资源简介

高一数学期末统测模拟试卷一
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的4个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1、已知复数满足，则 （ ）
A. B.
C. D.
2、记的内角，，的对边分别为，，，若，，，则 （ ）
A. B.
C. D.
3、在中，，记，，则 （ ）
A. B.
C. D.
4、一个袋中有大小和质地相同的4个球，其中有2个红球，2个黄球，从袋中不放回地随机摸出2个球，则这2个球颜色相同的概率为 （ ）
A. B.
C. D.
5、设，是两个平面，，是两条直线，则下列命题为真命题的是 （ ）
A. 若，，则
B. 若，，，则
C. 若，，，则
D. 若，，，则
6、一个盒子中装有标号为1，2，3，4，5的5张标签，有放回地随机选取两张标签，记事件“两张标签标号之积大于15”，事件“第一张标签标号小于3”，则 （ ）
A.
B.
C. 与互斥
D. 与相互独立
7、在三棱台中，平面平面，是以为直角顶点的等腰直角三角形，且，则二面角的正切值为 （ ）
A. B.
C. D.
8、若不等式对任意正实数，，恒成立，则实数的最小值为（ ）.
A. B.
C. D.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每题所给的选项中，有多项符合题目要
求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有错选的得0分.
9、气象台预报杭州市5月份气候适宜，温度波动幅度较小，比较适合户外运动，其中2024年5月9日至5月15日7天内的当日最高温度 （单位℃） 分别为：24，28，23，25，26，26，29，则以下说法正确的是 （ ）
A. 该组数据的极差为6 B. 该组数据的众数为26
C. 该组数据的中位数为25.5 D. 该组数据的第70百分位数为26
10、记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，点P是边BC上的一个动点，点M是边AC的中点，且()，则 （ ）
A.
B. 若的面积为，则
C. 若，，AP平分，则
D. 若，，当最大时，
11、如图，已知正八面体(围成八面体的八个三角形均为等边三角形)的棱长为2，其中四边形ABCD为正方形，其棱切球(与正八面体的各条棱都相切)的球心为O，则以下结论正确的是 （ ）
A. 点O到平面CDT的距离等于1
B. 点O到直线CT的距离等于1
C. 球O在正八面体外部的体积小于
D. 球O在正八面体外部的面积大于
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12、若复数，则 .
13、记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，则 .
14、已知函数， ；的最小值是 .
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答题应写出文字说明，证明步骤或者演算过程.
15、已知向量，满足，.
（1）若，求的坐标；
（2）若，求与的夹角的余弦值.
16、如图，平面四边形中，是边长为2的等边三角形，且，，为的中点，将沿翻折至.
（1）证明：；
（2）若，求直线与平面所成角的余弦值.
17、随着暑假的临近，某市景区将再次成为旅游的热门目的地．为更好地提升旅游品质，该市文旅100名青年游客对该景区出行体验进行满意度评分（满分100分），80分及以上为良好等级，根据评分成绩成如图所示的频率分布直方图．
（1）求直方图中的值，并估计评分数据的上四分位数；
（2）若采用分层随机抽样的方法从评分在，的两组中共抽取4人，再从这4人中随机抽取2人进行单独交流，求选取2人的评分等级都为良好的概率．
某景区为更好地提升旅游品质，随机选择100名游客对景区进行满意度评分（满分100分），根据评分，制成如图所示的频率分布直方图.
18、记的内角，，的对边分别为，，，已知。
（1） 若，，求；
（2） 若是的中点，且，，求；
（3） 若，，求的面积。
19、已知函数
（1） 若，判断函数在上的单调性（无需证明），并求在上的值域；
（2） 若关于的方程恰有三个不等实根，，，且。
（i） 求的值；
（ii） 求的最大值。（参考公式：）
高一数学期末统测模拟试卷一
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的4个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1、已知复数满足，则 （ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
，.
2、记的内角，，的对边分别为，，，若，，，则 （ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
由余弦定理可得，
所以.故选：
3、在中，，记，，则 （ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
因为，所以为线段，的三等分点，如图所示，
.
4、一个袋中有大小和质地相同的4个球，其中有2个红球，2个黄球，从袋中不放回地随机摸出2个球，则这2个球颜色相同的概率为 （ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
由设红球为，，黄球为，，
从袋中不放回地随机摸出2个球，共有6种结果：，，，，，
这2个球颜色相同的有2种结果：与
2个球颜色相同的概率为.
5、设，是两个平面，，是两条直线，则下列命题为真命题的是（ ）
A. 若，，则
B. 若，，，则
C. 若，，，则
D. 若，，，则
【答案】D
对于A，若，，则或，故A错误；
对于B，若，，，则，故B错误；
对于C，若，，，则或或，故C错误；
对于D，由线面平行的性质定理可知D正确.
故选：D
6、一个盒子中装有标号为1，2，3，4，5的5张标签，有放回地随机选取两张标签，记事件“两张标签标号之积大于15”，事件“第一张标签标号小于3”，则（ ）
A.
B.
C. 与互斥
D. 与相互独立
【答案】C
根据题意可知所有的样本点共有：
，，，，，
，，，，，
，，，，，
，，，，，
，，，，共25个，
事件包含的样本点有：，，，，共4个，所以，故A错误；
事件包含的样本点有：，，，，，，，，，，共10个，所以，故B错误；
因为，所以与互斥，故C正确；
因为，，所以，所以与不相互独立，D错误.
7、在三棱台中，平面平面，是以为直角顶点的等腰直角三角形，且，则二面角的正切值为（ ）
A. B.
C. D.2
【答案】D
设，易知为等腰梯形，故，所以，故，
若，分别为，的中点，连接，，，则，即，
由是以为直角顶点的等腰直角三角形，则，
平面平面，平面平面，平面，
所以平面，而平面，故，
由且都在平面内，则平面，
由平面，则，
综上，二面角的平面角为，且为直角三角形，
由，，所以。
8、若不等式对任意正实数，，恒成立，则实数的最小值为（ ）。
A. B.
C. D.
【答案】
依题意，对任意正实数，，，不等式恒成立。
只需求出当，，为正数时，的最大值。
因为，，为正实数，
所以
，
当且仅当，即时，等号成立，
所以，
所以，
又当时，
所以的最大值为。所以的最小值为。
二、多选题：本题共小题，每小题分，共分.在每题所给的选项中，有多项符合题目要
求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有错选的得0分.
9、气象台预报杭州市5月份气候适宜，温度波动幅度较小，比较适合户外运动，其中2024年5月9日至5月15日7天内的当日最高温度 （单位℃） 分别为：24，28，23，25，
26，26，29，则以下说法正确的是 （ ）
A. 该组数据的极差为6 B. 该组数据的众数为26
C. 该组数据的中位数为25.5 D. 该组数据的第70百分位数为26
【答案】ABD
将这组数据按照从小到大的顺排列得23，24，25，26，26，28，29，
则该组数据的极差为，故A正确；
该组数据的众数为26，故B正确；
该组数据的中位数为26，故C错误；
因为，
所以该组数据的第70百分位数为第5个数据，即26，故D正确.
故选：ABD.
10、记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，点P是边BC上的一个动点，点M
是边AC的中点，且，则 （ ）
A.
B. 若的面积为，则
C. 若，，AP平分，则
D. 若，，当最大时，
【答案】ABD
对于A，因为，
由余弦定理有：，
整理得：，即，
所以，又因为，所以，所以A正确；
对于B，因为，解得，
所以，所以B正确；
对于C，根据角平分线定理有：，所以，
所以，
且，，
所以
，
所以，所以错误；
对于，因为，，，
所以，
所以，所以为为直角三角形，，
建立如图所示平面直角坐标系，设，
，，，
所以，，令，
，所以为锐角，
则
，即
因为，所以在上单调递减，
所以越小值越大，
因为，
当且仅当，因为，所以当时等号成
所以当最大时，，正确.
故选：
11、如图，已知正八面体（围成八面体的八个三角形均为等边三角形）的棱长为2，其中四边形为正方形，其棱切球（与正八面体的各条棱都相切）的球心为，则以下结论正确的是（ ）
A. 点到平面的距离等于1
B. 点到直线的距离等于1
C. 球在正八面体外部的体积小于
D. 球在正八面体外部的面积大于
【答案】
对于，由对称性可知棱切球球心就是正八面体的中心，
而，
所以。
设点到平面的距离为，则有
，
故，，故错误；
对于，由于，故在平面上的投影就是正方形的中心，
故平面，而在平面内，故。
又因为，知点到直线的距离，故正确；
对于，根据上面的分析，球的半径等于点到直线的距离，即。
从而平面截棱切球所得圆的半径，设这个圆为圆。
设球的体积为，而以为顶点、圆为底面的圆锥的体积为，
则棱切球在正八面体内部的体积大于。
从而球在正八面体外部的体积小于
，故正确；
对于，球在正八面体外部的面积等于正八面体外个球冠的表面积.
而对于一个球冠而言，由其顶点和底面可以确定一个圆锥，而该圆锥的侧面积一定小于球冠的表面积.
从而，每个球冠的表面积都大于由该球冠顶点和底面圆确定的圆锥的侧面积.
该圆锥的底面半径，高，故母线长.
所以每个球冠的表面积都大于该圆锥的侧面积.
所以个球冠的表面积之和大于，故正确.
故选：
关键点点睛：本题的关键在于使用恰当的方式对球冠的表面积和体积进行估计.
三、填空题：本题共\（3\）小题，每小题\（5\）分，共\（15\）分.
12、若复数，则 .
【答案】
，
展开得.
.
13、设的内角，，的对边分别为，，，已知，则 .
【答案】
由正弦边角关系及已知有，又，均为三角形内角，
所以，即，，易知，
所以，则 .
故答案为：
14、已知函数， ；的最小值是 .
【答案】；
由，得，解得，或.
所以函数的定义域为.
.
所以.
所以，.
所以.
因为与同号，
所以，
当且仅当，即，即时，等号成立.
因为，所以当且仅当，时，
取得最小值，最小值是4.
故答案为：①；②4.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答题应写出文字说明，证明步骤或者演算过程.
15、已知向量，满足，.
（1）若，求的坐标；
（2）若，求与的夹角的余弦值.
【答案】（1）或； （2）.
（1）设，因为，所以，
因为，所以，解得或，
所以或.
（2）因为，所以，
所以，代入得，，
所以，所以与的夹角的余弦值为.
16、如图，平面四边形中，是边长为2的等边三角形，且，，为的中点，将沿翻折至.
（1）证明：；
（2）若，求直线与平面所成角的余弦值.
【答案】（1）证明见解析
（2）.
（1）如图，取的中点，连接，，
因为为等边三角形，所以，
因为，所以，
又因为，分别是，的中点，所以，所以，
因为，，平面所以平面，
因为平面，所以。
（2）在中，，，，
所以，
在中，，，，
由可得，
在中，，，则，
因为平面，平面，
所以平面平面，
又因为平面平面，
所以为直线与平面所成角，
在中，，，，
所以，
所以直线与平面所成角的余弦值为。
17、随着暑假的临近，某市景区将再次成为旅游的热门目的地。为更好地提升旅游品质，该市文旅名青年游客对该景区出行体验进行满意度评分（满分分），分及以上为良好等级，根据评分成绩成如图所示的频率分布直方图。
（1）求直方图中的值，并估计评分数据的上四分位数；
（2）若采用分层随机抽样的方法从评分在，的两组中共抽取人，再从这人中随机抽取人进行单独交流，求选取人的评分等级都为良好的概率。
某景区为更好地提升旅游品质，随机选择名游客对景区进行满意度评分 （满分分），
根据评分，制成如图所示的频率分布直方图.
【答案】（1），上四分位数为；（2）
（1）频率分布直方图中各组频率之和为，组距为，
，
化简得，
计算各组累计频率：
评分在的频率为，累计频率为；
评分在的频率为，累计频率为；
评分在的频率为，累计频率为；
评分在的频率为，累计频率为；
评分在的频率为，累计频率为.
上四分位数即第百分位数，对应累计频率为，且，
上四分位数位于区间内，
上四分位数为
（2） 评分在的人数为，评分在的人数为，
两组人数之比为，
分层随机抽样抽取人时，从组抽取人，记为，从组抽取人，记为，，，其中，，为良好等级.
从人中随机抽取人的所有基本事件为，，，，，，共种，
其中人评分等级都为良好的基本事件为，，，共种，
所求概率
18、记的内角，，的对边分别为，，，已知
（1） 若，，求；
（2） 若是的中点，且，，求；
（3） 若，，求的面积.
【答案】（1）或；
（2）；
（3）
（1） 在中，由正弦定理，即，解得，
所以或.
（2） 因为，即，化简得①.
法一：在中，由正弦定理，，
在中，由正弦定理，，
又，，所以，
在中，由余弦定理可得，所以，则②.
联立①②得，即，解得或（舍）或（舍）.
所以.
延长至点，使得，连接，
由题意，则，即，整理得③.
联立①③，，解得或（舍）.
所以.
（3）在内作，所以，设，
在中，由正弦定理知，即，知，
所以，
所以.
19、已知函数
（1）若，判断函数在上的单调性（无需证明），并求在上的值域；
（2）若关于的方程恰有三个不等实根，，，且.
（i）求的值；
（ii）求的最大值.（参考公式：）
【答案】（1）在上单调递减，
(2)(i)(ii)
（1） 若 ，，
因为函数 和 均在 ， 上单调递减，
所以函数 在 ， 上单调递减，故 ，，值域为 。
（2）（i） 证明：，
显然：当 时，，，
由于方程 有三个不等实根 ，，，所以必有 ，
令 ，则 ，即 。
显然有 ，由 ，
得到 ，所以函数 关于直线 对称，
由 ，可得：，
（ii） 由 得：，由 （i） 得：，
于是 ，，令 ，
当且仅当 时等号成立，故 的最大值为 。

展开更多......

收起↑