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2026年高一年级部分学生调研检测
数学试题
2026.06
本试卷共4页，19题. 全卷满分150分. 考试用时120分钟.
注意事项：
1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号. 回答非选择题时，将答案写在答题卡上. 写在本试卷上无效.
3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.
A. B.
C. D.
2. 已知为所在平面内一点，且，则可表示为
A. B.
C. D.
3. 为响应教育部普及全学段人工智能通识教育的号召，某校开展了AI知识线上答题活动，根据成绩得到如图所示的频率分布直方图，则估计该校学生的平均成绩为
A.70 B.68 C.66 D.65
4. 一水平放置的平面四边形的直观图如图所示，其中，轴，轴，轴，则四边形的周长为
A. B.
C. D.
5. 已知圆台的侧面积等于上下两个底面面积之和，且圆台的母线和下底面所成的角为，则圆台上下两个底面面积之比为
A. B.
C. D.
6. 已知平面向量，，，，与夹角为，且对任意恒成立，则的最小值
A. B.
C.4 D.
7. 我国传统古建筑经常采用榫卯交叉结构，如图所示的榫卯交叉结构是：两个完全相同的正四棱柱垂直贯穿拼接成一个装饰多面体，其中一个四棱柱的侧棱与另一个四棱柱的侧棱垂直，两个四棱柱分别有两条相对的侧棱交于两点，另外两条相对的侧棱交于一点.已知正四棱柱底面边长为，侧棱长为4，则该榫卯交叉结构的体积为
A. B.
C. D.
8. 已知平面上的点，，，，，满足，且，则下列式子一定不成立的是
A. B.
C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求. 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 在平面直角坐标系中，向量，如图所示，则
A.
B. 在上的投影向量为
C. 存在实数，使得
D. 存在实数，使得
10已知虚数满足. 记，则
A 为纯虚数
B.
C. 若，则为纯虚数
D. 记，，则的最小值为
11. 如图，矩形中，，，为边上的一点. 现将沿着折起，使点到达点的位置，点在平面内的射影在线段上，则
A. 存在，使得平面
B存在，使得平面
C. 的取值范围为
D. 与平面所成角最大为
三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分.
12. 若一组整数数据：，，，，，，，，，的第75百分位数是，则可以是 （写出其中一个即可）.
13. 已知正四棱柱的底面边长为，高为1，，，，，为中点，则的最小值为 .
14. 在锐角中，角，，的对边分别为，，，的面积，则的取值范围为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. （13分）
如图，为完善山区森林防火预警网络，林业公益小队操控固定高度巡航无人机开展山林测绘，计划在，两处制高点布设火情监测摄像头. 无人机在处测得山顶，的俯角分别为，，沿水平方向行驶到达处，在处测得山顶，的俯角分别为，. ，，，在同一铅锤平面内.
（1）求，间的距离；
（2）求，间的距离.
16. （15分）
在中，，，和相交于点，是的中点.
（1）用，表示；
（2）若，，，求.
17. （15分）
已知总体划分为两层，通过分层随机抽样，各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为：，，，，，记总的样本平均数为，样本方差为。
（1）证明：；
（2）若第一层抽取的样本量，平均数，方差为；第二层抽取的样本量，平均数，方差为，若两层合并后的方差为，且，试判断与的大小关系，并证明你的结论。
18. （17分）
如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，，，点为的中点，，平面，且。
（1）证明：平面；
（2）求平面与平面所成二面角的正弦值；
（3）在棱上是否存在一点，使，，，四点在半径为的同一个球面上. 若存在，求的值；若不存在，请说明理由。
19. （17分）
已知锐角的内角，，所对的边分别为，，，的垂心为，外心为。
（1）证明：；
（2）若。
（ⅰ）求；
（ⅱ）设的重心为，内心为，且，，求。
2026年高一年级部分学生调研检测数学参考答案
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.
1--8：B A B D C D C D
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.
9．BC 10．ACD 11．BCD
三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分.
12．6或7或8（写出其中一个即可）； 13．； 14．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15．（13分）
（1）在中，由正弦定理，，
∴AM22=4632 4分
解得AM=8，∴A，M间的距离为8km 6分
（2）在 ABN中，由正弦定理得ANsin120°=ABsin30°，则AN=122 8分
在中，由余弦定理得
=82+(122)2-1922·22=160 11分
MN=410，所以M，N间的距离为410km 13分
16．（15分）
（1）由题意，不妨设， ，
则可以得到：
AP→=AC→+CP→=AC→+tCD→=2t3AB→+(1-t)AC→ 3分
由于，不共线，所以可得：，解得
所以AP→=25AB→+25AC→ 7分
（2）因为，所以，
所以， …………………… 9分
，
， …………………… 12分
所以 …………………… 15分
17．（15分）
解：（1）根据方差的定义可得， …………… 2分
所以，
又
又 ……………………………… 6分
又，
所以，
同理，
所以
所以s2=mm+ns12+(x -z )2+nm+ns22+(y -z )2 10分
（2）s12>s22， 11分
证明如下：
z =25×65+35×75=71 12分
合并后的方差
，
s12>s22+40，s12>s22 15分
18．（17分）
解：（1）证明：因为底面为直角梯形，，，所以
=-AB→·AB→+BC→·AD→=-8+8=0，所以AC⊥BD 2分
又平面，平面，所以
又平面，平面，且，所以平面......4分
（2）设平面与平面的交线为，因为，可得平面
由线面平行的性质得，，因为为的中点，，
所以，为，的中点，由勾股定理得
，所以，
所以PE⊥AD 6分
，因为
所以
如图，连接，易得，
所以为平面与平面所成的锐二面角
在中，，
所以平面PAD与平面PBC所成二面角的正弦值为223 8分
（3）假设，，，四点在半径为的同一个球面上，
设球心为，因为，
为的中点，
且平面，所以在直线上，
如图过作，，垂足分别为，，
显然FH⊥平面ABCD，FH=ON，OH=NF 10分
设，
所以，，，
在 QOD中，由勾股定理，QO=QD2-OD2=7-6=1， 12分
①若球心在平面上方，则
在中，由勾股定理，，即，
化简得3k2+8k+2=0，因为k>0，所以无解 14分
②若球心在平面下方，则
在中，由勾股定理，，即，
化简得，因为，所以
所以，在棱上存在一点，使，，，四点在半径为的同一个球面上．
此时CFFP的值为2+6 17分
19．（17分）
证明：（1）如图延长交的外接圆于，连接，．
，，故，同理可证．
四边形为平行四边形．，
，……………………………………………… 3分
（2）（ⅰ）由（1）知，，所以，即
设外接圆半径为，则
因为，，所以…………………………… 5分
所以，即，，因为，所以… 7分
（ⅱ）延长交于，由角平分线性质可得：，
在中，由余弦定理：，
，……………………………………………………………… 9分
在中，由角平分线性质可得：，，
由(1)知，，
，，
，………………………………… 13分
，
=-115+373BA→+2BC→3OB→+BA→+BC→ 15分
(-BI→)·(OB→+13BA→+13BC→)=0， IH→·OG→=13-16+0=16 17分

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