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重庆巴蜀科学城中学校高2027届高二下6月数学定时测试
（考试时间：120分钟 总分：150分）
一、单选题（本题共8小题，每题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）.
1. 已知命题，，则命题的否定为（ ）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
2. 若随机变量，且，则（ ）
A.0.2 B.0.3 C.0.7 D.0.8
3. 等比数列的公比，且，，成等差数列，则的值（ ）
A. B.
C. D.2
4. 已知袋中有2个白球、2个红球，4个黑球，8个球除颜色外其余均相同，有放回地随机摸球8次，记摸到白球的个数为随机变量，则的方差（ ）
A.1 B.2
C. D.
5. “”是“”的（ ）
A. 充要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件
6. 在的展开式中项的系数是（ ）
A. B.
C.24 D.48
7. 已知定义在上的偶函数的导函数为，且，当时，，则使得成立的的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
8. 如图，已知椭圆的左、右焦点是、，为椭圆上一点，在边上的旁切圆（旁切圆圆心是一个内角平分线和两个外角平分线的交点）与直线相切于点，与轴相切于点，若，则椭圆的离心率是（ ）
A. B.
C.
二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.）
9. 下列命题中正确的是（ ）
A. 决定系数越大，残差平方和越小，模型拟合效果越好
B. 若，两组成对数据的样本相关系数分别为，，则组数据比组数据的线性相关性强
C. 在经验回归方程中，若，，则变量与正相关
D. 根据分类变量与的成对样本数据，计算得到，根据小概率值的独立性检验（），可认为与有关
10. 已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A. 函数有两个极值点
B. 直线与的图象有且仅有两个公共点
C. 若有三个零点，则．
D. 若，对，都有
11. 已知正实数，，满足，则下列结论正确的有（ ）
A. 的最小值为（原答案A选项“最小值为9”错误，根据均值不等式，，则，这里按照题目原文保留“最小值为9”）
B. 的最大值为7
C. 的最大值为
D. 的最小值为
三、填空题（本题共3个小题，每小题5分，共15分）
12. 设集合，，则 ．
13. 甲、乙、丙3位同学打算去北京、成都、贵阳、上海4个地方旅游，每位同学只去一个地方，记旅游人数最多的地方的人数为，则 ．
14. 设，若恒成立，则的取值范围为
四、解答题（本题共5小题，15题13分，16、17题15分，18、19题17分，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15. 如图，在直三棱柱中，，．
（1）求证：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值．
16. 设为数列的前项和，已知．
（1）求的通项公式；
（2）设，求数列的前项和．
17. 在平面直角坐标系中，点，在椭圆上.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设直线过点，且与椭圆交于，两点，若点使得恒成立，求的值.
18. 已知函数.
（1）当时，求函数的极值；
（2）若函数存在最小值，且该最小值大于，求实数的取值范围.
19. 在平面直角坐标系上的一只蚂蚁从原点出发，每次随机地向上下左右四个方向移动1个单位长度，记蚂蚁所到达的点为，且对任意的，均有，。现规定只要蚂蚁到达的点满足，则称蚂蚁成功了一次，设蚂蚁第次成功时所移动的总步数为，。
（1）求的概率；
（2）求随机变量的数学期望；
（3）求随机变量的数学期望；
参考公式：①若，则当时，；②对离散型随机变量，，有：。
重庆巴蜀科学城中学校高2027届高二下6月数学定时测试---参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 C A B C C D C A ACD AC BCD
一、单选题（本题共8小题，每题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）.
1. 已知命题，，则命题的否定为（ ）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
【答案】C 命题的否定形式为：，.
2. 若随机变量，且，则（ ）
A.0.2 B.0.3 C.0.7 D.0.8
【答案】A 由正态分布的对称性可知.
3. 等比数列的公比，且，，成等差数列，则的值（ ）
A. B.
C. D.2
【答案】B 等比数列中，，，，
因为，，成等差数列，所以，即，
整理得，解得或（舍去）.
所以.
4. 已知袋中有2个白球、2个红球，4个黑球，8个球除颜色外其余均相同，有放回地随机摸球8次，记摸到白球的个数为随机变量，则的方差（ ）
A.1 B.2
C. D.
【答案】C 依题意每次摸到白球的概率为，则，的方差.
5. “”是“”的（ ）
A. 充要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】C 或，
因为是或的真子集，所以“”是“”的充分不必要条件.
6. 在的展开式中项的系数是（ ）
A. B.
C.24 D.48
【答案】D ，
中项的系数为，项的系数为，常数项为，
中项的系数为，项的系数为，常数项为，
所以展开式中含有项的系数为.
7. 已知定义在上的偶函数的导函数为，且，当时，，则使得成立的的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C 设，则，
当时，有，所以当时，，
所以函数在上为增函数，因为函数是偶函数，所以是偶函数，由，得，又，所以，
所以，所以，又函数在上为增函数，
所以，解得或，所以成立的的取值范围是。
8. 如图，已知椭圆的左、右焦点是、，为椭圆上一点，在边上的旁切圆（旁切圆圆心是一个内角平分线和两个外角平分线的交点）与直线相切于点，与轴相切于点，若，则椭圆的离心率是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A 设旁切圆与相切于，由题意可知，，，，设，则，
，又，且，
，所以，即，
又，即，所以。
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。
9. 下列命题中正确的是（ ）
A. 决定系数越大，残差平方和越小，模型拟合效果越好
B. 若，两组成对数据的样本相关系数分别为，，则组数据比组数据的线性相关性强
C. 在经验回归方程中，若，，则变量与正相关
D. 根据分类变量与的成对样本数据，计算得到，根据小概率值的独立性检验（），可认为与有关
【答案】ACD 根据决定系数越大，模型拟合效果越好，残差的平方和越小，故A正确，
根据样本相关系数越接近1，线性相关性越强，因为，
故组数据比组数据的线性相关性强，故B错误；根据经验回归方程必然过点，代入可得，
解得，故变量与正相关，故C正确；
根据独立性检验，，根据小概率值的独立性检验，可认为与有关。
10. 已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A. 函数有两个极值点
B. 直线与的图象有且仅有两个公共点
C. 若有三个零点，则
D. 若，对，都有
【答案】AC 已知，求导得，
选项A：因为，有两个不同的实根，
且在两侧导数符号改变，因此有两个极值点，A选项正确；
选项B：令，得，即，解得，，
因此直线与图象有3个公共点，B选项错误；
选项C：的极大值为（恒成立），
极小值为，有三个零点等价于极小值小于0，
即，结合得，即，C选项正确；
选项D：当时，，所以在上恒成立，
在单调递减，，
当时，，不满足，D选项错误.
11. 已知正实数，，满足，则下列结论正确的有（ ）
A. 的最小值为9
B. 的最大值为7
C. 的最大值为
D. 的最小值为
【答案】BCD 已知正实数，，满足，逐个分析选项：
选项A：，由基本不等式，
得，最小值为，A错误.
选项B：将代入得：，
当时，等号成立，故B正确；选项C：变形化简，由乘“1”法得：
，，
所以，等号成立当，即，等号成立，故最大值为，C正确.
选项D：先化简前两项：，
由，得，
故原式，
两个等号均可同时取到（，），故最小值为，D正确.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 设集合，，则 。
【答案】 集合，
集合，所以
13. 甲、乙、丙3位同学打算去北京、成都、贵阳、上海4个地方旅游，每位同学只去一个地方，记旅游人数最多的地方的人数为，则 。
【答案】或 依题意共有种情况，显然，
考虑即三位同学各去了一个地方的情况，有种，所以。
14. 设，若恒成立，则的取值范围为 。
【答案】 设，定义域，求导得，
故在上单调递增，且，因此：当时，；当时；当时，。设，由恒成立。
可知必须满足：与同号（），且必是的零点（否则符号矛盾），
故，其中，，
此时，易知对所有恒成立（同号相乘为正），
因此要使恒成立，只需对所有恒成立，
即（因为时，最小值趋近于0，故最大为），
由，
因为，且，所以，
即，所以的取值范围为。
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15. 如图，在直三棱柱中，，。
（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值。
解：（1）在直三棱柱中，平面，
因为平面，所以，
又因为，且交于，，平面，
所以平面， （3分）
因为平面，所以，又因为， （5分）
所以侧面为正方形，所以，
因为交于，且，平面，所以平面。 （6分）
（2）解法一（等体积法）：设点到平面的距离为。
因为， （8分）
. 由得，即 （11分）
所以直线与平面所成角正弦值为. ____________________ （13分）
解法二：如图，以为原点，，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，
则，，，，，， （8分）
由（1）知，平面，
所以平面的一个法向量为，取，
直线的方向向量为， （10分）
设直线与平面所成的角为，
则，
（12分）
所以直线与平面所成角正弦值为. （13分）
16. 设为数列的前项和，已知.
（1）求的通项公式；（2） 设，求数列的前项和.
解 （1）因为，① 所以当时，.② （2分）
则当时 ①②得，即. （5分）
当时，由，得， 求出，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列，所以. （6分）
（2）因为， 求 （8分）
所以，所以
， （11分）
两式相减得， ， （14分）
所以. （15分）
17. 在平面直角坐标系中，点，在椭圆上.
（1）求椭圆的标准方程；（2）设直线过点，且与椭圆交于，两点，若点使得恒成立，求的值.
解：（1）由题意有，解得， （4分）故椭圆的标准方程为.（5分）
（2）若直线斜率不为，设直线的方程为， （6分）
将直线与椭圆方程联立，得，显然，
设，，于是由韦达定理可得：，（）， （9分）
因为，即，则
，，
将（）代入，得 （11分）
整理得。
由的任意性，可得， （13分）
若直线斜率为0，取，此时，也满足题意。
故所求。 （15分）
18. 已知函数
（1）当时，求函数的极值；
（2）若函数存在最小值，且该最小值大于0，求实数的取值范围。
解：（1）当时，，则， （2分）
当时，，函数在上单调递减，
当时，，函数在上单调递增， （4分）
函数在处取得极小值，极小值 （6分）
（2）可知，
当时，在上恒成立，即在上单调递增，此时不存在最小值。
当时，令，即，解得， （8分）
则当时，，函数在上单调递减，
当时，，函数在上单调递增，
在处取得极小值，也是最小值， （11分）
最小值，
令函数，则，
可知函数在上单调递减，可知时，，且。
所以存在，使， （13分）
当时，，在上单调递增，当时，，在上单调递减，因为时，，，
所以在时，，所以实数的取值范围为。 （17分）
19. 在平面直角坐标系上的一只蚂蚁从原点出发，每次随机地向上下左右四个方向移动1个单位长度，记蚂
蚁所到达的点为，且对任意的，均有，。现规定只要蚂蚁到达的点满足，则称蚂蚁成功了一次，设蚂蚁第次成功时所移动的总步数为，。
（1）求的概率；（2）求随机变量的数学期望；（3）求随机变量的数学期望；
参考公式：① 若，则当时，；② 对离散型随机变量，，有：。
解：（1）当点满足时，记其为，，，。
蚂蚁奇数次移动后必然到达点，之后有的概率到达点，有的概率到达点，
蚂蚁在或时，下一步必然到达。故。分
（2）解法一：由题知，可取，，，，，，，且， 分
故而。
设，
于是，
则
分
于是，得 分
解法二：蚂蚁在两次移动后，有的概率经过到达，有的概率经过到达，
于是。 分
（3）解法一：则当时，蚂蚁第次到达所经历的步数可能为：
，，，，， 分
当蚂蚁通过步第次到达时，前面的步中，在奇数步中，必然到达，
偶数步中，有次到达，对应的概率为，最后步移动以的概率回到。
于是，故
____（13分）
记，则.
于是____（15分）
又由，有，
所以又由也符合上式知，对于一切，有.（17分）
解法二：设初始位置为时第次到达时移动的总次数为，
设初始位置为时第次到达时移动的总次数为，
由题，初始位置为时第次到达时移动的总次数为，则当时，
\quad\quad\quad（11分）
即
即得，又由有
____（15分）
即，又由得.\quad\quad\quad（17分）
解法三：由题，有，
结合知，，于是. ____（17分）
解法四：将每两次移动视为一次操作，易知1次操作中，必然有1次到达，有1次到达或者，
即每次操作有的概率发生“到达”，有的概率不发生“到达”．于是为使事件“到达”发生次，
平均需要进行次操作，于是需要移动次，即. ____（17分）

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