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重庆南开中学高2027级高二（下）数学练习（十一）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1. 若，则“”是“”的（ ）
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
2. 记集合，，则（ ）
A. B.
C. D.
3. 已知，则的最小值为（ ）
A. B.
C.5 D.9
4. 已知，，，的平均数为，方差为2，则，，，，的方差为（ ）
A. B.
C. D.
5. 已知服从正态分布，记函数，，则正确的是（注：若，则，）（ ）
A.
B.
C.
D. 的图象关于对称
6. 设，是随机试验中的两个事件，，，，则下列错误的是（ ）
A. B.
C. D.
7. 有8名划船运动员，其中2人只会划左舷，3人只会划右舷，其他3人既会划左舷又会划右舷，现要从这8名运动员中选出6人平均分在左、右舷参加划船比赛，则不同的选法共有（ ）
A.52种 B.53种 C.54种 D.55种
8. 已知点，，定义为，的“镜像距离”。若点，在曲线上，则的最小值为（ ）
A.1 B.
C.2 D.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分.
9. 下列说法正确的是（ ）
A. 利用进行独立性检验时，的值越大，说明有更大的把握认为两个分类变量独立
B. 在残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越窄，其模型拟合效果越好
C. 样本相关系数的绝对值大小可以反映成对样本数据之间线性相关的程度，当越接近1时，成对样本数据的线性相关程度越弱
D. 用决定系数来比较两个模型的拟合效果，越大，表示残差平方和越小，即模型的拟合效果越好
10. 设，下列说法正确的是（ ）
A. 若，则的最小值为1
B. 恒成立
C. ，恒成立
D. 若，，且，则
11. 甲、乙两人进行足球点球比赛，用抽签的方式决定谁先进行，甲、乙抽中的机会均等. 每次点球若射中，则继续；若未射中，则换对方点球. 已知甲、乙每次点球射中的概率分别为，，且每次点球是否射中相互独立，则（ ）
A. 第2个球是甲射门的概率为
B. 在第1个球和第2个球均是甲射门的条件下，第3个球是乙射门的概率为
C. 前4个球中甲、乙各射2个的概率为
D. 在第3个球是甲射门的条件下，第1个球是乙射门的概率为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 若，则 .
13. 已知正数，满足，则的最大值为 .
14. 参加数学兴趣小组的小何同学在打篮球时，发现当篮球放在地面上时，篮球的斜上方灯泡照过来的光线
使得篮球在地面上留下的影子有点像数学课上学过的椭圆，但他自己还是不太确定这个想法，于是回到家里翻阅了很多参考资料，终于明白自己的猜想是没有问题的，而且通过学习，他还确定地面和篮球的接触点（切点）就是影子椭圆的焦点．他在家里做了个探究实验：如图所示，桌面上有一个篮球，若篮球的半径为1个单位长度，在球的右上方有一个灯泡（当成质点），灯泡与桌面的距离为4个单位长度，灯泡垂直照射在平面的点为，影子椭圆的右顶点到点的距离为3个单位长度，则这个影子椭圆的离心率 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．一座城市的夜间经济不仅有助于拉动本地居民内需，还能延长外地游客、商务办公者等的留存时间，带动当地经济发展，是衡量一座城市生活质量、消费水平、投资环境及文化发展活力的重要指标．数据显示，近年来中国各地政府对夜间经济的扶持力度加大，夜间经济的市场发展规模保持稳定增长，下表为2017—2022年中国夜间经济的市场发展规模（单位：万亿元），其中2017—2022年对应的年份代码依次为．
年份代码 1 2 3 4 5 6
中国夜间经济的市场发展规模万亿元 20.5 22.9 26.4 30.9 36.4 42.4
（1）已知可用函数模型拟合与的关系，请建立关于的回归方程（，的值精确到0.01）；
（2）某传媒公司预测2023年中国夜间经济的市场规模将达到48.1万亿元，现用（1）中求得的回归方程预测2023年中国夜间经济的市场规模，若两个预测规模误差不超过1万亿元，则认为（1）中求得的回归方程是理想的，否则是不理想的，判断（1）中求得的回归方程是否理想．参考数据：
3.366 73.282 17.25 1.16 2.83
其中，参考公式：对于一组数据，，，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，．
16. 记数列的前项和为，已知，。
（1）证明：为等比数列；
（2）设，求数列的前项和。
17. 已知函数。
（1）若函数在处的切线与直线垂直，求函数的单调区间；
（2）若，都有恒成立，求实数的取值范围。
18. 新年伊始，某车间开始生产活动。已知该车间每天被安排生产甲产品或乙产品的概率均为，且要求，两位员工中，每天至少有一人值班。为了公平起见，当某天被安排生产甲产品时，若之前的值班总天数多于，则两者当天均值班，若之前的值班总天数不多于，则值班；同样的，当某天被安排生产乙产品时，若之前的值班总天数多于，则两者当天均值班，若之前的值班总天数不多于，则值班。设刚开始时两人值班总天数均为。
（1）分析开工第二天后，两人值班天数的所有情况；
（2）求天后，两位员工值班总天数相同的概率；
（3）求天后，值班总天数的期望。
参考公式：随机变量，的期望满足公式
19. 已知抛物线：经过点，是抛物线上异于点的动点，且。
（1）求直线的斜率（用表示）；
（2）设不经过点的直线与交于，两点，且直线，的斜率之和为。
①求证：直线恒过定点；
②若向量，且，求的面积的取值范围。
重庆南开中学高2027级高二（下）数学练习（十一）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 D A B B D C D D BD BCD AC
题号 12 13 14
答案 84
8解：因为，所以，所以，所以，
所以的反函数为．因为在曲线上，
所以在曲线．
相当于上的点与上的点的距离．
利用反函数的性质可得与的图象关于对称，
所以与垂直时，取得最小，等于点到直线距离的2倍．
因为，所以．令，解得，所以，
所以与直线平行，且与相切的切点坐标为，
切点到直线的距离为，所以的最小值为．
11．解：记 “抽签抽到甲”， “甲点球射中”， “抽签抽到乙”， “乙点球射中”，
则，，，可得，，
对于选项：第2个球是甲射门的可能情况为：甲甲，乙甲，
所以所求事件的概率为，故正确；
对于选项：在第1个球和第2个球均是甲射门的条件下，第3个球是乙射门，可知第2球甲未射中，
所以所求事件的概率为，故错误；
对于选项：若前4个球中甲、乙各射2个，则可能情况有：甲甲乙乙，甲乙甲乙，甲甲乙甲，乙甲甲乙，
乙甲甲乙，乙乙甲甲，
所求的概率为，故正确；
对于选项：第3个球是甲射门的可能情况为：甲甲甲，乙甲甲，甲乙甲，乙乙甲，
对应的概率为，
第1个球是乙射门且3个球是甲射门的可能情况为：乙甲甲，乙乙甲，
对应的概率为，所以所求事件的概率，故错误．
14.解：以为坐标原点建立平面直角坐标系，由题意可知，，
由题意可得，，则，，
设，，则到的距离，解得（舍
去）。，则，又设，由
，得。，则，
得，，，解得。
椭圆的离心率。
15.解：（1）将的等号左右两边同时取自然对数得，
所以，，而，
所以，
，所以，即，
所以；
（2）2023年对应的年份代码为7，当时，，，
所以（1）中求得的回归方程是理想的。
16. 证明：（1）记数列的前项和为，
已知，，将两边同时加，
得，因为，所以是以3为首项，3为公比的等比数列；
（2）由（1）知，即，
当时，，
当时，不符合上式，
故，所以
当时，
，
由于当时也满足该式，因此数列的前项和。
17. 解：（1）的定义域为，，
由题意得，解得，，
当时，恒成立，即在上单调递减；
当时，易知在上单调递增，又，
所以时，，时，，
所以函数在上单调递减，在单调递增；
综上：函数的单调递减区间为，单调递增区间为；
（2）由题意知：对任意恒成立，
可化为对任意恒成立，令，则有对任意恒成立，
由，，可得对任意恒成立，令，则，
令，可得，
当时，，单调递增；当时，，单调递减；
所以，即，解得，故的取值范围为。
18. 解：（1）第一天只有一人值班，第二天两人都值班或第一天未值班的人单独值班，
开工第二天后，两人的值班天数的情况有三种，为一天，两天；两天，一天；，各一天；
（2）由题意可知，两人值班总天数之差至多为，
且值班总天数较少者下一天单独值班的概率为，
由对称性，的值班总天数多于，与的值班总天数多于的概率相等，为，
所以，
所以，
又，即，所以；
（3）设第天值班的天数为随机变量，为或，
易知，
即，
所以，
因为，
所以
19. 解：（1）将点代入抛物线方程，所以，解得，
则抛物线的方程为，此时，因为，所以，则；
（2）①证明：设直线的方程为，，，
因为，两点均在抛物线上，所以，，
联立，消去并整理得，此时，
由韦达定理得，，所以，
即，所以，此时，
所以直线的方程为，即，则直线过定点，该点坐标为；
②由，，可得轴，且，
联立，令，解得，
则，，此时，因为，
所以，得，
因为，所以，且，
则的面积
，
因为，
又，解得，又，所以，即，
所以，且，此时且，
因为函数在单调递减，在单调递增，
所以当，，当，，
当，．则面积的取值范围为．

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