的数学期望E(Wn)最大.
2027届高二数学6月份考试卷答案
参考答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
D
A
D
D
C
B
C
B
BCD
AC
ABD
12.9
13. 38
14. 3251
15. （1）已知A={x|3≤x≤6}，B={x|x≤m?1或x≥2m?1}，若A∩B=?，
则A的所有元素都不在B中，可得不等式组：{m?1<32m?1>6………4分
解得72（2）若p是q的充分条件，则A?B，即A的所有元素都属于B，………7分
因此有两种情况：
① A?{x|x≤m?1}，此时m?1≥6，解得m≥7；9分
② A?{x|x≥2m?1}，此时2m?1≤3，解得m≤2，………11分
综上，m的取值范围是m≤2或m≥7。13分
16、（1）因为AB∥12CD，所以四边形ABCM为平行四边形，则BC∥AM，
又BC?平面PAM，AM?平面PAM，所以BC∥平面PAM；………6分
（2）如图建立坐标系，则A(1,0,0)，B(1,1,0)，C(0,2,0)，D(0,0,0)，P(0,0,t)
设平面PBC法向量为n=(x,y,z)，则
{n→?PB→=0n→?BC→=0?{x+y?tz=0?x+y=0取n=1,1,2t8分
平面BCD的法向量为m=(0,0,1)。10分
因为二面角大小60°，所以
cos60°=n·m|n|·|m|=2t1×1+1+4t2?t=6。13分
所以A到平面PBC的距离等于|AB·n||n|=64。15分
17.（1）提出零假设H0：运动偏好与性别无关 1分
χ2=n(ad?bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)=80(24×28?16×12)236×44×40×40=8011≈7.273>χ0.052=3.841， .............
所以有95%的把握认为运动偏好与性别有关 4分
（2）按分层抽样10名男生中喜爱球类有6人，喜爱慢跑有4人........6分
X的可能取值为0，2，4，6 7分
P(X=0)=C60C42C102=821 8分
P(X=2)=C61C41+C62C40C102=12 9分
P(X=4)=C62C41C102=435 10分
P(X=6)=C66C40C102=1210 11分
所以X的分布列为
X
0
2
4
6
P
821
12
435
1210
所以.......13分
E(X)=0×821+2×12+4×435+6×1210=5235 15分
18.（1）当 a=1 时，f(x)=xe2x?2sinx?x，f(0)=0 对 f(x) 求导：
f'(x)=(2x+1)e2x-2cosx-1 2分
代入 x=0 得切线斜率：k=f'(0)=?2
因此切线方程为 y=-2x 4分
（2） f(x)=xe2x?2sinx?ax，则
f'(x)=(2x+1)e2x-2cosx-a≥0 6分
令 g(x)=(2x+1)e2x?2cosx，则 a≤g(x) 在 (0,+∞) 恒成立，
求 g(x) 在 (0,+∞) 的最小值即可。
对 g(x) 求导：
g'(x)=(4x+4)e2x+2sinx
当 x>0 时，4x+4>4，e2x>1，故 (4x+4)e2x>4；同时 2sinx∈[?2,2]，
因此 g'(x)>4?2=2>0，
所以 g(x) 在 (0,+∞) 上单调递增，… .8分
g(x) 在 (0,+∞) 的最小值为g(0)=?1。
因此 a 的取值范围是：(-∞,-1] 10分
（3）当a≤1时，f(x)≥xe2x?2sinx?x。由切线不等式， 当x>0 时，sinx且 lnx≤x?1 ， 所 以 只 需 证 xe2x?2x?x>x?1， 即
e2x+1x>4 .13分
令h(x)=e2x+1x，求导得：
h'(x)=2e2x?1x2，??h''(x)=4e2x+2x3>0，
因此在 (0,+∞) 上 h'(x) 单调递增。
又因为 limx→0+h'(x)=?∞，h'(12)=2e?4>0， 所以存在唯一的x0∈(0,12)，
h'(x0)=2e2x0?1x02=0.
因此 h(x) 在 (0,x0) 上单调递减，在 (x0,+∞) 上单调递增。
h(x)在 x0 处取到最小值 h(x0)=e2x0+1x0=12x02+1x0>4。
所以 h(x)>4 在 (0,+∞) 上恒成立。
因此，当 a≤1 时，不等式成立。
17分
19.
【答案】（1）6786； （2） 见解析； （3） n=9
（1）P(X≤10∣X≥5)=P(5≤x≤10)P(x≥5)=0.670.67+0.19=6786.
（2）当x≥5时， W5=5×2a=10a，
当x=4时， w5=4×2a+(5?4)×(?a)=7a，
当x=3时，w5=3×2a+(5?3)×(?a)=4a，
当x=2时， W5=2×2a+(5?2)×(?a)=a，
当x=1时， W5=1×2a+(5?1)×(?a)=?2a，
则分布列为：
W5
?2a
a
4a
7a
10a
P
0.01
0.02
0.04
0.07
0.86
（3）生产了n万件，市场需求x万件.
当x≥n时，wn=2an
当xE(Wn)=∑k=1n?1(3ak?an)·P(x=k)+∑k=n142an·P(x=k)
=∑k=1n?13ak·P(x=k)?an∑k=1n?1P(x=k)+2an∑k=nnP(x=k)
=∑k=1n?13ak·P(x=k)?an·(1?P(X≥n))+2an·P(X≥n)
=∑k=1n?13ak·p(x=k)+3an·p(x≥n)?an
=3a∑k=1n?1kp(x≥k)?3a·∑k=1n?1k·p(x≥k+1)+3anp(x≥n)?an
=3a∑k=1n?1kP(x≥k)?3a∑k=1n?1(k+1)·P(x≥k+1)+3a·∑k=1n?1P(x≥k+1)+3an·P(x≥n)?an
=3a·1·P(x≥1)?3a·n·P(x≥n)+3a·∑k=1n?1·P(x≥k+1)+3an·P(x≥n)?an
=3a·1·P(x≥1)+3a·∑k=1n?1·P(x≥k+1)?an
=3a·∑k=1nP(x≥k)?an，得证.
E(Wn+1)?E(Wn)=3a·∑k=1n+1P(x≥k)?3a·∑k=1nP(x≥k)?a(n+1)+an
=3aP(x≥n+1)?a=3a·P(x≥n+1)?13
当n≤8时，P(x≥n+1)>13， E(wn+1)?E(wn)>0
当n≥9时， P(x≥n+1)<13， E(Wn+1)?E(Wn)<0
则E(W9)最大，故n=9.

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