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6月练习卷
高二数学
本卷满分150分，考试时间120分钟。
*注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡的指定位置。考试结束后，将答题卡交回。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
3.回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题所给的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的）
1.已知集合，，则的元素个数为
A.0　　　　　 B.1　　　　　 C.2　　　　　 D.3
2.在等差数列中，，，则的公差为
A.1　　　　　 B.2　　　　　 C.3　　　　　 D.4
3.已知集合内的元素个数为2，则
A.0或1　　　 B.1或2　　　 C.0或4　　　 D.1或8
4.若，，成等比数列，，，成等差数列，则
A. 　　　 B. 　　　
C.3　　　　　 D.6
5.已知函数，则
A. 　　　 B. 　　　
C.3　　　　　 D.5
6.已知正数，，满足，则当取最大值时，的最大值为
A. 　　　 B. 　　　
C. 　　　 D.
7.已知函数在上单调递减，则的取值范围为
A. 　　 B. 　　
C. 　　 D.
8.已知函数，点，，，，若，，成等比数列，且曲线在，，三点处的切线的斜率依次成等差数列，则
A. 　　 B. 　　
C. 　　 D.
二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题所给的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9. 已知函数 ，，则
A. 曲线 过定点
B. 有2个极值点
C. 在区间 上单调递减
D.
10. 在等比数列 中，，，则
A. 的公比为2
B. 的前n项和小于
C. 数列 的前n项和不大于
D. 数列 的前n项和小于
11. 记曲线 ，则下列说法错误的是
A. 曲线C上存在横、纵坐标均为整数的点
B. 直线 与曲线C有且仅有3个公共点
C. 曲线C可视为x关于y的函数
D. 若直线 与曲线C有且仅有2个公共点，则
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
12. 已知奇函数 的定义域为R， 为偶函数，则 。
13. 已知 ，则 的最小值为 。
14. 已知等比数列 与等差数列 的各项均为正整数，其公比与公差分别为 ，， 的前n项和为 。若对任意正整数n，，则 。
四、解答题（本大题共5小题，共77分。解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
15.（本小题满分13分）
已知集合 ，。
（1）若 ，求m的取值范围；
（2）若命题“”为真命题，求m的取值范围。
16.（本小题满分15分）
已知函数.
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）若，且有极小值0，求的值.
17.（本小题满分15分）
记为数列的前n项和，已知.
（1）求的通项公式；
（2）求数列的前n项和.
18.（本小题满分17分）
记 为数列 的前 项和，已知 ，。
（1） 求 ；
（2） 证明：。
19.（本小题满分17分）
已知函数 。
（1） 证明： 在 上单调递增；
（2） 设 ，曲线 在点 处的切线方程为 ，证明：当 时，；
（3） 若 时，，求 的取值范围。
参考答案
高二数学
一、单选题
1.C 由题得 ，则 ，得 或 ，则当 时，；当 时，，所以 ，元素个数为2. 故选C.
2.A 由等差数列的性质得 ，则 ，故 的公差为 . 故选A.
3.C 当 时，，不符合题意；当 时，，符合题意；当 时，，，，由元素个数得 ，则 . 综上， 或4. 故选C.
4.D 由题得 ，，则 ，所以 ，得 ，，所以 . 故选D.
5.A 由题得 ，，则 . 故选A.
6.D ，当且仅当 时等号成立，此时 ，当且仅当 时等号成立，所以 的最大值为 . 故选D.
7.C 因为 ，所以 ，因为 在 上单调递减，所以 在 上恒成立，即 在 上恒成立，令 ，，易知 在 上单调递增，所以 ，所以 . 故选C.
8.B 由 ，得 ，设 ，，因为曲线 在 ，， 三点处的切线的斜率依次成等差数列，所以 ，即 ，化简得 ，又 ，所以 ，因为 ，所以 ，则 . 故选B.
二、多选题
9.ABD 对于A，由 ，可知曲线 过定点 ，故A正确；对于B，由题得 ，当 时，， 单调递增；当 时，， 单调递减；当 时，， 单调递增，所以 有2个极值点，且在 上单调递增，故B正确，C错误；对于D，因为 在 上单调递增，所以由 ，得 ，故D正确. 故选ABD.
10.ABD 对于A，设 的公比为 ，则 ，所以 ，故A正确；对于B，由题得 ，其前 项和为 ，故B正确；对于C，（此处解析未完整，按原文呈现）
，其前项和为，当时，，故C错误；对于D，，其前项和为，故D正确，故选ABD。
11.BCD 对于A，易知点在曲线上，故A正确；对于B，将代入，得，，所以直线与曲线有且仅有2个公共点，，故B矛盾；对于C，令，此时有3个解，与函数定义矛盾，故C错误；对于D，将代入，得。考虑时，只要函数的零点个数为2即可，，由三次函数性质知有两个极值点，，注意到，故由2个零点知，即，即，设，注意到，，可知存在，使得曲线与直线的公共点个数为2，故D错误。故选BCD。
三、填空题
12.0 因为为偶函数，所以，则，所以。故答案为0。
13. 因为，所以，所以，当且仅当时等号成立，所以的最小值为。故答案为。
14.4 因为等差数列的各项均为正整数，所以公差为非负整数，由等差数列的通项公式可得，则。当时，，则。因为等比数列的各项均为正整数，所以，若，则，不成立，故，且显然。当时，，整理可得，即，由等比数列的定义可得，则。因为与互质，所以要使对于任意正整数，均为整数，必须满足分母能够整除首项，若，则必然存在某个正整数使得，此时不可能为整数，故，则，所以，，则。故答案为4。
四、解答题
15.解：（1）由题得，（2分）
，且，
，解得，
的取值范围为。（6分）
（2）命题“”为真命题，
，（9分）
又，，
或，即或，
的取值范围为。（13分）
16. 解：（1） 当时，，
则，（2分）
所以，
又，
所以曲线在点处的切线方程
为，即。（4分）
（2） 因为，
所以
，（6分）
①当，即时，，
由，得或；
由，得，
所以在上单调递增，
在上单调递减，在上单调递增，
此时的极小值为，不符合题意；（9分）
②当，即时，，
此时恒成立，无极值，不符合题意；（11分）
③当，即时，，
由，得或；
由，得，
则在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
则的极小值为，
解得，符合题意。（14分）
综上，。（15分）
17. 解：（1） 因为，
所以，
两式相减并整理得，（3分）
则，（4分）
当时，，则，（5分）
所以，则，（7分）
所以。（8分）
（2），（9分）
则，
，（11分）
两式相减得
，（14分）
故。（15分）
18. 解：（1） 因为，，
所以当时，，
得；（2分）
当时，，
得。（4分）
（2） 因为，
所以，
两式相减得，
则。（6分）
当时，；（7分）
当时，，（8分）
设，，
则，
所以在上单调递增，（10分）
所以由，
得，
故，，
则，，（12分）
设，，
则，
所以在上单调递减，（14分）
所以由，
得，，
则，
则，
故，。（16分）
综上，。（17分）
19. 解：（1）因为，
所以，（1分）
当时，；
当时，，
故，
所以在上单调递增。（3分）
（2）由题可得，
则
，（5分）
设，
则，
设，
则，
设，则，
所以即单调递增，（7分）
又，
所以当时，，即单调递减；
当时，，即单调递增，
因为，
所以当时，，单调递减；
当时，，单调递增，（9分）
又，结合单调性可知，
即当时，。（10分）
（3）当时，，
即当时，，
设，，
则
，（11分）
设，，
则，（12分）
由（2）可得，所以在上单调递增，
则，
所以，则在上单调递增，（13分）
当时，取，
则
，不符合题意；（14分）
当时，设，
则，
由（2）可知在上单调递增，
所以在上单调递增，
则，
所以在上单调递增，
则，即，
所以，
所以符合题意。（16分）
综上，的取值范围是。（17分）

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