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人教版九上数学AI赋能完全备课 教学课件
25.2 降次—解一元二次方程
25.2.1 第1课时 直接开方法
第25章 一元二次方程
1. 初步了解利用转化思想降次解一元二次方程的思路.
2. 会利用直接开平方法对形如 ( x + m) = n (n > 0) 的一元二次方程进行求解.(重、难点)
3.通过探究用直接开平方法解一元二次方程，培养学生勇于探索的良好学习习惯，会用数学的思维思考现实.
一个正方形花坛的面积为 10，若设其边长为 x，根据正方形的面积可列出怎样的方程？用怎样的方法可以求出所列方程的解呢？
1. 如果 x2 = a，则 x 叫作 a 的 .
2. 如果 x2 = a (a≥0)，则 x = .
3. 任何数都有平方根吗？
平方根
负数没有平方根.
(1) x2 = 4.
解：根据平方根的意义，得 x = ±2，
即 x1 = 2，x2 = -2.
探究点1：直接开平方法解形如 x = p 的方程
解下列方程，并与同伴交流，说明你所用的方法.
解下列方程，并与同伴交流，说明你所用的方法.
(2) x2 = 0；
(3) x2 + 1 = 0.
解：移项，得 x2 = -1.
∵ 负数没有平方根，
∴ 原方程无实数解.
解：根据平方根的意义，得
x1 = x2 = 0.
你能归纳一下这类方程的解的情况吗？
探究点1：直接开平方法解形如 x = p 的方程
(2) 当 p = 0 时，方程有两个相等的实数根 x1 = x2 = 0；
(3) 当 p < 0 时，因为对任意实数 x，都有 x2 ≥ 0，所以方程无实数根.
一般地，对于方程为 x2 = p，
(1) 当 p > 0 时，根据平方根的意义，方程有两个不相等的实数根 x1 = ，x2 = ；
归纳：利用平方根的意义直接开平方求一元二次方程的根的方法叫直接开平方法.
探究点1：直接开平方法解形如 x = p 的方程
例1 利用直接开平方法解下列方程：
(1) x2 = 6；
解：(1) 直接开平方，得
x = ±.
即 x1 = ，x2 = .
(2) 4x2 - 3 = 0；
(2) 移项，并将二次项系数化为 1，得
x2 = .
由此可得
x = ±
即 x1 = ，x2 = .
探究点1：直接开平方法解形如 x = p 的方程
(1) x2 - 900 = 0；
解：移项，得
x2 = 900.
由此可得
x = ± 30.
∴ x1 = 30，x2 = -30.
1. 解下列方程.
【练一练】
(2) 2x2 - 120 = 0.
解：
移项，得 2x2 = 120.
系数化为 1，得 x2 = 60.
由此可得
x = ± .
即 x1 = ，x2 = .
探究点1：直接开平方法解形如 x = p 的方程
由方程 (x + 3)2 = 5 ①，得
x + 3 = ±，
即 x + 3 = ，或 x + 3 = . ②
于是方程 (x + 3)2 = 5 的两个根为
x1 = -3 + ，或 x2 = -3 .
探究：对照上面解方程 x2 = 4 的过程，你认为怎样解方程 (x + 3)2 = 5？
探究点2：直接开平方法解形如 (x+n) = p 的方程
解一元一次方程 解一元二次方程
目标: 转化为 x = p 目标: 转化为 x = p
步骤: 移项、合并、 系数化1 步骤:
例: 2x + 5 = 11 → x = 3 例: (x + 3)2 = 5 →
x + 3 = ，或 x + 3 =
降次→拆为一次方程→求解
【对比总结】
探究点2：直接开平方法解形如 (x+n) = p 的方程
例2 解下列方程：
(1) (x＋2)2 = 9；
(2) (x 1)2 4 = 0.
解：(1) 移项，得 (x＋2)2 = 9.
由此可得 x＋2 = ± 3，
x＋2 = 3，或 x＋2 = －3，
即 x1 = 1，x2 = -5.
探究点2：直接开平方法解形如 (x+n) = p 的方程
例2 解下列方程：
(1) (x＋2)2 = 9；
(2) (x 1)2 4 = 0.
即 x1 = 3，x2 = 1.
(2) 移项，得 (x 1)2 = 4.
由此可得 x 1 = ±2，
x 1 = 2，或 x 1 = －2，
探究点2：直接开平方法解形如 (x+n) = p 的方程
【练一练】
(1) 12(3 2x)2 3 = 0.
解：(1) 移项，并将二次项系数化为 1，得
由此可得
3 2x = ±，
3 2x = ，或 3 2x = .
2. 解下列方程：
(3 2x)2 = .
即 x1 = ，x2 = .
探究点2：直接开平方法解形如 (x+n) = p 的方程
解：将上式整理为 (3x + 1)2 = 4.
(2) 9x + 6x + 1 = 4.
由此可得
3x + 1 = ±2，
3x + 1 = 2，或 3x + 1 = -2.
即 x1 = ，x2 = -1.
探究点2：直接开平方法解形如 (x+n) = p 的方程
3. 解方程：(2x + 3)2 = (3x + 2)2.
解：开方，得 2x + 3 = 3x + 2 或 2x + 3 = -3x - 2，
解得 x1 = 1 ， x2 = -1.
探究点2：直接开平方法解形如 (x+n) = p 的方程
1. 能用直接开平方法解的一元二次方程有什么特点？
如果一个一元二次方程具有 x2 = p 或 (x＋n)2 = p (p≥0) 的形式，那么就可以用直接开平方法求解.
2. 任意一个一元二次方程都能用直接开平方法求解吗？
请举例说明.
不是所有的一元二次方程都能用直接开平方法求解，如：x2 + 2x - 3 = 0.
探究点2：直接开平方法解形如 (x+n) = p 的方程
概念
直接开平方
利用平方根的定义求方程的根的方法
步骤
关键要把方程化成 x2 = p (p≥0)或 (x + n)2 = p (p≥0)
基本思路
一元二次方程
降次
直接开平方法
两个一元一次方程
______
___________________
1.用直接开平方法解下列方程，其中无实数解
的是(　A　)
A. x2＋3＝0 B. －2x2＝0
C. x2－4＝0 D. (x－2)2＝0
A
2. 方程x2＝36的解是(　D　)
A. x＝6 B. x＝－6
C. x1＝9，x2＝4 D. x1＝6，x2＝－6
3.若方程(x－4)2＝a有实数解，则a的取值范围
是(　B　)
A. a≤0 B. a≥0
C. a＞0 D. 无法确定
D
B
4. 方程(x－2)2＝16的解是 .
5. 解下列方程：
(1)25(x－3)2－9＝0；
x1＝6，x2＝－2　
书写通关
解：方程整理得( )2＝ .
开平方得 　x－3＝　，或 　x－3＝－　.
解得x1＝ 　　，x2＝ 　　.
x－3
　
x－3＝　
x－3＝－　
　
　
(2)(2x＋3)2＝7；
解：x1＝，x2＝.
解：x1＝，x2＝.
(3)t2＋4t＋4＝4；
解：t1＝0，t2＝－4.
(4)(3x－1)2＝(2x＋3)2.
解：x1＝4，x2＝－.
解：t1＝0，t2＝－4.
解：x1＝4，x2＝－.
Thanks!
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