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2026秋人教九上数学AI赋能完全备课【导学案】
第25章 一元二次方程
25.2 降次—解一元二次方程
25.2.1 第 2 课时 配方法
【学习目标】
1.了解配方法的概念.
2.掌握运用配方法解一元二次方程的步骤.
3.会利用配方法熟练灵活地解二次项系数不是 1 的一元二次方程.
4.通过对配方法的探究活动，培养学生勇于探索的学习精神，会用数学的眼光观察世界.
学习重点：掌握用配方法解一元二次方程及解决有关问题.
学习难点：探索直接开平方法和配方法之间的区别和联系.
【复习导入】
1.用直接开平方法解下列方程.
(1)9x2=1 (2)(x－2)2=2.
你还记得完全平方公式吗？填一填：
(1) a2+2ab+b2=( )2；
(2) a2－2ab+b2=( )2.
【合作探究】
探究点：用配方法解方程
填一填
填上适当的数或式，使下列各等式成立.
(1)x2+4x+ = ( x + )2；
(2)x2－6x+ = ( x－ )2；
(3)x2+8x+ = ( x+ )2；
(4)x2－x+ = ( x－ )2.
你发现了什么规律？
想一想 怎样解方程 x2 + 6x + 4 = 0 ？
问题：能不能将方程 x2 + 6x + 4 = 0 变成 (x + n)2 = p 的形式呢？
知识要点：
定义：像上面那样，通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫作配方法.
归纳总结：配方的关键是把握二次项系数为1的完全平方式，常数项等于一次项系数一半的平方.
填一填： x2+px+( )2=(x+ )2
典例精析
例1 解下列方程：
(1) x2－8x+1=0； (2) 2x2+1=3x； (3) 3x2－6x+4=0.
归纳总结：一般地，如果一个一元二次方程通过配方转化成(x+n)2=p（Ⅱ）.
①当p>0时，方程（Ⅱ）有两个不等的实数根，；
②当p=0时，方程（Ⅱ）有两个相等的实数根x1=x2=－n；
③当p<0时，因为对任意实数x，都有 (x + n)2≥0，所以方程（Ⅱ）无实数根.
练一练
1. 解方程： x2 - 2x - 5 = 0.
2. 解下列方程：
(1) x2 + 4x - 9 = 2x - 11； (2) x(x + 4) = 8x + 12；
(3) 4x2 - 6x - 3 = 0； (4) 3x2 + 6x - 9 = 0.
3. 已知代数式 x2 + 1 的值与代数式 2x + 4 的值相等，求 x 的值.
归纳总结
用配方法解一元二次方程的一般步骤：
①移常数项且二次项系数化为 1；
②配成完全平方公式[配上]；
③写成(x+n)2=p；
④直接开平方法解方程.
当堂反馈
1.填空：
(1)x2＋2x＋　　＝(x＋　　)2；
(2)x2－6x＋　　＝(x－　　)2；
(3)x2－10x＋10＝(x－　　)2－　　；
(4)2x2＋4x＋1＝2(　　)＋1＝2(　　)2－　　.
2.一元二次方程x2－18x＋80＝0可化为(x－n)2＝1，则n的值是(　　)
A.－9 B.－3 C.3 D.9
3.[典型运用]对任意实数x，多项式－x2＋4x－10的值是一个(　　)
A.正数 B.负数 C.非负数 D.无法确定
4.用配方法解方程：
(1)x2－12x＋27＝0；
书写通关
解：移项，得　 　.
配方，得　 　.
即(　　 　　)2＝　　.
开平方，得　 　或　 　.
解得x1＝　　，x2＝　　.
(2)x2＋x－＝0；
(3)2x2－4x－3＝0；
(4)2x(x＋2)＝8x－5.
参考答案
【复习导入】1.解：(1) (2)
2.a+b a-b
【合作探究】
探究点：用配方法解方程
填一填1 (1)22 2 (2)32 3 (3)42 4 (4)
规律：对于二次项系数为1的完全平方式，常数项等于一次项系数一半的平方时，可以进行配方.
典例精析
例1 解：(1)移项，得x2－8x=－1，配方，得x2－8x+42=－1+42，即(x-4)2=15.直接开平方，得，∴.
(2)移项，得2x2－3x=－1，二次项系数化为1，得，配方，得，即.直接开平方，得，∴.
(3)移项，得3x2－6x=－4，二次项系数化为1，得，配方，得，即.因为实数的平方不会是负数，所以x取任何实数时，上式都不成立，所以原方程无实数根．
练一练
1.解：x2 - 2x -5 = 0，移项，得 x2 - 2x = 5. 配方，得 (x - 1)2 = 6.
由此可得， ∴
2. 解：(1)移项，得 x2 + 2x + 2 = 0，配方，得 (x + 1)2 = -1. ∴ 此方程无解.
(2) 整理移项，得 x2 - 4x - 12 = 0，配方，得 (x - 2)2 = 16.
由此可得 x - 2 = ±4，∴x1 = 6， x2 = -2.
(3)移项，得 4x2 - 6x = 3，二次项系数化为1，得，配方，得，.
由此可得，∴.
(4)移项，得 3x2 + 6x = 9，二次项系数化为1，得x2 + 2x = 3，配方，得 (x + 1)2 = 4.
由此可得 x + 1 = ±2，∴x1 = -3， x2 = 1.
3.解：根据题意，得 x2 + 1 = 2x + 4.
整理，得 x2 2x = 3.
配方，得 (x 1)2 = 4.
解得 x1 = 1，x2 = 3.
当堂反馈
1.填空：
(1)　1　　1　；(2)　9　＝　3　；(3)　5　15　；(4)　x2＋2x　　x＋1　　1　.
2.　D
3.　B　
4.
(1)
书写通关
解：移项，得　x2－12x＝－27　.
配方，得　x2－12x＋36＝9　.
即(　　x－6　　)2＝　9　.
开平方，得　x－6＝3　或　x－6＝－3　.
解得x1＝　9　，x2＝　3　.
(2)解：x1＝，x2＝－1.
(3)解：x1＝1＋，x2＝1－.
(4)解：无实数根.
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