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沈阳二中28届学年度下学期阶段能力测试
数学试题
说明：1.测试时间：120分钟 总分：150分
2.客观题涂在答题纸上，主观题答在答题纸的相应位置上
第I卷（58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 关于下列命题正确的是（ ）
①用任意一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分为棱台；②有两个面平行且相似，其他各个面都是梯形的多面体是棱台；③直三棱柱的任意两个侧面的面积之和大于第三个侧面的面积；④有两个面互相平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的多面体是棱柱
A. ①④ B. ②③ C. ③④ D. ①③
2. 已知平面向量，，则在上的投影向量为（ ）
A. B.
C. D.
3.在复平面内，O为坐标原点，复数对应的点为A，复数对应的点为B，复数对应的点为C，若，则m的值为（ ）
A. B.
C. D.
4. 瓷器是由瓷石、高岭土、石英石、莫来石等烧制而成的，其外表施有玻璃质釉或彩绘.通过在窑内的高温烧制，瓷器表面的釉色会因为温度的不同从而发生各种化学变化.某瓷器可近似地看作由一个半球、一个圆柱和一个圆台构成的组合体，如图所示，该瓷器的体积为（ ）
A.556π B.900π C.732π D.588π
5. 如图，公路北侧有一幢楼，高为60米，公路与楼脚底面在同一平面上. 一人在公路上向东行走，在点A处测得楼顶的仰角为，行走80米到点B处，测得仰角为，再行走80米到点C处，测得仰角为，则 （ ）
A. B.
C. D.
6. 在中，角，，所对应的边分别为，，，. 若，则
A.3或
B.3或
C.
D.
7. 《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早1000多年，在《九章算术》中，将底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为堑堵，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马，将四个面均为直角三角形的四面体称为鳖臑. 如图在堑堵中，，，，分别为棱，的中点，则下列结论正确的是
A. 四面体不是鳖臑
B. 与平面相交
C. 若，则与所成角的余弦值为
D. 平面截该三棱柱所得截面为梯形
8. 已知，，是平面向量，是单位向量，若非零向量与的夹角为，向量满足，则的最小值是
A. B.
C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求. 全部选对的得6分，部分选对的得部分分.
9. 下列说法正确的是
A. 若则
B. 若，则
C. 若且，则
D. 若，则
10. 如图，三棱锥中，平面，，则下列条件中可使三棱锥体积唯一确定的是（ ）
A. ，， B. ，，
C. ，， D. ，，
11. 已知圆锥的顶点为，底面的圆心为，，该圆锥的侧面展开图是中心角为的扇形，点，，是底面圆周上三个不同的动点，则下列结论正确的是（ ）
A. 该圆锥的侧面积为
B. 过顶点的该圆锥截面面积的最大值为
C. 当时，二面角的正切值为
D. 若且，为线段上动点，则的最小值为
第II卷（92分）
三、填空题：本题共3小题，每题5分，共15分.
12. 函数的对称中心为 ．
13. 若在斜二测画法得到的直观图中，，分别是，上的单位向量，定义：若，则点在直观图的坐标系中的坐标为．已知在直观图的坐标系中的点坐标为，则可以是 ．
14. 在正四棱柱中，底面边长为3，侧棱长为4，为平面内一动点，且满足，则所有满足条件的点所围成平面区域的面积是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分.
15.（13分） 已知函数．
（1） 求函数的单调递增区间及在上的值域；
（2） 若为锐角且，求的值．
16.（15分） 如图所示，已知四边形 是正方形，四边形 是矩形， 是线段 的中点.
（1）求证： 平面 ；
（2）若平面 平面 ，平面 平面 ，试分析 与 的位置关系，并证明你的结论.
17.（15分） 在中，，若，，
（1）求的大小；
（2）若以为底面的直三棱柱的所有顶点均在半径为的球的球面上，求直三棱柱的体积.
18.（17分） 如图，在中，，，，点、是线段上（包括端点）的动点， （在，之间），不变.
（1） 若，求的长；
（2） 求的取值范围；
（3） 求的最小值.
19.（17分） 如图，已知三棱柱中，，，侧面为矩形，，将绕翻折至，使得在平面内.
（1） 求证： 平面；
（2） 试判断与平面的位置关系并说明理由；
（3） 求直线与平面所成角的余弦值.
沈阳二中28届学年度下学期阶段能力测试
数学试题
说明：1.测试时间：120分钟 总分：150分
2.客观题涂在答题纸上，主观题答在答题纸的相应位置上
第I卷（58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 关于下列命题正确的是（C）
①用任意一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分为棱台；②有两个面平行且相似，
其他各个面都是梯形的多面体是棱台；③直三棱柱的任意两个侧面的面积之和大于第三个侧
面的面积；④有两个面互相平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都互
相平行的多面体是棱柱
A. ①④ B. ②③ C. ③④ D. ①③
【解】C
对于①，用平行于底面的平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分为棱台，①错误；
对于②，根据棱台的定义，棱台的侧棱延伸后必须交于同一点，故②错；
对于③，因为直三棱柱的侧面都是矩形，则侧面积为底乘高，而高相等，
由于三棱柱的底面上任意两边的和大于第三边，
所以任意两个侧面的面积之和大于第三个侧面的面积，故③正确
对于④，由棱柱定义④正确. 故选：C；
2. 已知平面向量，，则在上的投影向量为（ A ）
A. B.
C. D.
【解】A
由题意可得，，
则在上的投影向量．故选：A.
3.在复平面内，O为坐标原点，复数对应的点为A，复数对应的点为B，复数
对应的点为C，若，则m的值为（C）
A. B.
C. D.
【解】C
复数，则，复数，则，
故，复数对应的点为，则，
因为，所以，解得。故选：C。
4. 瓷器是由瓷石、高岭土、石英石、莫来石等烧制而成的，其外表施有玻璃质釉或彩绘。
通过在窑内的高温烧制，瓷器表面的釉色会因为温度的不同从而发生各种化学变化。某瓷器
可近似地看作由一个半球、一个圆柱和一个圆台构成的组合体，如图所示，该瓷器的体积为
(D)
A. B.
C. D.
【解】D
由题图可知，半球和圆柱的半径为，圆柱的高为，圆台的上底面半径为，下底面半径
为，高为，所以该瓷器的体积为，
故选：D
5. 如图，公路北侧有一幢楼，高为米，公路与楼脚底面在同一平面上。一人在公路上向
东行走，在点处测得楼顶的仰角为，行走米到点处，测得仰角为，再行走
米到点处，测得仰角为，则 （C）
A. B.
C. D.
【解】C
由为楼脚，长为楼高，则，易得，。
由，，
又，，两式相加得，
所以，则，故。故选：C
6. 在\(\triangle ABC\)中，角\(A，B，C\)所对应的边分别为\(a，b，c\)，\(\ \sin()\sin 2B\)。若\( \\pi}{3}\)，则\(\(\)A \（ ）\)
A. 或
B. 或
C.
D.
【解】A
由得
，。
当时，，由于，所以，所以。
当时，，所以，。综上所述，本小题选A。
7. 《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早1000多年，在《九章算术》中，将底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为堑堵，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马，将四个面均为直角三角形的四面体称为鳖臑。如图在堑堵\(\)中，\(AB \perp AC\)，\(\)，\(D\)，\(E\)分别为棱\(\)，\(\)的中点，则下列结论正确的是(\(C\))
A. 四面体不是鳖臑
B. 与平面相交
C. 若，则与所成角的余弦值为
D. 平面截该三棱柱所得截面为梯形
【解】C
对于A，在堑堵中，平面，、、平面，
所以，，，所以、均为直角三角形，
因为，所以为直角三角形，且，、平面，所以平面，平面，所以，所以为直角三角形，所以四面体为鳖臑，故A错误；
对于B，如图，连接、相交于点，所以点为的中点，连接、所以，，因为，，所以，所以四边形为平行四边形，所以，因为平面，平面，所以平面，故B错误；
对于C，，由B选项知，，所以与所成角即与所成角或其补角，因为，所以，连接，所以，所以，所以，在中，由余弦定理得，故C正确；
对于D，一般四边形不是梯形。故选：C
8. 已知，，是平面向量，是单位向量，若非零向量与的夹角为，向量满足，则的最小值是（A）
A. B.
C. D.
【解】A
设，共起点，由，可得，所以与垂直，如图，由向量减法的几何意义可知，向量的终点落在图中的圆上，由题意可知的终点在图中所示的射线上，所以是从圆上的点到射线上的点形成的向量，
要求的最小值，只需求圆心到射线的距离减去圆的半径，
故的最小值为． 故选：A．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分．
9．下列说法正确的是（ABD）
A．若则
B．若，，则或
C．若且，则
D．若，则
【解】ABD
10. 如图，三棱锥中，平面，，则下列条件中可使三棱锥体积唯一确定的是（ACD）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
【解】ACD
设，
对于A，由，可得，，
在中，由余弦定理得，解得，
所以唯一确定，故三棱锥的体积唯一确定，A正确；
对于B，在中，由正弦定理得，即，
解得，所以或，故B错误；
对于C，因为平面，所以，又，，
所以平面，则。设，则，，
故三棱锥的体积唯一确定，C正确；
对于D，由的三边已知，故三棱锥的底面积确定，
又，所以，所以三棱锥体积唯一确定，D正确。
故选：ACD。
11. 已知圆锥的顶点为，底面的圆心为，，该圆锥的侧面展开图是中心角为的扇形，点，，是底面圆周上三个不同的动点，则下列结论正确的是（AC ）
A. 该圆锥的侧面积为
B. 过顶点的该圆锥截面面积的最大值为
C. 当时，二面角的正切值为
D. 若且，为线段上动点，则的最小为
【解】AC
第II卷（92分）
三、填空题：本题共3小题，每题5分，共15分.
12. 函数的对称中心为 。
【解】
令，解得，
所以函数的对称中心为。故答案为：。
13. 若在斜二测画法得到的直观图中，，分别是，上的单位向量，定义：若，则点在直观图的坐标系中的坐标为。已知在直观图的坐标系中的点坐标为，则可以是 。
【解】（或）任意写一个都算对。
如下图所示，根据斜二测画法得到直观图，
当坐标轴夹角为时，运用余弦定理可知。
当坐标轴夹角为时，运用余弦定理可知。
故答案为：\（（或\（），任意写一个都算对。
14. 在正四棱柱中，底面边长为，侧棱长为，为平面内一动点，
且满足，则所有满足条件的点所围成平面区域的面积是 。
【解】
四、解答题：本题共\（5\）小题，共\（77\）分。
15.（分）已知函数。
（1） 求函数的单调递增区间及在上的值域；
（2） 若为锐角且，求的值。
【解】（1），；（2）。
（1）依题意，函数
由，解得，
所以函数的单调递增区间为；（分）
由，得，，，
所以当，的值域为。（分）
（2）由（1）知，，由，得，（分）
由，得，所以，
，（分）
所以
-----------------（13分）
16.（15分）如图所示，已知四边形 是正方形，四边形 是矩形， 是线段 的中点.
（1）求证： 平面 ；
（2）若平面 平面 ，平面 平面 ，试分析 与 的位置关系，并证明你的结论.
【解】（1）令 ，连 ，如图，
四边形 是正方形，即 是 中点，而 是矩形 边 的中点，则有，且 ，于是得四边形 为平行四边形，则 ，又 平面 ， 平面 ，所以 平面 . -----------------（7分）
（2）， -----------------（9分）
由（1）知， 平面 ，又 平面 ，平面 平面 ，因此，， 平面 ，又 平面 ，平面 平面 ，因此，，所以 . -----------------（15分）
17.（15分）在 中，，若 ，，
（1）求 的大小；
（2）若以 为底面的直三棱柱 的所有顶点均在半径为 的球的球面上，求直三棱柱 的体积.
【解】
（1）因为 ，所以.
， -----------------（6分）
解得，又，所以； -----------------（7分）
（2）在中，由余弦定理，
得到，解得，——（9分）
所以外接圆的直径为，解得，——————（11分）
设直三棱柱的高为，其外接球的半径为，
则，即，解得，
又的面积为，
所以直三棱柱的体积为.——————————（15分）
18.（17分）如图，在中，，，，点、是线段上（包括端
点）的动点，（在，之间），不变.
（1） 若，求的长；
（2） 求的取值范围；
（3） 求的最小值.
【解】（1）；——————————————（3分）
（2） 设，由正弦定理，，，
所以，。——————————（6分）
因此。——————————（8分）
。——————————（10分）
（3） 当最小时，最小。又，
，
，
19.（17分）如图，已知三棱柱 中， 为矩形，， 绕 翻折至
（1） 求证： 平面
（2） 试判断 与平面 的位置关系并说明理由；
（3） 求直线 与平面 所成角的余弦值。
【解】（1） ，，得 面 。
---------（4分）
（2） 面 ---------（5分）
连接 ， 知
又 ，平面 平面 。
因为 平面 ， 平面 。
（3） 设 ，，设 到平面 的距离
，。
，，
，\( \sin\ >\\sqrt{6}}{6}>，\( \cos\ >\\sqrt{30}}{6}>。
，， 侧面
，使得 在平面 内.
____________ （7分）
____________ （9分）
____________ （10分）
为h，____________ （12分）
____________ （13分）
____________ （15分）
____________ （17分）

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