资源简介

高二数学训练
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 已知函数，当自变量由1变到1.1时，的平均变化率为
A.1　　　　　 B.1.1　　　　　 C.2　　　　　 D.2.1
2. 已知数列，，，，，下列不是该数列的通项公式的是
A. 　　　　　
B.
C. 　　　　　　　　　　
D.
3. 已知数列的前项和，则
A.17　　　　　 B.100　　　　　 C.2022　　　　　 D.2023
4. 函数的图象如图所示，设的导函数为，则的解集为
A. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 B. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
C. 　　　　　　　　　　　　　　　 D. 　　　　　　　　　　　　　　
5. 已知等差数列，的前项和分别为，，若，则
A. 　　　　　 B. 　　　　　
C. 　　　　　 D.
6. 已知为坐标原点，抛物线的准线与双曲线的两条渐近线分别交于，两点，若是等边三角形，则双曲线的离心率为
A. 　　　　　 B. 　　　　　
C. 　　　　　 D.
7. 某工厂制作一个底面为正方形的无盖长方体储物箱，容积为48立方米，底面每平方米的造价为15元，侧面每平方米的造价为10元，当总造价最低时，底面正方形的边长为
A.1米　　　　　 B.2米　　　　　 C.3米　　　　　 D.4米
8. 某班某日共5节课，计划安排上语文、数学、外语、美术、体育这5门课，若体育课必须安排在最后2节，且语文课、数学课相邻，则不同的安排方案共有
A.12种　　　　 B.28种　　　　 C.20种　　　　 D.16种
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9. 已知函数，下列结论正确的是
A. 有3个零点
B. 当时，
C. 既有极大值又有极小值
D. 的图象关于点中心对称
10. 已知随机变量服从二项分布，若，则
A. B.
C. D.
11. 已知数列满足，且存在实数，使得恒成立，则
A. 是递增数列
B.
C.
D. 的取值范围为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12. 在等比数列中，，，则 。
13. 已知函数在上单调递增，则的取值范围为 。
14. 在三棱锥中，底面，，，，，分别为棱，的中点，为三棱锥内切球球面上的动点，则点到平面的距离的最大值为 。
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.(13分)
在数列中，，。
（1） 求的通项公式；
（2） 求的前项和。
16.(15分)
如图，圆柱的轴截面 是边长为6的正方形，点 交于点 ，点 在线段 上， 平面 ，.
（1） 求 的长度；
（2） 求直线 与平面 所成角的正弦值.
17.(15分)
已知函数 .
（1） 若 ， 求 的值；
（2） 若 ， 求 的取值范围.
E，F均在圆柱的下底面圆周上，EF与
，点P在圆柱的上底面圆周上，
18.(17分)
已知椭圆 ， 在椭圆 上。
（1） 求 的方程。
（2） 已知 ， 分别为 的左、右顶点， 是 上的一个动点，且在第一象限。
① 证明：直线 与直线 的斜率的乘积为定值。
② 为坐标原点， 是 的上顶点，求四边形 面积的最大值。
19.(17分)
已知函数 。
（1） 当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
（2） 若 在 上单调递减，求 的取值范围；
（3） 已知 ，若存在 ，使得 在 上恰有3个零点，求 的取值范围。
附：。
高二数学训练参考答案
1.D .
2.D对于，，故不是该数列的通项公式.
3.A .
4.C由图象可得，当时，，；当时，，；当时，，；当时，，.综上，的解集为.
5.B .
6.D由题意可得的一条渐近线的倾斜角为，所以，的离心率为.
7.D设底面边长为米，高为米，则，总造价，，当时，，当时，，在上单调递减，在上单调递增，所以当总造价最低时，底面正方形的边长为米.
8.C若体育课安排在最后节，则其余节课的安排方案有种.
若体育课安排在倒数第节，则语文课、数学课可以安排在第，节或第，节，再安排剩余节课，不同的安排方案有种.故共有种不同的安排方案.
9.BCD ，当时，，当时，，在上单调递增，在上单调递减，既有极大值又有极小值，的极小值为，当时，，只有个零点，A错误，B，C均正确.令，则，由，得，，的图象关于点中心对称，D正确.
10.AB ，.因为，所以，.因为，，所以，.
1），.
11.BD ， 所以中的最小项为.
当时，， 所以， ， 即， 恒成立， 由， 解得， 所以， 即.
当时，， 所以. 因为时，， 所以， 所以中的最小项为.
， . 同理， 解得， 所以， 结合， 解得， 所以的取值范围为， ；B，D均正确，C错误.
当时，是常数列，A错误.
12. ， ， .
13. . 当时，在上单调递增， 符合题意. 当时， 令， 解得或， 所以在上单调递增， 符合题意. 当时， 令， 解得或， 令， 解得， 所以在上单调递减， 在上单调递增， 不符合题意. 故的取值范围为.
14.1设三棱锥内切球的球心为， 半径为. ， ， ， ， 中边上的高为， 则， 三棱锥的体积， 解得.
以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则， ， ， ， ， ，
. 设平面 的法向量为 ， 则 取 ， 得 . 点 到平面 的距离 ， 所以点 到平面 的距离的最大值为 .
15. 解：（1） 记 ， 则 ， 所以 ，. 2分
数列 是以 为首项， 为公比的等比数列， 4分
则 ， 即 ， 解得 . 6分
（2） ， 7分
， 8分
两式相减得 10分
， 12分
所以 . 13分
16. 解：（1） 连接 . 因为 平面 ， 所以 . 2分
因为 ， 所以 ， 4分
解得 . 5分
（2） 过点 作 ， 垂足为 .
因为 ， ， 所以 ， . 7分
以 为坐标原点， ， 所在直线分别为 ， 轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则 ， ， ， . 10分
平面 的一个法向量为 . 12分
，，
14分
所以直线 与平面 所成角的正弦值为 . 15分
17. 解：（1） 当 时， ， 符合题意. 1分
, . 2分
当 时， ， 当 时， ， 所以 在 上单调递增.
因为 ， 所以 ， 不符合题意. 4分
同理， 当 时， 不符合题意.
综上, 的值为 . 6分
（2） ， 即 . 7分
令函数 ， 则 ， ，
所以 . 11分
因为 ， 所以 在 上单调递增，
所以 ， 即 . 13分
由 ， 解得 ，
所以 的取值范围为 . 15分
18.（1） 解： 由题意可得 解得 3分
故 的方程为 . 4分
（2） ① 证明： 设 ， 则 ， . 5分
因为 ， ， 所以直线 与直线 的斜率分别为 ， . 7分
，
所以直线 与直线 的斜率的乘积为定值， 且定值为 . 10分
② 解： 设 ， 则 ， . 11分
四边形 的面积 13分
， 16分
当且仅当 ， 即 ， 时， 等号成立，
所以四边形 面积的最大值为 . 17分
19. 解：（1） 当 时， ， . 1分
, . 2分
所求切线方程为 . 3分
（2） .
令函数 ， . 4分
记 的两个根为 ，， 且 .
当 时， ， 当 时， ，
所以 在 ， 上单调递减， 在 上单调递增. 5分
因为 在 上单调递减， 所以 在 上恒成立， 即 在
上恒成立， 所以 ， 且当 时， . 6分
由 ， 解得 ， 7分
此时， .
若 ， 则 ， ， ， 即 .
综上， 的取值范围为 . 8分
（3） 结合（2）可得， 当 时， 在 上单调递减， 不符合题意.
当 时， ， 若 ， 则 ； 若 ， 则 .
记 的两个根为 ，， 且 ， 则 .
当 时， ， 当 时， ，
所以 在 上单调递减， 在 上单调递增. 10分
若 ， 则 ， ， .
.
.
因为，所以，则，在上单调递增. …………
………………………………………………………………………………………… 12分
，同理可得在上单调递增.
，. ………………………………………………………………………… 13分
要使得在上恰有3个零点，则，且当时，. ……
………………………………………………………………………………………… 14分
，即.
当时，，即.
记，，则.
………………………………………………………………………………………… 15分
在上单调递减.
，可得在上单调递增.
，所以的最大值为， ……………………………… 16分
所以.
综上，的取值范围为. ……………………………………………………………………… 17分
[注]第（2）问另解如下：
.
因为在上单调递减，所以在上恒成立，即在上恒成立. ………………………………………………………………………… 4分
令函数，则.
记的两个根为，，且.
当时，，当时，，
所以在，上单调递减，在，上单调递增. ………… 6分
，当时，，，即，
所以的最大值为， ……………………………………………………………………… 7分
所以，故的取值范围为. ……………………………………………………………… 8分

展开更多......

收起↑