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镇海中学2025学年第二学期期末考试
高一年级数学试卷
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点的坐标（ ）
A． B．
C． D．
2．一组数据3，5，6，7，7，9的第30百分位数是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
3．已知一组数据，，，的平均数为2，方差为1，则数据，，，的平均数和方差为分别为（ ）
A．1，4 B．2，1 C．1，1 D．2，4
4．从1~10这10个整数中随机选择一个数，设事件表示选到的数能被2整除，事件表示选到的数能被3整除，则事件的概率是（ ）
A． B．
C． D．
5．已知向量，，若，则（ ）
A．1 B．．2
D．
6．已知某5个数的平均数为2，方差为3，现加入数据2，则这6个数的方差为（ ）
A．3 B．
C．2 D．
7．在空间直角坐标系中，，，点满足，则点到轴距离的最大值为（ ）
A． B．4
C． D．
8．已知三棱锥中，二面角为60，棱与平面和平面所成的角均为，与所成的角为，则（ ）
A． B．
C． D．
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分．
9. 已知盒子中有8个质地均匀的小球，红色小球个，其余均为黑色小球. 现从中任意抽取5个小球，若事件“至少取出一个黑色小球”为必然事件，事件“取出4个红色小球，1个黑色小球”为不可能事件，事件“取出2个红色小球，3个黑色小球”为随机事件，则可以为（ ）
A.2 B.3 C.4 D.5
10. 甲、乙、丙3名运动员击中目标的概率分别为，，. 若他们3人分别向目标各发一枪，且他们相互之间没有影响，则这3枪中（ ）
A. 至少有一枪命中目标的概率为
B. 恰好有一枪命中目标的概率为
C. 若要连续命中两枪的概率最大，则应该让甲打第2枪
D. 若要连续命中两枪的概率最大，则应该让丙打第2枪
11. 已知三棱锥的底面是一个边长为1的正三角形，且三棱锥的外接球球心为的中点，则下列结论正确的是（ ）
A. ，与平面所成的角相等
B. 二面角的大小可能为
C. 若二面角的正切值为，则三棱锥的高为
D. 若，则球的表面积为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知直线与经过，两点的直线垂直，则直线的斜率为 .
13. 已知在直三棱柱中，，，，点为棱靠近点的三等分点，点为的中点，则直线与所成角的余弦值为 .
14. 已知四棱锥的底面是边长为2的菱形，侧面为正三角形，，则四棱锥体积的最大值为 .
四、解答题：本题共5题，共77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 如图，在平行六面体中，为中点，，，设，，，以为空间的一个基底.
（1）用基底表示向量，并求出线段的长度；
（2）直线与平面交于点求的值
16．台州临海涌泉蜜桔，是浙江极具代表性的本土名优特产，果形饱满、风味清甜，深受市场青睐．为评估某蜜桔种植园的果品规格与整体品质，相关质检人员从园内全部颗涌泉蜜桔当中，随机挑选出颗作为样本称重检测．所有样本的单果质量全部分布在区间内（单位：克），将所得数据分成组：，，，，，，并据此绘制得到频率分布直方图如图所示．
（1）求图中的值；
（2）估计这批蜜桔的平均质量；
（3）若按质量由重到轻分为优等品、合格品和次品，其中优等品占，合格品占，次品占，则合格品的质量应不低于多少克？
17．在长方体中，底面边长为的正方形，侧棱，点，分别在棱和棱上，且，．
（1）求证：．
（2）平面与平面夹角的余弦值．
（3）直线与平面夹角的正弦值．
18．如图，四棱锥的底面是平行四边形且，，为等边三角形，，为中点．
（1）证：平面；
（2）设为侧棱上一点，四边形是过，两点的截面，分别交，于，两点，平面．
（Ⅰ）证：
（Ⅱ）设，是否存在，使得点到面的距离为．
19．学期末，某学校对这一学期食堂的菜品在学生中进行喜好调查，方便下学期改进．每位同学给每道菜打分，喜欢记为，不喜欢记为．每位同学对道菜品的喜好可以表示为一个维向量，其中每个分量（，，，）．我们称为该生的维喜好向量．已知，为两位同学的喜好向量，定义两个向量的数量积为：．若，则称他们“口味互补”．
（1）试构造出一组名学生对道菜的喜好向量，使得他们两两口味互补．
（2）证明：不存在名学生对道菜的喜好向量，使得他们两两口味互补．
（3）设有名学生，对本学期道菜的喜好向量两两口味互补．已知道菜中有道菜，这名同学都喜欢，求证：．
镇海中学2025学年第二学期期末考试
高一年级数学试卷参考答案
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1 2 3 4 5 6 7 8
C C A B C B D B
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9 10 11
AB AD ACD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12. 13. 14.2
四、解答题：本题共5题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15. （1），
（2）.
16. （1） （2） （3）95（克）
17. （1）略 （2） （3）
18. （1）略 （2）
19. （1）依题意，可写出一组4个两两口味互补向量为：
，，，.
（2）略 （3）略

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