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2026年江苏省南通市高二数学期末考前模拟试卷
一、单选题： 本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 已知，集合，，0，1，3}，|||>1}，则 U（ ）
A.{，0，.{-3，.N(1，0)
D.{0，1}
2. 等差数列 中，a ，a ，则
A.30 B.36 C.38 D.39
3. 在中，BC边上的高为AD，，且，则
A. B.
C. D.
4. 已知x，y取值如表：
x 0 1 3 4
y 2.2 4.3 4.8 6.7
若x，y具有线性相关关系，且回归方程为，则当时的残差为（ ）
A.-0.3 B.0.3
C.2..0
5. 已知函数f(x)的定义域为R，其导函数为f’(x)，若f()为奇函数，f()为偶函数，记g(x)’(x)，且当时，g(x)，则不等式的解集为（ ）
A. B.
C. D.
6. 已知函数，给出下列4个判断，其中正确的结论是（ ）
A. 有最大值没有最小值 B. 有最小值没有最大值
C. 既有最大值又有最小值 D. 既没有最大值又没有最小值
7. 在直三棱柱中，底面为直角三角形，°，，，P是B C上一动点，则的最小值是（ ）
A. B.
C.7 D.
8. 函数的单调递增区间是（ ）
A.(- ∞，)
B.(- ∞，) 和(0，2)
C.（-2，2）
D.(，0) 和(2，+∞)
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9. 已知x，y为正实数，，则（ ）
A.xy的最大值为1
B. 的最大值为
C. 的最小值为
D. 的最小值为5
10. 已知函数的最大值为1，则（ ）
A.a = -1
B.
C.f（x）在区间上单调递减
D. 不等式f(x)的解集为
11. 已知实数x，y满足x > 0，y > 0， 且，则下列结论正确的是（ ）
A. 的最小值为
B. 的最小值为
C. 的最小值为
D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12. 两平行直线与的距离是 .
13. 生产某机器的总成本y（万元）与产量x（台）之间的函数关系式是，若每台机器售价为30万元，则该厂获得最大利润时生产的机器为 台.
14. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c， 若，，则的取值范围是 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.（本小题13分）
如图，在四棱锥中，F为棱BD上一动点(不包含端点)，，°，.
(I)证明：平面ADE；
（2） 若F是靠近点D的四等分点，求直线AF与平面BED所成角的正弦值；
（3） 若O是三棱锥 外接球的球心，求 | OF | 的最小值。
16.（本小题15分）
设函数 ，。
（1） 讨论f（x） 的单调性；
（2） 已知 ， 为f（x） 的两个极值点，证明：。
17.（本小题15分）
已知双曲线 的左顶点为A，过点D（2，0） 的直线l交双曲线C于M、N两点，点M在第一象限。
（1） 若双曲线C的焦距为 ，求该双曲线C的离心率e；
（2） 若 ， 为直角三角形，求点M的坐标；
（3） 若双曲线C的一条渐近线方程为 ，点M、N均在双曲线C的右支，且存在实数 ，使得 成立，求直线l的倾斜角的。
18.（ 本 小题17分）
已知函数.
(1)当时，求函数f(x) 的单调区间；
（2）若 在 上有解，求实数a的取值范围．
19.（ 本 小题17分）
在等比数列中，，.
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前n项和Sn.
2026年江苏省南通市高二数学期末考前模拟试卷答案与解析
【答案】
1.D 2.D 3.B 4.B 5.C 6.C 7.B
8.D 9.AC 10.ACD 11.ACD
12.
13.50
14.
15.（1） 连 接BE，
在□ABE中，，，
由余弦定理，得，
所以，即，
由AE，°， 得□ADE是正三角形，
所以D，
而BD=2，
所以，即，
又AE，AE，DEC平 面ADE，
所以B平面ADE
16.当时，f(x) 在单调递增；当a>1时，f(x) 在 (0，1)和上单调递增，在(1，a)上单调递
减；当0 < a <1时，f（x） 在 （0，a） 和上单调递增，在（a，1） 上单调递减 证明：由（1）知，当且
时，f（x） 有2个极值点，， 且，，
则
，
令，
设m(x)'(x)(x >0)， 则，
则m（x）在（0，+∞）单调递增， 即h'（x）在（0，+∞）单调递增，
又h'（1）=0，
所以当(1，+∞)时，，则h(x)在(1，+∞)单调递增；当(0，1)
在(0，1) 单调递减；所以h(x)(1)， 所以当a > 0且时，
所以，即
17. （2，3） 或
18.解：（1） 由题意可知函数f（x）的定义域为（0，+∞），
，
当a 时，，
令f '（x）>0， 得0< x <1或x >2
由f '（x）<0 得1< x <2时，
则f（x） 的递增区间为（0，1）， （2，+∞）， f（x） 的递减区间为（1，2）
(2)f(x)在，+∞) 上有解，等价为f(x)， 在，+ ∞) 上有解，
由，得
① 当时，可得，+ ∞) 时，f '(x)， 则f(x) 在，+∞) 上递增，
，
② 当a > 1时，可得f(x) 在， 上单调递增，在，+ ∞) 上单调递减，
令，则g'(a)， 记为h(a)，
，
时 ，则h（x）
，
，
则 ，，
(a) 在上单调递减，
(a)g（a） 在上单调递减， ∴，
∴，
∴当a > 1时，，满足题意．
综合①②知： .
19.解：(1)设等比数列的公比为q，
可得，，，
故；
（2） 因为，所以，
所以
.

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