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2026秋人教九上数学AI赋能完全备课【导学案】
第25章 一元二次方程
25.2 降次—解一元二次方程
25.2.1 第1课时 直接开方法
【学习目标】
学习目标：1.会把一元二次方程降次转化为两个一元一次方程；
2.运用开平方法解形如x2=p或(x+n)2=p (p≥0)的方程.
学习重点：运用开平方法解形如x2=p或 (x+n)2=p (p≥0)的方程.
学习难点：会把一元二次方程降次转化为两个一元一次方程.
【情境导入】
一个正方形花坛的面积为 10，若设其边长为 x，根据正方形的面积可列出怎样的方程？用怎样的方法可以求出所列方程的解呢？
【复习导入】
1.如果 x2 = a，那么x叫做a的 .
2.如果 x2= a(a≥0)，那么x= .
3.任何数都可以作为被开方数吗？
【合作探究】
探究点1：直接开平方法解形如 x = p 的方程
试一试 解下列方程，并与同伴交流，说明你所用的方法.
(1) x2=4； (2) x2=0； (3) x2+1=0.
探究归纳：一般的，对于可化为x2 = p(I) 的方程，
(1)当p>0 时，根据平方根的意义，方程(I)有两个不相等的实数根，；
(2)当p=0 时，方程(I)有两个相等的实数根；
(3)当p<0 时，因为任何实数x，都有x2≥0 ，所以方程(I)无实数根.
归纳：利用平方根的意义直接开平方求一元二次方程的根的方法叫直接开平方法.
典例精析
例1 利用直接开平方法解下列方程：
(1) x2=6； (2) 4x2 - 3 = 0；
方法总结：通过移项把方程化为x2 = p的形式，然后直接开平方即可求解
练一练
1. 解下列方程.
(1) x2 - 900 = 0. (2) 2x2 - 120 = 0；
探究点2：直接开平方法解形如(x+n)2=p (p≥0)的方程
探究：对照上面解方程 x2 = 4 的过程，你认为怎样解方程 (x+3)2=5？
解题归纳：上面的解法中，实质上是把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程，这样就把方程转化为我们会解的方程了.
例2 解下列方程：
（1）(x＋1)2= 9 ； （2）(x－1)2－4 = 0；
练一练
2. 解下列方程：
（1）12(3－2x)2－3 = 0.
3. 解方程：(2x + 3)2 = (3x + 2)2.
探究交流
1.能用直接开平方法解的一元二次方程有什么特点？
2.任意一个一元二次方程都能用直接开平方法求解吗？请举例说明.
当堂反馈
1.用直接开平方法解下列方程，其中无实数解的是(　　)
A.x2＋3＝0 B.－2x2＝0 C.x2－4＝0 D.(x－2)2＝0
2.方程x2＝36的解是(　　)
A.x＝6 B.x＝－6 C.x1＝9，x2＝4 D.x1＝6，x2＝－6
3.若方程(x－4)2＝a有实数解，则a的取值范围是(　　)
A.a≤0 B.a≥0 C.a＞0 D.无法确定
4.方程(x－2)2＝16的解是　　.
5.解下列方程：
(1)25(x－3)2－9＝0；
书写通关
解：方程整理得(　　　　)2＝　　.
开平方得　　，或　　.
解得x1＝　　，x2＝　　.
(2)(2x＋3)2＝7；
(3)t2＋4t＋4＝4；
(4)(3x－1)2＝(2x＋3)2.
参考答案
一、知识链接
1.平方根 2.± 3.±8 4.负数不可以作为被开方数.
课堂探究
二、要点探究
探究点1：直接开平方法解形如x2=p的方程
试一试 (1)解：根据平方根的意义，得x1=2，x2=－2.
(2)解：根据平方根的意义，得x1=x2=0.
(3)解：移项，得x2=－1，因为负数没有平方根，所以原方程无解.
典例精析
例1 解：(1)x2=6，直接开平方，得，∴.
(2) 移项，并将二次项系数化为 1，得，由此可得
∴.
练一练1.(1) 解：移项，得 x2 = 900. 由此可得 x = ± 30.∴ x1 = 30，x2 = -30.
(2) 移项，得 2x2 = 120. 系数化为 1，得 x2 = 60. 由此可得x =
即
探究点2：直接开平方法解形如(x+n)2=p (p≥0)的方程
探究交流
在解方程 x2 = 25 时，由直接开平方法得 x = ±5.
由此想到，由 (x + 3)2 = 5， ①
得
∴，或.
于是，方程 (x + 3)2 = 5 的两个根为.
例2 解：(1) 移项，得 (x＋2)2 = 9.
由此可得 x＋2 = ± 3，x＋2 = 3，或 x＋2 = －3，即 x1 = 1，x2 = -5.
(2)移项，得(x－1)2=4. ∵x－1是4的平方根，∴.即.
练一练2.
(1)移项，得12(3－2x)2=3，两边都除以12，得(3－2x)2=0.25.∵3－2x是0.25的平方根，
∴.即，或.∴.
解：方程的两根为.
3. 解：开方，得 2x + 3 = 3x + 2 或 2x + 3 = -3x - 2 ，
解得 x1 = 1 ， x2 = -1.
探讨交流
如果一个一元二次方程具有x2 = p或 (x＋n)2 = p (p≥0) 的形式，那么就可以用直接开平方法求解.
不是所有的一元二次方程都能用直接开平方法求解，如：x2 +2x－3 = 0
当堂反馈
1.　A　
2.D　
3.　B　
4.　x1＝6，x2＝－2　.
5.(1)
书写通关
解：方程整理得(　　x－3　　)2＝　　.
开平方得　x－3＝　，或　x－3＝－　.
解得x1＝　　，x2＝　　.
(2)
解：x1＝，x2＝.
(3)
解：t1＝0，t2＝－4.
(4)
解：x1＝4，x2＝－.
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