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数 学
注意事项：
1. 答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。
2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4. 本试卷主要考试内容：人教A版必修第二册第六、七章。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.
A. B.3
C. D.1
2. 已知向量，满足，，则
A. B.
C. D.
3. 在中，角，，的对边分别是，，，若，则中最大角的余弦值为
A. B.
C. D.
4. 在中，为的中点，点满足，则
A. B.
C. D.
5. 在复平面内，若复数和对应的点分别是和，则
A. B.
C. D.
6. 在中，角，，的对边分别为，，，且，，若满足条件的是唯一的，则的值不可能是
A. B.
C.2 D.3
7. 已知码头在码头的正北方向，两码头相距100海里，在码头测得海上某渔船位于北偏东方向，在码头测得渔船位于北偏东方向，在码头还测得另一艘货船位于南偏东方向，且货船到码头的距离为海里。若欲在货船与渔船之间增设一条补给航线，则补给航线的长为
A. 海里
B. 海里
C. 海里
D. 海里
8. 如图，以 为直径的半圆内切于等腰直角三角形 ，， 是 所在平面内一点，则 的最小值为
A. B.
C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9. 下列有关复数 的叙述，正确的是
A. 若 ，则
B. 若 ，则 的虚部为
C. 若 满足 ，则
D. 若 ，则
10. 已知 ，， 均为单位向量，则
A.
B. ，
C. 向量 在向量 上的投影向量为
D. 的最小值为
11. 在 中， 的角平分线 交 于点 ，， 为 的外心，则
A. B.
C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12. 已知向量 ，，若 ，则 。
13. 若 ， 为实数，则 的最小值为 。
14. 在锐角 中，角 ，， 的对边分别为 ，，，若 ，则 的取值范围为 。
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.(13分)
已知平行四边形 的三个顶点 ，， 的坐标分别是 ，，。
（1） 求顶点 的坐标；
（2） 求 与 的夹角的余弦值。
16.(15分)
（1） 已知复数 在复平面内对应的点位于第四象限，求 的取值范围.
（2） 已知 ，方程 是否存在纯虚数根？若存在，求 的值；若不存在，请说明理由.
17.(15分)
在 中，角 ，， 所对的边分别是 ，，，且 .
（1） 求 ；
（2） 若 ，证明： 是直角三角形.
18.(17分)
在中，角，，所对的边分别为，，，且。
（1） 若，求；
（2） 求的最大值；
（3） 当取得最大值时，求的值。
19.(17分)
在梯形中，，，，，，。
（1） 用，表示。
（2） 设是线段上一点，且。
（ⅰ） 求；
（ⅱ） 若为的中点，为线段上一个动点，求的最小值。
数学参考答案
1.A
2.D由，，得，.
3.C由，可设，，，则中的最大角为，故
4.A
5.A由题意得复数，，所以
6.B由正弦定理可知，，可得，当或时，满足条件的是唯一的，故或.
7.D如图所示，，，，.
在中，由，解得海里，
在中，海里.
8.B设为的中点，连接（图略）. 易知，所以.
9.BD对于A，，则，故A错误；
对于B，，则的虚部为，故B正确；
对于C，取，则，但，故C错误；
对于D，设（），由得，所以，，故D正确.
10.AC ，A正确；由，可得，即，，，故，，B错误；向量在向量上的投影向量为，C正确；设，，则，所以的最小值为点到直线的距离，故最小值为，D错误.
11.BCD若，则为的重心，A错误.
在中，由正弦定理得①，同理在中，②. 因为是的角平分线，所以，则.
又，所以①÷②得，所以，，B，C均正确.
因为，所以，. 因为，所以，即，D正确.
12. 因为，所以，即.
13.1 ，表示复数在复平面内对应的点在以为圆心，2为半径的圆上. 因为为实数，所以在复平面内对应的点在轴上，所以的最小值为.
14. 因为，所以，则，则.
因为为锐角三角形，所以 解得，
则，所以的取值范围为.
15. 解：（1）设顶点的坐标为.
因为，，，所以，. …………… 1分
又，所以， ………………………………………………… 3分
即 解得 ……………………………………………………………… 4分
所以顶点的坐标为. ……………………………………………………………… 6分
（2）由（1）知，， …………………………………………… 8分
， …………………… 9分
所以， …………………… 11分
所以， …………………… 13分
16.解：（1）， …………………… 2分
所以 …………………… 5分
解得，即的取值范围为。 …………………… 7分
（2）设是方程的一个纯虚数根，所以，即， …………………… 10分
所以 …………………… 12分
解得，或。
故当时，方程存在纯虚数根。 …………………… 15分
17.（1）解：由及正弦定理，得 …………………… 1分
因为，所以， …………………… 2分
所以， …………………… 3分
所以 …………………… 4分
因为，所以，所以 …………………… 5分
因为，所以 …………………… 7分
（2）证明：由余弦定理可知， …………………… 9分
因为，所以，化简可得 …………………… 11分
因为，所以，， …………………… 13分
所以，即是直角三角形。 …………………… 15分
18.解：（1）由，可得，故 …… 2分
因为，所以，则， …………………… 3分
故 … 5分
（2）由余弦定理可知，， …………………… 6分
由，可得， …………………… 8分
化简可得 3a2=3b2+c2， 9分
，当且仅当 时，等号成立，即 的最大值为 。 ......
12分
（3）由（2）知当 bca2 取得最大值时，c=3b，bc=32a2，即 a=2b， 15分
cosA=b2+c2-a22bc=33。 17分
19. 解：(1) AF→=AD→+DF→=16AB→+AD→。 2分
（2）（ⅰ）因为M是线段EF上一点，所以 AM→=λAE→+(1-λ)AF→=23λAB→+(1-λ)16AB→+AD→=16+λ2AB→+(1-λ)AD→。 4分
易知 AD=6。又 AM→=512AB→+mAD→，所以 {16+λ2=512,1 λ=m, 解得 m=12， 6分
即 ，
则 ，
所以 |AM→|=7。 9分
（ⅱ）因为H为线段GD上一个动点，所以可设 AH→=μAG→+(1-μ)AD→=μ2AB→+(1-μ)AD→，μ∈[0,1]， 11分
所以 ，
12分
所以 AH→·MH→=μ2AB→+(1-μ)AD→·μ2-512AB→+12-μAD→ 13分
=μ2μ2-512AB→2+-μ2+76μ-512AB→·AD→+(1-μ)12-μAD→2 14分
=36μ2-42μ+3=36μ-7122-374， 15分
当 μ=712 时，AH→·MH→ 有最小值 -374。 17分

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