资源简介

高2028届高一（下）第三次月考
数学试卷
（考试时间：120分钟，满分150分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、（原创）已知复数满足，则的虚部为（ ）
A．3 B．4
C．．
2、（原创）一个水平放置的平面图形，用斜二测画法画出了它的直观图，
如图所示，，，则原平面图形的面积为（ ）
A． B．
C． D．
3、（原创）已知球的半径为5cm，球的一个截面圆的周长为cm，则球心到该截面所在平面的距
离为（ ）
A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm
4、（改编）已知直线，，，下列命题中正确的是（ ）
A．若，，则
B．若，，则
C．若，则，，共面
D．若，异面，，异面，则，异面
5、如图，在正方体中，，分别为，的中点，异面直线与所成角
为（ ）
A． B．
C． D．
6、（原创）设，，在上的投影向量为，则与的夹角为（ ）
A． B．
C． D．
7、已知中，，，，则等于（ ）
A．
B．或
C．
D．或
8、（原创）已知正方体中，棱长为2，点为线段上的动点，
则的最小值为 （ ）
A． B．
C． D．4
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对得部分分，有选错的得0分。
9、（原创）已知复数满足，以下说法正确的有（ ）
A.
B. 在复平面内对应的点在第一象限
C.
D. 若是方程的一个根，则
10、（原创）如图所示，线段是圆的弦，其中，，点为圆上任意一点，则以下结论正确的是（ ）
A.
B.
C. 的最大值是48
D. 当时，
11、（原创）在棱长为2的正方体中，点是正方体内及其表面上一动点，且面，则线段的长度可能是（ ）
A. B.
C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12、（原创）已知，，若，则 。
13、（原创）已知一个圆锥的底面直径等于母线长，侧面积为，则该圆锥的体积为 。
14、如图所示，有一只内壁呈半球面的小碗，半径为，碗内放了三颗汤圆（视为半径均为的球）。三颗汤圆两两相切，且汤圆与碗的内壁均相切。若汤圆与碗口等高，则 。
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15（13分）
已知，，且与的夹角为，求：
（1）；
（2）若向量与平行，求实数的值。
16（15分）
如图，矩形是圆柱的轴截面，，，为的中点，为的中点．
（1）求圆柱的侧面积；
（2）求圆柱的外接球的表面积；
（3）证明：平面．
17（15分）
（改编）如图所示，四棱锥，底面为正方形，，为正三角形，，点在上．
（1）求异面直线与所成角的余弦值；
（2）若，在棱上是否存在一点，使平面？并证明你的结论．
18（17分）
在中，角，，所对的边分别是，，，，且.
（1）求；
（2）若为锐角三角形，求的取值范围.
（3）若角的角平分线交于点，求长度的最大值.
19（17分）
（改编）在中，角，，所对的边分别为，，．为边上的中线，点，分别为边，上动点，交于．已知，且．
（1）求；
（2）设，，若，求；
（3）在（2）的条件下，若，求的取值范围．
高2028届高一（下）第三次月考数学参考答案
一、单项选择题
1-4、、BCDC
二、多项选择题
9、ABD 10、ABC 11、CD
三、填空题
12、、 14、
四、解答题
15、解（1），所以。
（2）由于向量与平行，所以存在实数，
使得，所以，解得。
16、解（1）因为，，所以圆柱的母线长为4，底面半径为1，
则圆柱的侧面积
（2）取的中点，连接，易求得，
即圆柱的外接球的半径为，故该球的表面积为。
（3）取的中点。连接，。因为为的中点，所以，，
又，，所以，，所以四边形为平行四边形，
则，又平面，平面，所以平面。
17、解（1）取的中点，因为为中点，
所以在中，为中位线，所以，，所以
为异面直线与所成角（或其补角），
在中，，，，
由余弦定理可得，又，
所以为锐角，所以异面直线与所成角的余弦值为；
（2）当是棱中点时，平面
证明如下：取中点，连接，，则，
平面，平面，平面，
在中，为中点，为中点，
平面，平面，所以平面；，所以平面平面；平面，平面
18、解（1）由正弦定理可得：，
因为，
所以，即，
由可得，即，由，可得。
（2）因为，
所以
，
由三角形为锐角三角形可知，，解得，
所以，，所以。
（3）如图，由余弦定理，，
即，当且仅当时，等号成立，
又，化简可得，，
所以，当且仅当时等号成立。
故长度的最大值为。
19、【解】（1）因为，所以由正弦定理
，由余弦定理因为
，所以．
（2）因为为中点，所以，
所以，
，
所以，
即，解得或，
又，所以，所以的余弦值为．
（3）设，
，
由，，三点共线，得，
，
，
所以，
，
所以，所以．所以．
所以的取值范围为．

展开更多......

收起↑