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重庆八中高2028级高一（下）数学学科训练6
一、单项选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 已知复数满足，则
A. B.
C. D.
2. 已知向量，满足，，则
A. B.
C. D.
3. 已知集合，，则
A. B.
C. D.
4. 已知为空间中一点，，，为互不相同的直线，，，为互不相同的平面，则下列推理中正确的是
A. ，，， B. ，
C. ，， D. ，
5. 在中，角，，所对的边分别为，，.若，，的角平分线交于，则
A. B.
C. D.
6. 在锐角中，角，，所对的边分别为，，，若，则的取值范围是
A. B.
C. D.
7. 如图，圆台的上、下底面半径分别为，，且，半径为4的球与圆台的上、下底面及每条母线均相切，则圆台的侧面积为
A. B.
C. D.
8. 已知平面内有单位圆，点是不与点重合的一点，若圆上存在不重合的两点，使得，则的取值范围为
A. B.
C. D.
二、多项选择题（本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9. 已知为虚数单位，为复数，则下列命题中正确的是
A.
B. 若，则是为纯虚数的充要条件
C.
D. 若，则的最大值为3
10. 已知（，）是偶函数，在区间单调递增．则下列说法中正确的是
A.
B.
C. 或
D.
11. 如图，在直角梯形中，，，，取中点，将沿翻折至，则下列说法中正确的是
A. 在翻折的过程中，与平面始终平行
B. 在翻折的过程中，与始终不垂直
C. 若二面角的大小为，则异面直线与所成角的余弦值为
D. 记四面体的外接球为球（为球心），是球上一动点，则当直线与直线所成角最大时，四面体体积的最大值为
三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12. 已知正四棱台的体积为14，若，，则该正四棱台的高为 ．
13. 已知，是非零向量，，且知与的夹角为，若，则在方向上的投影向量的坐标为
14.已知三棱锥的四个顶点在球的球面上，，是边长为2的正三角形，，分别是，的中点，，则球的体积为 。
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15.（13分）已知函数，。
（1）求；
（2）设函数，求的值域和单调区间。
16.（15分）如图，在三棱锥中，点在上，，，。
（1）求证：；
（2）若，，，。求直线与平面所成角的正弦值。
17.（15分）在中，已知，。
（1）证明：为钝角三角形；
（2）若的面积为，求的周长。
18.（17分）在多面体 中，底面 为矩形，，
，， 平面 ，
（1）求直线 与底面 所成角的正弦值；
（2）求二面角 的正切值；
（3）求三棱锥 的体积.
19.（17分）离散曲率是刻画空间弯曲性的重要指标. 设 为多面体 的一个顶点，定义多面体 在点 处的离散曲率为
，其中
为多面体 的所有与点 相邻的点，且平面 ，平面 ，，
平面 ，平面 为多面体 的所有以 为公共点的面. 已知平面多边形
的外接圆圆心 为 与 的交点，如图①，且 ，将 沿
翻折到 如图②，连接 ，
（1）求四棱锥 在各个顶点处的离散曲率的和；
（2）已知直线 与直线 所成角的余弦值为 .
①求四棱锥 在顶点 处的离散曲率；
②设 为线段 上的动点（不包括端点）， 与平面 所成角为 ，二面角
的平面角为 ，其中 ，求 的最大值.
重庆八中高2028级高一（下）数学学科训练6参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 A D A C B C C B AD BCD ABD
5.B 由，
即，解得.故选：B
6.C 依题意，由正弦定理可得，即；
所以，
又因为为锐角三角形，所以，即，
又，且，
可得，，令
由于在上单调递增，在上单调递增，
所以在上单调递增，则，即
，所以的取值范围为，故选C.
7.C 作圆台及球的轴截面，圆台的轴截面是等腰梯形且与球的截面的圆相切，如图：
所以圆台的母线长，.
由勾股定理得：，化简得①.
又，代入①得：，，解得或.
若时，则，，所以圆台的侧面积
；
这是能取到的最大值，此时（线线角）最大，
在中，，，，由余弦定理可得
所以，当最大时，球心到直线的距离等于半径，
其中，
是到底面（翻折不动的原平面）的最大距离，
此时四面体的体积，
过点作于点，则即为，
由勾股定理得，则
，代入体积公式得，D正确. 故选：ABD
12. 正四棱台的上下底面均为正方形，因此下底面面积，上底面面积
，设正四棱台的高为，根据棱台体积公式
，.
13. .，则，
把三棱锥补形为正方体，则正方体外接球即为三棱锥的外接球，
其直径为
，半径为，则球的体积为。
15.（1）由题意，，所以；
（2）由（1）可知，所以
，
所以函数的值域为，
令，解得，
令，解得，
所以函数的单调递减区间为，
函数的单调递增区间为。
16.（1） 如图：，，，平面，平面，
平面，平面，，
又，，平面，平面，平面，
平面，。
（2）由（1）知平面，平面。
，，在中，易知，，，
所以，即，所以，
设到平面的距离为，由等体积法知，
，直线与平面所成角的正弦值，
∴直线与平面所成角的正弦值.
17.（1）在中，，，
由，即，
，解得，
故，中有一个是钝角，即为钝角三角形.
（2），可得，由（1），，
由余弦定理，，得，，
所以的周长为.
18.（1）取的中点为，连接，，，
四边形是平行四边形，，
又平面，所以就是直线与底面所成角.
又底面为矩形，，
，，在直角中，
，，直线与底面所成角的正弦值为；
（2）设二面角的大小为
因为平面，，所以平面.
过作，垂足为，连接，
所以就是二面角的平面角，
即，在直角中，，，所以，
所以，
所以二面角的正切值为.
（3）把多面体补成如图长方体
则
，，
，，
，所以.
19.（1）因为，，，内角和均为，四边形内角和为，则四棱锥在各顶点处的离散曲率和为
；
（2）① 过点作交于，连接，
则即为直线与直线所成角或其补角，
因，平面多边形的外接圆圆心为与
的交点，
则圆的直径，连接，则易得等边三角形，故有，
所以，，所以，
在中，因，解得.
即，可得：，
则得，
即四棱锥在顶点处的离散曲率为
②因为，，所以为二面角的平面角，
因为，所以，则平面平面.
过作于，过作于，连接，
因平面，平面平面，故平面，
因平面，则，
又，，平面，则平面，
因平面，则，故为与平面所成角，
为二面角的平面角，则，，
因为，，所以，
则得，因，则，
故，
当且仅当，时，等号成立．
则的最大值为．

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