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人教版九上数学AI赋能完全备课 教学课件
25.1 一元二次方程的概念
第25章 一元二次方程
1. 理解一元二次方程的概念.(重点)
2. 掌握一元二次方程的一般形式，并能将一元二次方
程转化为一般形式，确定出二次项系数、一次项系
数和常数项. (难点)
3. 理解一元二次方程的根的意义.
4. 通过提出问题，建立一元二次方程的数学模型，发展数学思维.
在设计人体雕像时，使雕像的腰部以上与腰部以下的身长比，等于腰部以下与全身的身长比，可以增加视觉美感，如果某人体雕像全身长为 5 m，按照上述比例，雕像腰部以下为多长？
∠1 = ∠2
已知 AB = 5m，
求 BC 长度.
实际问题
几何问题
AC∶BC = BC∶5，
即 BC = 5AC.
A
C
B
解：设雕像下部 BC = x m，
x m
(5 - x) m
A
C
B
想一想，上述方程与以往我们学过的方程有什么联系和区别？
列方程得 x2 = 5(5 - x )，
整理得　x 2 + 5x - 25 = 0．①
BC = 5AC.
问题1 有一块矩形铁皮，长 100 cm，宽 50 cm，在它的四角各切去一个同样的正方形铁皮，然后将四周凸出部分折起，就能制作一个无盖方盒，如果要制作的无盖方盒的底面积为 3600 cm2，那么矩形铁皮各角应切去边长为多少的正方形铁皮？
100 cm
50cm
探究点1：一元二次方程的概念
x
由方程②可以得出各角所切正方形铁皮的边长.
分析：要制作一个无盖的方盒，四角都要剪去一个相同的正方形，我们设正方形边长为 cm，则盒底的长为 cm，盒底的宽为 cm，根据矩形的面积公式及方盒的底面积 3600 cm2，可列方程为 .
100 cm
50 cm
3600 cm2
x
(50 - 2x)
x
(100 - 2x)
(100-2x)(50-2x) = 3600
化简，得
x - 75x + 350 = 0②
探究点1：一元二次方程的概念
方程②中未知数的个
数和最高次数各是多少
问题2 要组织一次排球邀请赛，赛制为单循环形式(每两支球队之间比赛 1 场)，根据场地和时间等条件，赛程计划安排 7 天，每天安排 4 场比赛，组织者应邀请多少支球队参赛？
探究点1：一元二次方程的概念
分析：本次排球比赛的总比赛场数为 场.设邀请 支队参赛，则每支队与其他 支队都要赛一场.根据题意，你列出的方程
28
x
(x - 1)
x2 - x = 56
x(x -1) = 28
③
是 .整理为 .
探究点1：一元二次方程的概念
由方程③可以得出应邀请的球队数.
方程③中未知数的个数和最高次数各是多少
方程 ① ② ③ 有什么共同点？
(1) 方程的两边都是_____；
(2) 都只含_____个未知数；
(3) 未知数的最高次数都是__.
x2 - 75x＋350 = 0 ②
x2 + 5x - 25 = 0 ①
x2 - x = 56 ③
类比一元一次方程的特征填空.
整式
1
2
探究点1：一元二次方程的概念
一般地，如果方程中只含有一个未知数，且含有未知数的式子都是整式，未知数的最高次数是 2，这样的方程叫作一元二次方程.
【知识要点】
ax2 是二次项， a 是二次项系数；
bx 是一次项， b 是一次项系数； c 是常数项.
一元二次方程的一般形式：
ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0).
探究点1：一元二次方程的概念
想一想：为什么一元二次方程的一般形式
ax2 + bx + c = 0 中要限制 a≠0？b，c 可以为 0 吗？
当 a = 0 时，
bx＋c = 0，
当 a≠0，b = 0 时，
ax2＋c = 0，
当 a≠0，c = 0 时，
ax2＋bx = 0，
当 a≠0，b = c = 0 时，
ax2 = 0，
总结：只要满足 a≠0 即可，b，c 可以为任意实数.
不符合定义；
符合定义；
符合定义；
符合定义．
探究点1：一元二次方程的概念
例1 下列选项中，是关于 x 的一元二次方程的是（ ）
C
三个判断条件：
①方程两边都是整式；②只含有一个未知数；
③未知数的最高次数是 2.
总结
C. (x - 1)(x - 2) =0 D. 4x - 1 = (2x + 3)
A. x + = 0
B. 3x - 5xy + y = 0
探究点1：一元二次方程的概念
(8) 2 - - 6 = 0.
1.判断下列方程是否为一元二次方程：

×
×
×
×

×
×
(1) x + x = 36；
(3) x + 3y =36；
(5) x + 1 = 0；
(7) ax + bx + c = 0；
(2) x3 + x = 36；
(4) - = 0；
(6) = 6；
【练一练】
探究点1：一元二次方程的概念
例2 a 为何值时，下列方程为关于 x 的一元二次方程？
(1) ax2－x = 2x2；
(2) (a－1) x |a| + 1－2x－7 = 0.
(a - 2) x2 - x = 0
a ≠ 2
(1)
a - 2 ≠ 0
(2)
| a | + 1 = 2
a = 1 或 -1
a - 1 ≠ 0
a ≠ 1
a = -1
探究点1：一元二次方程的概念
2. 已知方程 (2a－4)x2 2bx + a = 0.
(1) 在什么条件下此方程为关于 x 的一元二次方程？
(2) 在什么条件下此方程为关于 x 的一元一次方程？
解：(1) 当 2a 4≠0，即 a≠2 时，是关于 x 的一元
二次方程.
(2) 当 a = 2 且 b≠0 时，是关于 x 的一元一次方程.
探究点1：一元二次方程的概念
例3 将方程 3x(x - 1) = 5(x + 2) 化成一元二次方程一般形式，并分别指出它的二次项、一次项和常数项及它们的系数.
系数和项均包含前面的符号.
总结
解： 去括号，得 3x2 - 3x = 5x + 10.
移项，合并同类项，得一元二次方程的一般形式
3x2 - 8x - 10 = 0.
其中二次项系数是 3，一次项系数是 -8，常数项是 -10.
探究点1：一元二次方程的概念
探究点2：一元二次方程的根
试一试：下面哪些数是方程 x2 – x – 6 = 0 的根
– 4， –3， –2， –1，0，1，2，3，4
x –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4
x2 – x – 6
14
6
0
– 4
– 6
– 6
– 4
0
6
总结：使一元二次方程左右两边相等的未知数的值，就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫作一元二次方程的根.
例4 已知关于 x 的一元二次方程 x2 + ax + a = 0 的一个根是 3，求 a 的值.
解：由题意把 x = 3 代入方程 x2 + ax + a = 0，得
32 + 3a + a = 0.
总结: 已知方程的根求字母的值，只需要把方程的根代入方程中，得到一个关于这个字母的方程，然后解这个方程，就能得到字母的值.
∴ a = .
探究点2：一元二次方程的根
变式 已知 a 是方程 x2 + 2x - 2 = 0 的一个实数根，求 2a2 + 4a + 2026 的值.
解：由题意得 a2 + 2a - 2 = 0，即 a2 + 2a = 2.
方法点拨：求代数式的值，先把已知解代入方程，然后注意观察，有时需用到整体思想——将所求代数式中的某一部分看作一个整体，再将这个整体的值代入求解
∴ 2a2 + 4a + 2026 = 2(a2 + 2a) + 2026
= 2×2 + 2026
= 2030
探究点2：一元二次方程的根
定义
一元二次方程
只含有__个未知数 (一元)，并且未知数的最高次数是__(二次) 的方程
一般形式
1
2
ax2 + bx + c = 0(a___0)
≠
一元二次方程的根(解)
使方程左右两边____的未知数的值
相等
A. 3x2＋＝0
B. 2x－3y＋1＝0
C. (x－3)(x－2)＝x2
D. (3x－1)(3x＋1)＝3
D
1. 下列方程是一元二次方程的是(　D　)
2. 已知 x＝2 是一元二次方程 x2＋mx＋2＝0 的一个解，则 m 的值是(　A　)
A. －3 B. 3
C. 0 D. 0或3
A
3. 方程2x2－1＝x的二次项系数是 ，
一次项系数是 ，常数项是 .
4. [高频易错]若方程 (m－1)x｜m＋1｜＋2x－7＝0
是关于 x 的一元二次方程，则 m 的值为 .
2　
－　
－1　
－3　
(1)一个微信群里共有 x 个好友，每个好友都分别给
群里其他好友发送一条消息，这样共有 756 条消息；意得x2＋(x＋2)2＝130.一般形式：2x2＋4x－
126＝0.
解：(1)依题意得 x(x－1)＝756.
一般形式：x2－x－756＝0.
解：(2)设这两个连续奇数分别为 x，x＋2，
根据题意得 x2＋(x＋2)2＝130.
一般形式：2x2＋4x－126＝0.
5. [教材变式]根据下列问题列方程，并将所
列方程化成一元二次方程的一般形式.
(2)两个连续奇数的平方和为 130，求这两个奇数.
Thanks!
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