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6月练习卷
高一数学
本卷满分150分，考试时间120分钟。
*注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡的指定位置。考试结束后，将答题卡交回。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
3.回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题所给的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的）
1.已知向量a=(1,2)，则a4=
A.9 ?? B.25 ?? C.49 ?? D.81
2.若3sinα=2cos2α，则sinα=
A. ?12 ?? B. ?2 ??
C. 2 ?? D. 12
3.若z+3z?=4+4i，则z?的实部与虚部之和为
A. ?3 ?? B. ?1 ??
C. 1 ?? D. 3
4.已知圆锥的底面面积为6π，体积为4π，则其母线长为
A. 5 ?? B. 6 ??
C. 10 ?? D. 13
5.若z1，z2为方程z2+4z+6=0的两个不等的复数根，则1z1+1z2=
A. ?23 ?? B. ?13 ??
C. 13 ?? D. 23
6.在?ABC中，角A，B，C对应的边分别为a，b，c，若c(c+b)=(a+b)(a?b)，C=2B，则B=
A. π18 ?? B. π9 ??
C. π6 ?? D. 2π9
7.记坐标原点为O，已知AB→=(6,2)，C(0,1)，若A，B，C三点共线，则OA的最小值为
A. 1010 ?? B. 105 ??
C. 31010 ?? D. 2105
8. 已知函数 f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π) 与 g(x)=sin(φx+π3) 的图象重合，则 fg?52=
A. ?sin1 B. ?1
C. 0 D. 1
二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题所给的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9. 已知圆台的上底面半径 r=2，下底面半径 R=3，圆台有内切球，则
A. 圆台的母线长为5
B. 圆台的高为 26
C. 圆台内切球的半径为 2
D. 圆台的侧面积为 36π
10. 已知函数 f(x)=tan2x+2π3，则
A. f(x)=tan2x?π3
B. f(x) 的定义域为 {x|x≠?π12+kπ2,k∈Z}
C. 曲线 y=f(x) 关于点 11π12,0 对称
D. f(2026π)=3
11. 在 ?ABC 中，设 AB→=a，AC→=b，且 0<2a·b<|a|2<|b|2，则
A. BC>AB>AC
B. AB→·BC→<0
C. 设 BC 的中点为 D，则 AD>12AC
D. ?ABC 三条边的平方和小于 2AB2+2AC2
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
12. 由斜二测画法得到的一个水平放置的三角形的直观图是腰长为2的等腰三角形 O'A'B'（如图所示），且 ∠A'O'B'=∠O'A'B'=30°，则原平面图形的面积是 ????????????。
13. 棱长为2的正方体 ABCD?A1B1C1D1 中，记 M 为 AB 的中点，则过 D1，M，C 三点作正方体的截面所得图形的周长为 ????????????。
14. 已知曲线 y=sinωx(ω>0)，x∈0,πω 上有三点 A，B，C，它们的纵坐标分别为 0，1，13，且 AC→ 在 AB→ 上的投影向量为 AB→，则 sin4ω23π= ????????????。
四、解答题（本大题共5小题，共77分。解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
15.（本小题满分13分）
已知复数z=2a+b?1+(2?a)i，a,b∈?。
（1）当b=0时，若|z|=2，求a；
（2）当b=3a2时，若z在复平面内对应的点在第一象限，求a的取值范围。
16.（本小题满分15分）
已知函数f(x)=sin4x?cos4x+(sinx+cosx)2。
（1）证明：f(x)>?cos2x；
（2）求f(x)的值域。
17.（本小题满分15分）
如图，将一正方体实心铁块沿面对角线进行切割，得到剩余几何体ABCDEF。已知AB=4（单位：分米）。
（1）证明：平面ACD∥平面BEF；
（2）已知得到的几何体铁块有6个面积较小的截面和2个面积较大的截面。现进行喷漆，要求对于较小面积的截面喷洒蓝漆，较大面积的截面喷洒红漆，已知蓝漆与红漆的价格分别为2元/平方分米和3元/平方分米，求该次喷漆的总花费（结果保留整数）。
附：3≈1.732
18.（本小题满分17分）
在△ABC中，cosA=23，sinC=66，△ABC的面积为6。
（1）证明：C为锐角；
（2）求sinB；
(3)求△ABC的外接圆面积。
19.（本小题满分17分）
设函数f(x)=cos2x?sin2x+14sin2xsin4x。
（1）求f5π3的值；
（2）求方程f(x)=sinx的最小的7个正实数解之和；
（3）已知a，b均为正数，若对?x∈R都有af(x)≥bcosx?1，求a+b的最大值。
参考答案
高一数学
一、单选题
1.B a4=(a2)2=(1+4)2=25，故选B.
2.D 由题得3sinα=2?2sin2α，整理可得(2sinα?1)(sinα+2)=0，解得sinα=12。故选D.
3.D 不妨设z=a+bi,a,b∈R，则z+3z?=a+bi+3(a?bi)=4a?2bi=4+4i，于是{4a=4?2b=4，可得{a=1b=?2，故z?的实部与虚部之和为t=a+(?b)=3。故选D.
4.C 记圆锥高为h，底面半径为r，因为该圆锥底面面积为6π，所以πr2=6π，故底面半径r=6。体积V=13·πr2·h=4π，解得h=2，故母线长l=(6)2+22=10。故选C.
5.A 由韦达定理得z1+z2=?4，z1z2=6，1z1+1z2=z1+z2z1z2=?23。故选A.
6.B 由c(c+b)=(a+b)(a?b)和余弦定理得a2=b2+c2+bc=b2+c2?2bccosA，可得cosA=?12，由A∈(0,π)得A=2π3，故由π=A+B+C=2π3+3B得B=π9。故选B.
7.C 不妨设A(x,y)，则CA→=(x,y?1)，由三点共线可得AB→∥CA→，即6(y?1)=2x，x=3y?3，此时OA=x2+y2=(3y?3)2+y2=10y2?18y+9=10y?9102+910≥31010，当且仅当y=910时等号成立。故选C.
8.C 由重合得2πω=2πφ，ω=φ，由sin(φx+φ)=sinφx+π3得φ=π3+2kπ,k∈Z，由0<φ<π得φ=π3，于是f(x)=g(x)=sinπ3x+π3，此时g?52=sin?5π6+π3=?1，故fg?52=f(?1)=sin?π3+π3=0。故选C.
二、多选题
9.AB 有内切球的圆台满足性质：母线长l=R+r=5，圆台高h=l2?(R?r)2=(R+r)2?(R?r)2=2Rr=26，内切球直径等于圆台的高26，故半径为6；圆台侧面积S侧=π(R+r)l=π(R+r)2=25π。故A，B正确，C，D错误。故选AB.
10.ABC A选项，f(x)=tan2x+2π3?π=tan2x?π3，故A正确；B选项，记k∈Z，由2x+2π3≠π2+kπ得x≠?π12+kπ2，故B正确；C选项，f11π6?x=tan13π3?2x=tanπ3?2x=?f(x)，可得曲线y=f(x)关于点11π12,0对称，故C正确；D选项，f(2026π)=tan2π3=?3，故D错误。故选ABC.
11.BCD 因为BC→=b?a，所以|BC→|2=|b|2+|a|2?2a·b，由2a·b<|a|2得?2a·b>?|a|2，则|BC→|2>|b|2，即BC>AC，又|a|2<|b|2即ABAC>AB，故A错误；因为AB→·BC→=a·(b?a)=a·b?|a|2，由2a·b<|a|2且a·b>0得a·b<12|a|2<|a|2，故AB→·BC→<0，故B正确；由题意可得AD→=12(a+b)，则|AD→|2?12AC→2=14|a+b|2?14|b|2=14(|a|2+2a·b)，因为|a|2>0且a·b>0，故上式大于0，即AD>12AC，故C正确；因为BD→=AD→?AB→=12(a+b)?a=12(b?a)=12BC→，故D正确。故选BCD.
12.ABD 由f(x)=sin(ωx+φ)ω>0,|φ|<π2的部分图象知T2=5π12??π12=π2，所以T=π，ω=2πT=2，由2×5π12+φ=π2+2kπ,k∈Z得φ=?π3+2kπ,k∈Z，又|φ|<π2，所以φ=?π3，所以f(x)=sin2x?π3。对于A，fπ3=sin2π3?π3=sinπ3=32≠0，所以π3,0不是f(x)的对称中心，A错误；对于B，由2kπ?π2≤2x?π3≤2kπ+π2,k∈Z得kπ?π12≤x≤kπ+5π12,k∈Z，当k=0时，单调递增区间为?π12,5π12，所以f(x)在0,π4上单调递增，B正确；对于C，fx?π12=sin2x?π12?π3=sin2x?π2=?cos2x，是偶函数，C正确；对于D，f(x)=sin2x?π3=cos2x?π3?π2=cos2x?5π6=cos2x+7π6，所以g(x)=cos2x+7π6，g(x)的最小正周期为2π2=π，D错误。故选ABD.
>12AC，故C正确；三边平方和为|a|2+|b|2+|b?a|2=2|a|2+2|b|2?2a·b，因为2a·b>0，故2|a|2+2|b|2?2a·b<2|a|2+2|b|2=2AB2+2AC2，故D正确.故选BCD.
三、填空题
12.26 由题意可知∠A'O'B'=∠O'A'B'=30°，O'B'=A'B'=2，则∠A'B'O'=120°，可得S?A'B'O'=12O'B'·A'B'·sin∠A'B'O'=12×2×2×32=3，所以原平面图形的面积是22S?A'B'O'=26.故答案为26.
13.32+25 如图，取棱AA1的中点N，连接ND1，NM，A1B，CD1，因为A1D1∥BC且A1D1=BC，所以四边形BCD1A1为平行四边形，所以A1B∥CD1.又因为M，N分别是AB，AA1的中点，由中位线定理得MN∥A1B，再由A1B∥CD1，所以MN∥D1C，即C，M，N，D1四点共面，所以四边形CMND1为截面图形，且截面为等腰梯形，由棱长为2，所以CM=ND1=5，CD1=2MN=22，所以截面的周长为32+25.故答案为32+25.
14.223 显然A(0,0)，Bπ2ω,1，不妨设C0,13，由投影向量关系可得AB⊥BC，即AB→·BC→=0，显然θ∈π2ω,πω，AB→=π2ω,1，BC→=θ?π2ω,?23，可得π2ωθ?π2ω=23，θ=4ω3π+π2ω，sinωθ=sin4ω23π+π2=cos4ω23π=13，而0<πω可得0<4ω23π<π2，于是sin4ω23π=1?cos24ω23π=223.故答案为223.
四、解答题
15.解：（1）|z|=(2a?1)2+(2?a)2 =5a2?8a+5=2， （3分） 得5a2?8a+3=0， （4分） 解得a=35或a=1. （6分）
（2）此时z=3a2+2a?1+(2?a)i， （7分） 由在第一象限得{3a2+2a?1=(3a?1)(a+1)>02?a>0 （10分） 可得a的取值范围是(?∞,?1)∪13,2. （13分）
16.解：（1）注意到f(x)=sin4x?cos4x+(sinx+cosx)2?cos4x=?cos2x·cos2x≥?cos2x， （3分） 注意到取等条件应有sinx=0且sinx+cosx=0，矛盾. （5分） 故f(x)>?cos2x. （6分）
（2）展开并由辅助角得f(x)=sin4x?cos4x+(sinx+cosx)2=sin2x+2sinxcosx+cos2x?(cos2x?sin2x)(cos2x+sin2x)=1+sin2x?cos2x =2sin2x?π4+1， （11分） 由三角函数性质得f(x)的值域为[1?2,1+2]. （15分）
17.解：（1）因为ED∥BC且ED=BC， 所以四边形BCDE为平行四边形， （2分） 所以BE∥CD， 又BE?平面ACD，CD?平面ACD， 故BE∥平面ACD， （4分） 同理BF∥平面ACD， （5分） 由BE∩BF=B，BE?平面BEF，BF?平面BEF， 可得平面ACD∥平面BEF. （7分）
（2）由勾股定理得EF=ED2+FD2=42， （8分） 显然?BEF与?ACD均为等边三角形， （9分） 6个较小的截面面积S1=6×12×4×4=48， （11分）
2个较大的截面面积 S2=2×34×(42)2=163. （13分）
于是总花费 T=2S1+3S2=96+483≈179， （14分）
故喷漆总花费约为179元.（15分）
18. 解：（1） 注意到 sinC=66<12，
由 C∈(0,π) 得 0而 0于是 C=π?A?B<3π4， 故 0故 C 为锐角， 得证.（5分）
（2） 此时 cosC=1?sin2C=306， （6分）
而 sinA=1?cos2A=53， （7分）
于是 sinB=sin(A+C)=sinAcosC+sinCcosA
=53×306+66×23=7618. （10分）
（3） 记 ?ABC 的外接圆半径为 R，
注意到 ?ABC 的面积 S=S2S
=12×AB×AC×sinA×12×AB×BC×sinB12×AC×BC×sinC
=AB2sinAsinBsinC2sin2C=AB22sin2C×53×7618×66
=7527×AB24sin2C=6， （15分）
于是由正弦定理得 ?ABC 的外接圆面积 S0=πR2
=π×AB2sinC2=π×6×2775=162535π. （17分）
19. 解：（1） 化简函数 f(x)=(cos4x+sin4x)(cos4x?sin4x)+2sin2x·cos2x·cos2x
=[(cos2x+sin2x)2?2cos2x·sin2x](cos2x?sin2x)+2sin2x·cos2x·cos2x
=(1?2cos2x·sin2x)·cos2x+2sin2x·cos2x·cos2x=cos2x. （3分）
易得 f5π3=cos10π3=cos4π?2π3
=cos2π3=?12. （4分）
（2） 由 f(x)=cos2x， 可得 cos2x=sinx，
∴cos2x=1?2sin2x=sinx，
∴2sin2x+sinx?1=0， （6分）
解得 sinx=12 或 sinx=?1， （7分）
∴ 此方程最小的7个正实数解之和为： π6+5π6+3π2+13π6+17π6+7π2+25π6=91π6. （9分）
（3） 已知 acos2x≥bcosx?1 恒成立，
即 2acos2x?bcosx?a+1≥0 恒成立，
设 cosx=t∈[?1,1],
则有 ?t∈[?1,1],2at2?bt?a+1≥0 恒成立，
设 g(t)=2at2?bt?a+1， （11分）
① 1≤b4a 时， 要满足题意则需 g(t)min=g(1)=a?b+1≥0， 即 a+1≥b≥4a，
∴a≤13，∴a+b≤a+a+1≤53; （13分）
② 0设 a+b=m，m>0， 则 b=m?a，
代入 b2+8a(a?1)≤0，
得 (m?a)2+8a(a?1)≤0，
整理得 9a2?2(m+4)a+m2≤0，
要满足题意则此不等式有解， 即 4(m+4)2?36m2≥0， 解得 0当 a=23，b=43 时取等号， 即 a+b=2. （16分）
综上所述， a+b 的最大值为2.（17分）

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