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人教版九上数学AI赋能完全备课 教学课件
数学活动：探究方程有公共解的条件和神奇的线段分割
第25章 一元二次方程
1. 通过探究，归纳方程有公共解的条件，理解线段分割的数量关系，尝试尺规作图实现特定分割.
(难点、重点)
2. 经历“猜想一验证一推导”的探究过程，提升逻辑推理与数形结合能力，在互动中感受数学的关联性，激发主动探究的兴趣.
如何解决下列两个任务：
任务一：“三个一元二次方程，系数不同却有公共解”背后藏着什么规律？
任务二：线段分三段，既要“最长段＝另两段和”，又要满足分式等式，是巧合还是必然？
探究点一：探究方程有公共解的条件
活动1：已知 abc≠0，下列方程：
ax + bx + c = 0， ①
bx + cx + a = 0， ②
cx + ax + b = 0. ③
恰有一个公共解.
给出 a，b，c 满足的条件，并求出方程①②③的解.
问题1：要找三个方程的公共解，第一步可以怎么做？
设公共解为 k
问题2：将 k 代入三个方程，能得到什么式子？
问题3：如何处理这三个式子，得到 a，b，c 的关系？
ax + bx + c = 0， ①
bx + cx + a = 0， ②
cx + ax + b = 0. ③
ak + bk + c = 0，
bk + ck + a = 0，
ck + ak + b = 0.
ak + bk + c = 0，
bk + ck + a = 0，
ck + ak + b = 0.
将三式相加：
(a + b + c)k + (b + c + a)k + (c + a + b) = 0
提取公因式：
(a + b + c)(k + k + 1) = 0
分析：k + k + 1 =
因此必有 a + b + c = 0.
k +k+1能等于0吗？为什么？
ax + bx + c = 0， ①
bx + cx + a = 0， ②
cx + ax + b = 0. ③
当 a + b + c = 0 时，c = -a - b，代入方程①:
ax + bx - a - b = 0
因式分解：
a(x - 1) + b(x - 1) = 0
(x - 1) [ a(x + 1) + b] = 0
解得 x = 1 或
验证：将 x = 1 代入方程 ②、③，均满足 a + b + c = 0，因此公共解为 x = 1，条件为a + b + c = 0 (abc≠0).
【归纳小结】
多个方程公共解问题的通用思路：
设公共解 → 代入方程 →构造关系式→分析系数条件
探究点二：探究方程有公共解的条件
活动2 神奇的线段分割
王芳：李明，我们来做个智力游戏吧. 你能把任意一条线段分成两两不等的三条线段，使其中最长的线段等于另外两条线段的和吗？
依据“线段和差的拼接规则”：若线段总长为
L = a + b + c，当 a = b + c 时，只需在原线段上先截取长为 b 的段，再截取长为 c 的段，剩余部分即为 a (a = L - b - c = b + c )，可实现共线的三段分割.
李明：这简单，你来试试这个. 还是把一条线段分成两两不等的三条线段，如果三条线段的长度分别为 a，b，c，且 a > b > c，你能找到合适的 a，b，c，使 a = b + c 和 同时成立吗？
把 a = b + c 代入 ，将 a = b + c 代入分式方程:
c(2b +c) = b + bc
c + bc - b = 0
两边除以 b ，
t + t - 1 = 0
设 (t＞1)，得
解得
c + bc - b = 0
即 c = b，a = b + c = b.
比如取 b = 2，那 c = a = b + c = ，这样就满足条件.
1. 作线段 AB (即 b )，过 A 作 AB 的垂线，截取 AE = AB；
2. 连接 BE，以 E 为圆心，AE 为半径画弧，交 BE 于 F；
3. 以 B 为圆心，BF 为半径画弧，交 AB 于 D，此时
BD(即 c ) = AB ；
4. 再以 D 为起点，按比例截取 DC，使 DC(即 a ) = AD，得 到第二个分点 C。
思考：怎么用尺规作出李明提出的问题中线段的两个分点？
C
A
B
E
F
D
1.方程公共解问题：设公共解、代入推导，核心是构造系数关系，本题中 a + b + c = 0 ，公共解为 x = 1.
2.线段分割问题：通过代数推导得到黄金分割比例，再用尺规作图实现，体会代数与几何的联系.
3.方法总结：探究数学问题的通用思路—设元、代入、推导、验证、应用.
1. 已知三个一元二次方程：x + bx + c = 0、bx + cx + 1 = 0、cx + x + b = 0 有唯一公共解，且 b = 2，则 c = .
2. 将一条长为 10 cm 的线段分成三段 m，n，p ( p 为最长段)，满足 p = m + n 且
n 与 m 的数量关系 .
-3
Thanks!
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