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2025级高一下学期第二次阶段性考试
数学试题
2026.06
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（ ）
A． B．
C． D．
2.在中，为钝角，则点（ ）
A．在第一象限 B．在第二象限 C．在第三象限 D．在第四象限
3.如图，正方形的边长为1，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的面积是 （ ）
A． B．
C． D．
4．若，为不同的平面，，为不同的直线，则下列判断正确的是（ ）
A．若，，则
B．若，，则
C．若，，则
D．若，，则
5. 已知圆锥的表面积为，它的侧面展开图是一个半圆，则此圆锥的体积为（ ）
A. B.
C. D.
6．已知，，且在上的投影的数量为，则（ ）
A． B．
C． D．
7．如图所示，从热气球上测得地面上点的俯角为，点的俯角为，图中各点在同一铅垂平面内，已知，两点间距离为，则热气球距地面的高度为（ ）
A． B．
C． D．
8. 如图，在中，，，点在边上，，沿翻折，得到三棱锥，满足平面平面，则的最大值为（ ）
A．2 B．
C． D．3
二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 在中，内角，，的对边分别为，，，下列说法中正确的是（ ）
A. 若，则
B.
C. 若，则是锐角三角形
D. 若，则是钝角三角形
10. 已知函数（其中，，）的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A. 函数的周期为
B. 函数的图象关于对称
C. 函数在区间上的最大值为2
D. 直线与的图象所有交点的横坐标之和为
11若正四棱柱的底面棱长为4，侧棱长为3，且为棱的靠近点的三等分点，点在正方形的边界及其内部运动，且满足与底面的所成角，下列结论正确的是（ ）
A. 点形成的轨迹长度为
B. 有且仅有一个点使得
C. 四面体的体积取值范围为
D. 线段长度最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知向量，，若，则 .
13. 已知，则 .
14. 若矩形满足，则称这样的矩形为黄金矩形. 现有如图1所示的黄金矩形卡片，已知，，是的中点，，，且，沿，剪开. 用3张这样剪开的卡片，两两垂直地交叉拼接，得到如图2所示的几何模型.若连结这个几何模型的12个顶点得到一个多面体（如图二连结其中三个顶点得到多面体
的一个面），若，则该多面体的表面积为 .
四、解答题：
本大题共5小题，共77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（本小题满分13分）如图，在四棱锥 中，底面 是正方形， 平面 ，， 分别是棱 ， 的中点.
（1）证明：；
（2）证明： 平面 .
16.（本小题满分15分）已知 ，，函数 .
（1） 求函数 的解析式及周期 ；
（2） 角 、、 分别为 、、 三边所对的角，若 ，，求 周长的最大值.
17.（本小题满分15分）如图，四边形 中，，，， 且 为锐角.
（1）求 ；
（2）求 的面积.
18.（本小题满分17分）如图，已知三棱台的体积为，底面是以为直角顶点的等腰直角三角形，平面平面，且。
（1）证明：平面；
（2）求点到平面的距离；
（3）在线段上是否存在点，使得二面角的大小为？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由。
19.（本小题满分17分）在中，角，，所对的边分别为，，，点为内的一点，且。
（1）当时，
（ⅰ）求角；
（ⅱ）若，，求的值；
（2）若，且，，求的最小值。
2025级高一下学期第二次阶段性考试数学答案（1）
1.A 2.D 3.B 4.C 5.D 6.A 7.C 8.C 9.ABD 10.ACD 11.AC
12. 13. 14.
8.C【解】解：在△ABC中，，，
由余弦定理知，故，
作交于，因为，
可得，，
在△ACH中，，由余弦定理可得
，
因为平面平面，，平面平面，平面，
所以平面，平面，所以，所以
，
因为，所以，所以，
所以，所以．故的最大值为．故选：．
11.AC 【解】A选项，由线面角的定义可知，，即，故点所在
区域为以为圆心，1为半径的圆在正方形内部分（包含边界），即圆的，轨迹
长度为，A正确；如图，设点的轨迹与，交于点，，
B选项，不妨点与点重合，此时，
由余弦定理可得：，则，
同理可得：，则，
故不止一个点使得，B错误；
C选项，如图，平面，平面，所以，且，
，，平面，所以平面，平面，
所以平面平面，且平面平面，因为，平
面，平面，所以平面，所以点，到平面的距离相等，
如图，当点在点处时，此时点到平面的距离最大，最大距离为，
此时四面体的体积为，
当与点重合时，此时点到平面的距离最小，最小距离为，
因为，所以，所以最小体积为，
故四面体的体积取值范围为，C正确；
D选项，当取最小值时，线段长度最小，
由三角形两边之和大于第三边知：当，，三点共线时，取得最小值，
即，则，D错误. 故选：AC.
14【解】
由图可得：该多面体上部分有5个面，对应的下部分也有5个面，中间部分的前半
部有5个面，对应的后半部分也有5个面，所以该多面体为正二十面体.
，若，则，
该多面体为正二十面体，每面为正三角形，其边长为，
故答案为：.
15证明：
（1）连接，交于点，如图所示：
由四边形是正方形，可得，分
因平面，平面，则，分
又，，平面，分
所以平面，分
又平面，所以；分
（2）如图，取的中点，连接，，
，分别是棱，的中点，故，且，分
又，且，分
所以，，分
可得四边形为平行四边形，所以，分
因平面，平面，所以平面．分
16【解】
(1)，分
周期；分
(2)由可得，即，分
又，则，则，所以，分
由余弦定理知：分
，分
当且仅当时“”成立，分
此时为等边三角形，又，所以的周长的最大值为．分
17解：
（1），，
又，，，，分
是锐角，．分
由余弦定理可得，则．分
，是四边形外接圆的直径
是外接圆的直径分
利用正弦定理知，；分
（2）因为，，，，
由勾股定理得，，，分
又，则，分
因此，故面积为．分
18
解：（1）证明：在三棱台中，平面平面，，
而平面平面，平面，
所以平面．分
（2）由棱台性质知：延长，，交于一点，
由，得，
点到平面的距离为到平面距离的2倍，则，
于是，分
由平面，得即为点到平面的距离，
又，则是的中点，，
即为正三角形，为正三角形，设，则，
，解得，
，分
由平面，得，，
，分
设点到平面的距离为，
由，得，解得：．
即点到平面的距离为．分
2025级高一下学期第二次阶段性考试数学答案（2）
18（3）由，，得平面，
取中点，连接，在正中，，
而平面，则，
而，则，
又，则平面，
作于，平面，则，
，而，则，
作于，连接，，，，则，
而，于是，即二面角的平面角分
设，由（2）知：，，
由，得，，
由，得，分
若存在使得二面角的大小为，
则，解得，
，
所以存在满足题意的点，．分
19【解】
（1）（ⅰ）由正弦定理边化角得，
因为，
所以，
即，分
因为，所以，
即，分
因为，
所以，得；分
（ⅱ）因为，所以，
记，，，
则，即，
又，所以，
所以，分
由余弦定理得，
所以，。分
（2）记，，，则，，
在，，中，由余弦定理得：
，
，
，
因为，所以，，
所以，
所以，所以，整理得，
根据题意，，所以，
记，则，解得（舍去）或，
当且仅当时，等号成立，所以的最小值为。分

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